Rampa mobilă a unui service auto, pe care urcă un autoturism, are $$5{,}4$$ m pe înclinat, iar proiecția ei pe sol este de $$5{,}1$$ m. Care expresie dă unghiul rampei cu solul?

$$\arccos\dfrac{5{,}1}{5{,}4}$$

$$\arcsin\dfrac{5{,}1}{5{,}4}$$

$$\operatorname{arctg}\dfrac{5{,}1}{5{,}4}$$

$$\arccos\dfrac{5{,}4}{5{,}1}$$

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Unghi din cote: arcsin, arctg

Cum aflu unghiul unei rigle sinus din cote?

La o riglă sinus, $sin α = \frac{h}{L}$ , cu $h$ înălțimea teancului și $L$ distanța dintre axe, deci $α = arcsin \frac{h}{L}$ . Exemplu: pentru $L = 100$ mm și un teanc de $27, 5$ mm, $sin α = 0, 275$ , deci $α = arcsin 0, 275 \approx 16, 0^{\circ}$ . Proba: $100 \cdot sin 16, 0^{\circ} \approx 27, 6$ mm, adică teancul de $27, 5$ mm, în limita rotunjirii unghiului.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Funcțiile trigonometrice inverse răspund la întrebarea «ce unghi are raportul acesta?». Când cunoști două laturi ale unui triunghi dreptunghic și vrei unghiul, alegi funcția după laturile pe care le ai: latura opusă împărțită la ipotenuză dă arcsinusul, latura alăturată împărțită la ipotenuză dă arccosinusul, iar cele două catete, împărțite una la alta, dau arctangenta. Domeniile contează: $arcsin$ și $arccos$ primesc numai numere din $[- 1; 1]$ , iar $arctg$ primește orice număr real.

Rezultatele stau în intervale fixe: $arcsin$ și $arctg$ între $- \frac{π}{2}$ și $\frac{π}{2}$ , iar $arccos$ între $0$ și $π$ . De aceea calculatorul dă un singur unghi, iar la o piesă reală unghiul ascuțit este chiar cel căutat. Rămân de știut $arctg 1 = \frac{π}{4}$ , $arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6}$ și $arcsin x + arccos x = \frac{π}{2}$ .

Prima capcană este unitatea: în atelier calculatorul stă pe grade, la integrale lucrezi în radiani, iar trecerea se face cu $x^{\circ} = x \cdot \frac{π}{180}$ rad. A doua este ordinea laturilor: un raport întors dă complementul unghiului. A treia apare la piesele simetrice, unde ți se cere jumătate din bază, nu baza întreagă.

Verifici aplicând funcția directă unghiului găsit: sinusul, cosinusul sau tangenta trebuie să readucă raportul de la care ai pornit. Apoi compari unghiul cu piesa: o rampă are câteva zeci de grade, nu sutimi.

De reținut

opusa împărțită la ipotenuză dă $sin$ , iar unghiul se află cu $arcsin$
raportul de la sinus și cosinus nu trece de $1$
calculatorul stă în grade pentru piese și în radiani pentru integrale

Greșeala tipică

Se lasă calculatorul în radiani: pentru $sin α = 0, 275$ se citește $0, 28$ și se crede că rigla stă aproape orizontal. În grade, același raport dă $16, 0^{\circ}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Rampa mobilă a unui service auto, pe care urcă un autoturism, are $5, 4$ m pe înclinat, iar proiecția ei pe sol este de $5, 1$ m. Care expresie dă unghiul rampei cu solul?
- a) $arcsin \frac{5 , 1}{5 , 4}$
- b) $arccos \frac{5 , 1}{5 , 4}$
- c) $arctg \frac{5 , 1}{5 , 4}$
- d) $arccos \frac{5 , 4}{5 , 1}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $arccos \frac{5 , 1}{5 , 4}$

Proiecția pe sol este latura alăturată unghiului, iar rampa este ipotenuza, deci $cos α = \frac{5 , 1}{5 , 4} \approx 0, 9444$ și $α \approx 19, 2^{\circ}$ . Varianta cu $arcsin$ dă complementul, $70, 8^{\circ}$ , adică unghiul cu verticala. Varianta cu $arctg$ ar cere două catete, iar rampa nu este catetă. Raportul $\frac{5 , 4}{5 , 1}$ depășește $1$ , deci ultimul $arccos$ nu există.
Fundul unui recipient pentru soluție de reactiv are formă de con: raza bazei este $0, 60$ m, iar conul are adâncimea de $0, 35$ m. Ce unghi face generatoarea conului cu orizontala? Calculatorul este în grade; rotunjește la zecimi.
- a) $59, 7^{\circ}$
- b) $35, 7^{\circ}$
- c) $0, 5 3^{\circ}$
- d) $30, 3^{\circ}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $30, 3^{\circ}$

Adâncimea este latura opusă, iar raza bazei este latura alăturată, deci $tg α = \frac{0 , 35}{0 , 60} \approx 0, 5833$ și $α \approx 30, 3^{\circ}$ . Valoarea $59, 7^{\circ}$ vine din raportul întors, adică din complementul unghiului. Valoarea $35, 7^{\circ}$ ia raza drept ipotenuză și folosește $arcsin$ . Cifra $0, 53$ este arctangenta rămasă în radiani.
Un fermier lucrează cu tractorul un hectar de teren și măsoară panta versantului cu un clinometru, care arată $tg α = 0, 7$ . Calculatorul lui a rămas în modul radiani și afișează $arctg 0, 7 \approx 0, 611$ . Câte grade are versantul?
- a) $35, 0^{\circ}$
- b) $0, 6^{\circ}$
- c) $110, 0^{\circ}$
- d) $0, 0 1^{\circ}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $35, 0^{\circ}$

Un unghi din radiani se trece în grade înmulțind cu $\frac{180}{π}$ : $0, 611 \cdot \frac{180}{π} \approx 35, 0^{\circ}$ . Valoarea $0, 6^{\circ}$ citește radianii ca pe grade. Valoarea $110, 0^{\circ}$ înmulțește cu $180$ și uită împărțirea la $π$ . Valoarea $0, 0 1^{\circ}$ folosește factorul invers, $\frac{π}{180}$ .

Întrebări conexe

De ce dă calculatorul un singur unghi pentru raportul meu?

Două unghiuri din $[0^{\circ}; 18 0^{\circ}]$ au același sinus: un unghi și suplementul lui. Calculatorul alege valoarea aflată în $[- 9 0^{\circ}; 9 0^{\circ}]$ , interval în care sinusul este bijectiv. Pentru $sin α = 0, 3$ obții $17, 5^{\circ}$ , iar $162, 5^{\circ}$ ar fi suplementul, un unghi obtuz care la o bară îndoită nu are sens.

Ce fac dacă raportul iese mai mare decât 1?

Ai împărțit invers. Ipotenuza este cea mai lungă latură, deci la sinus și la cosinus împarți latura mai mică la cea mai mare. Dacă ai scris $\frac{50 , 0}{18 , 0} \approx 2, 78$ , arcsinusul nu există; întorci fracția la $\frac{18 , 0}{50 , 0} = 0, 36$ și obții $arcsin 0, 36 \approx 21, 1^{\circ}$ .

Cum trec un unghi din grade în radiani?

Înmulțești gradele cu $\frac{π}{180}$ . Pentru $3 6^{\circ}$ obții $36 \cdot \frac{π}{180} = \frac{π}{5} \approx 0, 628$ rad. În atelier calculatorul stă în grade, iar în integrale, unde apare $π$ , lucrezi în radiani; schimbi modul înainte de fiecare calcul.

Cum aflu unghiul când panta e dată în procente?

Panta în procente este tangenta înmulțită cu $100$ , deci $tg α = \frac{p}{100}$ . Pentru o pantă de $8 %$ afli $α = arctg 0, 08 \approx 4, 6^{\circ}$ , cu calculatorul în grade. Atenție: panta de $100 %$ înseamnă $4 5^{\circ}$ , nu $9 0^{\circ}$ , fiindcă procentul compară urcarea cu proiecția, nu cu lungimea pe înclinat.

Cum aleg între arcsin, arccos și arctg?

Te uiți la laturile pe care le ai față de unghiul căutat: opusă și ipotenuză cer $arcsin$ , alăturată și ipotenuză cer $arccos$ , iar cele două catete cer $arctg$ . O rampă care urcă $3, 6$ m pe o proiecție de $15, 0$ m are cele două catete: $arctg \frac{3 , 6}{15 , 0} = arctg 0, 24 \approx 13, 5^{\circ}$ .

Unde a apărut arctangenta în probele de examen?

Arctangenta a apărut în 4 probe M_tehnologic din 2013–2026, la problema 2 din Subiectul al III-lea, unde primitiva unei fracții cu numitorul $x^{2} + c^{2}$ conține un arctangent. În rezolvări au contat doar $arctg 0 = 0$ și $arctg 1 = \frac{π}{4}$ .

Oamenii mai întreabă și: unghiul unei rigle sinus din teancul de cale · cum aflu un unghi când cunosc două laturi · arcsin, arccos sau arctg pentru un unghi · unghiul riglei sinus la rectificare