Funcții trigonometrice inverse pentru tehnologic

Pe planul de armare al unei grinzi stau lungimi, nu unghiuri: cât urcă bara înclinată și pe ce distanță. Unghiul după care se reglează mașina de îndoit îl dă funcția trigonometrică inversă, care întoarce un raport de lungimi într-un unghi. La clasa a X-a, la tehnologic, o folosești pe grinzi de beton, pe o riglă sinus și pe un proiector. Arctangenta a fost necesară în 4 dintre probele de Bacalaureat M3 (M_tehnologic) din 2013–2026, în integrale de clasa a XII-a.

Situația de pornire

Pe șantierul unei hale de producție, echipa de fierari-betoniști pregătește armăturile pentru trei grinzi de beton armat, înainte de montarea cofrajului. Fiecare grindă are câte o bară ridicată: o porțiune orizontală jos, una înclinată și una orizontală sus. Planul de armare, scanat de pe o copie veche, păstrează pentru porțiunea înclinată doar două cote, iar unghiul de îndoire s-a șters. Proiectul cere ca barele ridicate să facă cu orizontala între 45° și 60° (valori din proiect). Șeful de echipă verifică planul înainte ca barele să intre în mașina de îndoit, fiindcă o bară îndoită greșit se aruncă.

Întrebare: ce unghi face cu orizontala porțiunea înclinată a fiecărei bare și care bare respectă intervalul cerut de proiect?

De la situație la model

Porțiunea înclinată, urcarea și proiecția orizontală formează un triunghi dreptunghic, iar unghiul de îndoire este unghiul lui ascuțit de la capătul de jos. Din cele trei laturi, planul dă două, deci o singură funcție trigonometrică se poate scrie direct cu ele.

Sinusul este raportul dintre latura opusă și ipotenuză, cosinusul dintre latura alăturată și ipotenuză, iar tangenta dintre latura opusă și cea alăturată. Când se cunoaște raportul și se caută unghiul, se folosește funcția inversă. Arcsinusul unui număr $x\in [-1;1]$, scris $\arcsin x$, este singurul unghi din $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ al cărui sinus este $x$. Arccosinusul, $\arccos x$ pentru $x\in [-1;1]$, este singurul unghi din $[0;\pi ]$ al cărui cosinus este $x$. Arctangenta, $\mathrm{arctg}x$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$, este singurul unghi din $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ cu tangenta $x$, iar arccotangenta, $\mathrm{arcctg}x$, este singurul unghi din $(0;\pi )$ cu cotangenta $x$. Aici $\pi$ radiani înseamnă $180^{\circ }$.

De ce dă calculatorul un singur unghi pentru un raport?

La bara G2 raportul dintre urcare și lungime, 0,829, este sinusul a două unghiuri din $[0^{\circ };180^{\circ }]$: unul ascuțit, de aproximativ $56^{\circ }$, și suplementul lui, de aproximativ $124^{\circ }$. Ca să existe o funcție inversă, sinusul trebuie restrâns la un interval pe care e injectiv; vezi lecția despre testul injectivității. Pe $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ sinusul crește strict de la $-1$ la $1$, deci e bijectiv și are o inversă, arcsinusul. Cosinusul e restrâns la $[0;\pi ]$, iar tangenta la $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$. Bara îndoită are oricum un unghi ascuțit, deci valoarea dată de calculator este chiar cea căutată; cum se construiește o inversă în general, vezi la funcția inversă.

Ce legături țin între cele trei funcții?

Pentru orice $x\in [-1;1]$ avem $\sin (\arcsin x)=x$, dar $\arcsin (\sin t)=t$ numai pentru $t$ din $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$: de pildă $\arcsin (\sin 160^{\circ })=20^{\circ }$. Mai avem $\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$ pentru orice $x\in [-1;1]$; pentru $x$ între 0 și 1 se vede pe triunghiul dreptunghic, unde cele două unghiuri ascuțite au împreună $90^{\circ }$. Arctangenta este impară, $\mathrm{arctg}(-x)=-\mathrm{arctg}x$, are semnul lui $x$, iar graficul ei urcă strict între $-\frac{\pi }{2}$ și $\frac{\pi }{2}$, fără să le atingă; pentru $x>0$ se îndoaie în jos, iar pentru $x<0$ în sus.

Grade sau radiani?

Mașina de îndoit se reglează în grade, deci calculatorul stă în modul grade. La integrale, unde apare $\pi$, lucrezi în radiani. Un unghi de $50,8^{\circ }$ înseamnă $50,8\cdot \frac{\pi }{180}\approx 0,887$ rad.

Metoda pas cu pas

1. Marchează pe schiță latura opusă și pe cea alăturată unghiului căutat; dacă le încurci, obții complementul lui. Alege funcția după cotele cunoscute: opusa și ipotenuza dau sinusul, deci $\arcsin$; alăturata și ipotenuza dau cosinusul, deci $\arccos$; opusa și alăturata dau tangenta, deci $\mathrm{arctg}$. La sinus și la cosinus împarte cota mai mică la cea mai mare, fiindcă ipotenuza este cea mai lungă latură și raportul nu poate depăși 1.
2. Calculează raportul și apoi unghiul, rotunjit la zecimi de grad, cât poate regla mașina. Dacă raportul este o valoare de bază din Fișă, scrii unghiul direct în radiani; altfel folosești calculatorul, după ce ai pus modul potrivit: grade pentru atelier, radiani pentru integrale.
3. Verifică intervalul funcției: $\arcsin$ și $\mathrm{arctg}$ dau unghiuri între $-90^{\circ }$ și $90^{\circ }$, iar $\arccos$ între $0^{\circ }$ și $180^{\circ }$; unghiul unei bare îndoite sau al unei piese pe masa mașinii este ascuțit. Dacă unghiul căutat este obtuz, ca în triunghiurile oarecare din teorema cosinusului, folosești $\arccos$ sau scazi din $180^{\circ }$ unghiul ascuțit cu același sinus.
4. Verifică: aplică funcția directă unghiului găsit, adică sinusul, cosinusul sau tangenta, și ar trebui să regăsești raportul de la pasul 1; apoi compară unghiul cu limitele proiectului și cu ordinul de mărime al piesei.

Tasta sin⁻¹ a calculatorului dă arcsinusul, nu inversul numărului sinus; la fel tastele cos⁻¹ și tan⁻¹ dau arccosinusul și arctangenta. În cele 4 probe din 2013–2026 în care a fost nevoie de arctangentă, pasul 2 s-a sprijinit numai pe $\mathrm{arctg}0=0$ și $\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{4}$, scrise în radiani. Celelalte valori din Fișă te ajută când trasezi prin puncte graficul unei funcții inverse.

Fișa de buzunar

$$\sin (\arcsin x)=x,x\in [-1;1]\arcsin (\sin t)=t,t\in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$$

$$x^{\circ }=x\cdot \frac{\pi }{180}\text{rad}$$

Condiții: tabelul dă unghiurile în radiani, iar a doua egalitate de sus ține numai când $t$ stă în intervalul scris. Argumentul lui $\arcsin$ și al lui $\arccos$ stă în $[-1;1]$: un raport mai mare decât 1 arată că ai împărțit invers. În atelier calculatorul stă în grade, la integrale în radiani; $\mathrm{arcctg}$ se folosește rar în meserie. Mai ține $\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$ și $\mathrm{arctg}(-x)=-\mathrm{arctg}x$. Verificare rapidă: aplici funcția directă, de pildă $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$, și controlezi că unghiul stă în intervalul din tabel.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Cele trei bare ridicate

Domeniu: constructii.

Enunț. Reia tabelul din situația de pornire. a) Ce unghi face cu orizontala bara din G1? b) Dar cea din G2? c) Dar cea din G3? d) Care bare respectă intervalul de 45°–60°? e) Ce proiecție orizontală ar trebui la G3, cu aceeași lungime înclinată, ca unghiul să fie exact 45°?

Rezolvare. a) La G1 se cunosc urcarea și proiecția, deci tangenta: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{38,6}{31,5}\approx 1,2254$, iar $\alpha =\mathrm{arctg}1,2254\approx 50,8^{\circ }$. b) La G2 se cunosc urcarea și lungimea înclinată, deci sinusul: $\sin \beta =\frac{51,4}{62,0}\approx 0,8290$, iar $\beta =\arcsin 0,8290\approx 56,0^{\circ }$. c) La G3 se cunosc proiecția și lungimea înclinată, deci cosinusul: $\cos \gamma =\frac{42,6}{58,0}\approx 0,7345$, iar $\gamma =\arccos 0,7345\approx 42,7^{\circ }$. d) G1, cu 50,8°, și G2, cu 56,0°, sunt în interval; G3, cu 42,7°, e sub 45°, deci planul ei trebuie corectat împreună cu proiectantul, înainte de fasonare. e) Aici se cere o latură dintr-un unghi dat, deci cosinusul, nu inversa lui: $58,0\cdot \cos 45^{\circ }\approx 41,0$ cm, cu 1,6 cm mai puțin decât pe plan.

Capcană. Cine lasă calculatorul în modul radiani citește la a) valoarea $0,886$, nu $50,8$, și ar crede că bara e aproape orizontală. Rezultatul în radiani e corect, dar în altă unitate decât cea a mașinii.

Verificare. Pe alt drum, la G2, cu tangenta: proiecția este $\sqrt{62,0^2-51,4^2}\approx 34,67$ cm, deci $\mathrm{tg}\beta \approx \frac{51,4}{34,67}\approx 1,4825$ și $\mathrm{arctg}1,4825\approx 56,0^{\circ }$, același unghi.

Exemplul 2 — Rigla sinus la rectificare

Domeniu: mecanica.

Enunț. O riglă sinus are distanța dintre axele celor doi cilindri $L=200$ mm. Sub cilindrul ridicat se pune un teanc de cale plan-paralele de înălțime $h$, iar unghiul $\alpha$ al riglei cu masa mașinii verifică $\sin \alpha =\frac{h}{L}$. a) Ce unghi se obține cu un teanc de 52,4 mm? b) Ce teanc se alege pentru unghiul de 18°? c) Mai există un unghi din $[0^{\circ };180^{\circ }]$ cu același sinus ca la a)? De ce nu îl dă calculatorul?

Rezolvare. a) $\sin \alpha =\frac{52,4}{200}=0,262$, deci $\alpha =\arcsin 0,262\approx 15,2^{\circ }$. b) Aici se cere înălțimea, deci sinusul, nu inversa lui: $h=L\sin \alpha =200\cdot \sin 18^{\circ }\approx 61,8$ mm, cu $\sin 18^{\circ }\approx 0,3090$. c) Da, $180^{\circ }-15,2^{\circ }=164,8^{\circ }$, fiindcă un unghi și suplementul lui au același sinus. Calculatorul dă numai valoarea din $[-90^{\circ };90^{\circ }]$, intervalul pe care sinusul este bijectiv, iar cu rigla se pot regla numai unghiuri ascuțite; un unghi obtuz se obține răsucind piesa, nu rigla.

Capcană. Cine scrie la b) $h=\frac{L}{\sin 18^{\circ }}$ obține $200:0,3090\approx 647$ mm, un teanc mai înalt decât distanța dintre axe. Teancul nu poate depăși $L=200$ mm.

Verificare. Pe alt drum, sinusul de la b) întors: $\arcsin \frac{61,8}{200}\approx 18,0^{\circ }$.

Exemplul 3 — Proiectoarele unei parcări

Domeniu: electric.

Enunț. Un electrician montează proiectoare cu LED pe stâlpii unei parcări, la 6,4 m înălțime, îndreptate vertical în jos. Fiecare proiector trebuie să lumineze un cerc cu raza de 7,8 m în jurul stâlpului. Catalogul are proiectoare cu unghiul de deschidere de 60°, 90° și 120°, adică unghiul întreg al conului de lumină. a) Ce unghi de deschidere minim trebuie? b) Ce proiector alegi? c) Ce rază luminează proiectorul ales?

Rezolvare. a) Jumătatea conului face cu verticala unghiul $\theta$ cu $\mathrm{tg}\theta =\frac{7,8}{6,4}\approx 1,2188$, deci $\theta =\mathrm{arctg}1,2188\approx 50,6^{\circ }$, iar unghiul de deschidere minim este $2\theta \approx 101,3^{\circ }$. b) Proiectoarele de 60° și de 90° au deschiderea sub 101,3° și nu acoperă cercul, deci alegi pe cel de 120°. c) Cu jumătatea de $60^{\circ }$, raza luminată este $6,4\cdot \mathrm{tg}60^{\circ }\approx 11,1$ m, mai mult decât cei 7,8 m ceruți.

Capcană. Cine uită să dubleze unghiul ia $50,6^{\circ }$ drept deschidere și alege proiectorul de 60°. Acesta luminează doar $6,4\cdot \mathrm{tg}30^{\circ }\approx 3,7$ m în jurul stâlpului.

Verificare. Pe alt drum, cu funcția directă: $6,4\cdot \mathrm{tg}50,6^{\circ }\approx 6,4\cdot 1,217\approx 7,8$ m, chiar raza cerută.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: arctangenta dintr-o integrală

Domeniu: mediu.

Enunț. Cerința e scrisă în forma celor din Subiectul al III-lea, problema 2, din probele 2013–2026, și folosește două rezultate de clasa a XII-a, date aici: o primitivă a funcției $x\mapsto \frac{1}{x^2+c^2}$, cu $c>0$, este $x\mapsto \frac{1}{c}\mathrm{arctg}\frac{x}{c}$, iar integrala unei funcții de la $p$ la $q$ este $G(q)-G(p)$, unde $G$ e o primitivă a ei. Funcția de mai jos are forma folosită la stațiile de epurare pentru viteza cu care bacteriile consumă un poluant de concentrație $x$. Se consideră funcția $f:(-25;+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{10x}{x+25}$. Determinați numărul real $a$ pentru care ${\int }_0^{5}f(x^2)dx=25(2+a\pi )$.

Rezolvare. Avem $f(x^2)=\frac{10x^2}{x^2+25}=10-\frac{250}{x^2+25}$. Numitorul este $x^2+5^2$, deci primitiva dată se folosește cu $c=5$ și obții ${\int }_0^{5}f(x^2)dx=\left(10x-250\cdot \frac{1}{5}\mathrm{arctg}\frac{x}{5}\right){|}_0^5=50-50\cdot (\mathrm{arctg}1-\mathrm{arctg}0)=50-50\cdot \frac{\pi }{4}=50-12,5\pi$. Din $50-12,5\pi =50+25a\pi$ rezultă $a=-\frac{1}{2}$.

Capcană. Cine uită factorul $\frac{1}{c}$ și scrie primitiva ca $\mathrm{arctg}\frac{x}{5}$ obține $50-250\cdot \frac{\pi }{4}=50-62,5\pi$, deci $a=-\frac{5}{2}$, de cinci ori mai mult.

Verificare. Pe alt drum, o estimare: $f(x^2)$ crește de la 0 la 5 pe $[0;5]$, deci integrala e între 0 și $5\cdot 5=25$, iar $50-12,5\pi \approx 10,73$ se află în acest interval. Și $25\cdot \left(2-\frac{\pi }{2}\right)\approx 10,73$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează în radiani, fără calculator: a) $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$; b) $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$; c) $\mathrm{arctg}(-\sqrt{3})$; d) $\mathrm{arcctg}(-1)$.

2. Cu calculatorul în modul grade, rotunjește la zecimi: a) $\arcsin 0,37$; b) $\arccos 0,37$; c) $\mathrm{arctg}2,6$. Arată apoi că rezultatele de la a) și b) dau suma $90^{\circ }$.

3. Scrie în radiani valorile lui $\mathrm{arctg}$ în punctele $x=-\sqrt{3}$, $-1$, $0$, $1$ și $\sqrt{3}$ și trasează graficul prin aceste puncte. Între ce valori rămâne graficul, pentru orice $x$?

4. a) Care dintre numerele $-0,8$; $1,2$ și $0,95$ pot fi argument pentru $\arcsin$? Calculează b) $\sin (\arcsin 0,61)$, c) $\arcsin (\sin 160^{\circ })$ și d) $\arccos (\cos 290^{\circ })$.

Nivelul 2 — situații

5. La un strung se prelucrează o piesă conică cu diametrul mare de 48 mm, diametrul mic de 36 mm și lungimea de 80 mm. Sania port-cuțit se rotește cu unghiul $\alpha$ pentru care $\mathrm{tg}\alpha =\frac{D-d}{2L}$. a) Ce unghi se reglează? b) Ce diametru mic ar ieși, la același unghi, pe o lungime de 96 mm? c) Ce unghi cere o conicitate de 1 : 20, adică $\frac{D-d}{L}=\frac{1}{20}$?

6. Într-un depozit, lăzile alunecă singure pe un raft cu role dacă raftul e înclinat cu 2°–4° (valori din fișa raftului). Raftul are 2,40 m lungime, măsurată pe role, iar capătul din spate e cu 12 cm mai sus decât cel din față. a) Ce unghi are raftul? b) Respectă fișa? c) Cu câți centimetri trebuie ridicat capătul din spate pentru 3°?

7. La o stație de sortare a deșeurilor, o cameră de supraveghere e montată pe peretele halei, la 5,6 m înălțime, și trebuie să aibă în centrul imaginii zona de descărcare a containerelor, aflată la 9,8 m de perete. a) Cu ce unghi sub orizontală se înclină camera? b) Ce unghi trebuie dacă zona se mută la 7,0 m de perete? c) La ce distanță de perete privește camera înclinată la 45°? d) Trasează prin punctele obținute graficul unghiului în funcție de distanța zonei, $\theta (d)=\mathrm{arctg}\frac{5,6}{d}$, și spune cum se schimbă unghiul când zona se îndepărtează.

8. Un parc de aventură montează o tiroliană: cablul are 186 m între stâlpi, iar plecarea e cu 13,2 m mai sus decât sosirea. Fișa producătorului cere ca unghiul cablului cu orizontala să fie între 3° și 6°. a) Ce unghi face cablul? b) Care este panta lui, în procente? c) Cât de mare poate fi diferența de nivel, la același cablu, pentru unghiul maxim admis?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+3$. Pentru orice $b>0$, o primitivă a funcției $x\mapsto \frac{1}{x^2+b^2}$ este $x\mapsto \frac{1}{b}\mathrm{arctg}\frac{x}{b}$, iar aria cerută este $G(3)-G(0)$, cu $G$ o primitivă a lui $g$. Determinați aria suprafeței cuprinse între graficul funcției $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{1}{f(x)+6}$, axa $Ox$ și dreptele $x=0$ și $x=3$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+9x^2+27x+5$, a cărei derivată este $f^{\prime }(x)=3x^2+18x+27$. Cu primitiva din exercițiul 9, arătați că ${\int }_{-3}^0\frac{6}{f^{\prime }(x)+27}dx=\frac{\pi }{6}$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3+\frac{4x}{x^2+1}-\frac{5}{x^2+1}$. O primitivă a funcției $x\mapsto \frac{2x}{x^2+1}$ este $x\mapsto \ln (x^2+1)$, o primitivă a funcției $x\mapsto \frac{1}{x^2+1}$ este $x\mapsto \mathrm{arctg}x$, iar primitivele unei funcții diferă între ele printr-o constantă. Determinați primitiva $F$ a funcției $f$ pentru care $F(0)=0$.

12. (Sinteză.) La stația de betoane a unui șantier, pietrișul descărcat de pe bandă formează o grămadă conică. Una dintre grămezi are 3,6 m înălțime și baza cu diametrul de 12,4 m. a) Ce unghi face flancul grămezii cu orizontala? b) Pietrișul din depozit stă stabil până la 33° (valori din exemplu): grămada se menține? c) Ce rază are baza unei grămezi de 120 m³ cu flancul la 33°? Volumul conului este $\frac{\pi r^{2}h}{3}$.

Răspunsuri și verificări

1. a) $-\frac{\pi }{4}$. b) $\frac{\pi }{6}$. c) $-\frac{\pi }{3}$. d) $\frac{3\pi }{4}$. Verificare: $\mathrm{ctg}\frac{3\pi }{4}=-1$, iar $\frac{3\pi }{4}$ e în $(0;\pi )$.

2. a) $21,7^{\circ }$. b) $68,3^{\circ }$. c) $69,0^{\circ }$. Suma $21,7^{\circ }+68,3^{\circ }=90^{\circ }$, în acord cu $\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$. Verificare: $\sin 21,7^{\circ }\approx 0,370$.

3. Valorile sunt $-\frac{\pi }{3}$, $-\frac{\pi }{4}$, $0$, $\frac{\pi }{4}$ și $\frac{\pi }{3}$. Graficul trece prin origine, este simetric față de ea și rămâne între $-\frac{\pi }{2}$ și $\frac{\pi }{2}$, fără să le atingă. Verificare: $\mathrm{arctg}(-1)=-\mathrm{arctg}1$.

4. a) $-0,8$ și $0,95$; numărul $1,2$ iese din $[-1;1]$. b) $0,61$. c) $20^{\circ }$, nu $160^{\circ }$. d) $70^{\circ }$. Verificare: $\sin 20^{\circ }=\sin 160^{\circ }$ și $\cos 70^{\circ }=\cos 290^{\circ }$.

5. a) $\mathrm{tg}\alpha =\frac{12}{160}=0,075$, deci $\alpha \approx 4,3^{\circ }$. b) $d=48-2\cdot 96\cdot 0,075=33,6$ mm. c) $\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{40}$, deci $\alpha \approx 1,4^{\circ }$. Verificare: $\mathrm{tg}4,3^{\circ }\approx 0,075$.

6. a) $\sin \alpha =\frac{0,12}{2,40}=0,05$, deci $\alpha \approx 2,9^{\circ }$. b) Da, $2,9^{\circ }$ e între $2^{\circ }$ și $4^{\circ }$. c) Pentru 3° capătul trebuie să fie cu $240\cdot \sin 3^{\circ }\approx 12,6$ cm mai sus, deci se ridică cu încă 0,6 cm. Verificare: $\arcsin \frac{12,6}{240}\approx 3,0^{\circ }$.

7. a) $\mathrm{tg}\theta =\frac{5,6}{9,8}\approx 0,5714$, deci $\theta \approx 29,7^{\circ }$. b) $\mathrm{arctg}\frac{5,6}{7,0}=\mathrm{arctg}0,8\approx 38,7^{\circ }$. c) La 45°, distanța e egală cu înălțimea: 5,6 m. d) Graficul trece prin $(5,6;45^{\circ })$, $(7,0;38,7^{\circ })$ și $(9,8;29,7^{\circ })$: unghiul scade când zona se îndepărtează. Verificare: $9,8\cdot \mathrm{tg}29,7^{\circ }\approx 5,59$ m.

8. a) $\sin \alpha =\frac{13,2}{186}\approx 0,0710$, deci $\alpha \approx 4,1^{\circ }$, între 3° și 6°. b) Panta este $\mathrm{tg}\alpha \approx 0,0711$, adică 7,1 %. c) $186\cdot \sin 6^{\circ }\approx 19,4$ m. Verificare: proiecția orizontală este $\sqrt{186^2-13,2^2}\approx 185,5$ m, iar $\frac{13,2}{185,5}\approx 0,0712$.

9. Numitorul este $f(x)+6=x^2+9$, deci $g(x)=\frac{1}{x^2+3^2}$. Aria este ${\int }_0^3\frac{1}{x^2+9}dx=\frac{1}{3}\mathrm{arctg}\frac{x}{3}{|}_0^3=\frac{1}{3}\cdot (\mathrm{arctg}1-\mathrm{arctg}0)=\frac{\pi }{12}$. Verificare: $\frac{\pi }{12}\approx 0,262$, iar $g$ scade de la $\frac{1}{9}$ la $\frac{1}{18}$ pe un interval de lungime 3, deci aria e între $3\cdot \frac{1}{18}\approx 0,167$ și $3\cdot \frac{1}{9}\approx 0,333$.

10. Avem $f^{\prime }(x)=3x^2+18x+27=3(x+3{)}^2$, deci $f^{\prime }(x)+27=3\left((x+3{)}^2+9\right)$, iar fracția devine $\frac{2}{(x+3{)}^2+9}$. Integrala este $\frac{2}{3}\mathrm{arctg}\frac{x+3}{3}{|}_{-3}^0=\frac{2}{3}\cdot (\mathrm{arctg}1-\mathrm{arctg}0)=\frac{2}{3}\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{6}$. Verificare: derivata lui $\mathrm{arctg}\frac{x+3}{3}$ este $\frac{3}{9+(x+3{)}^2}$, iar înmulțită cu $\frac{2}{3}$ dă $\frac{2}{(x+3{)}^2+9}$.

11. Primitivele termenilor sunt $3x$, $2\ln (x^2+1)$, fiindcă $\frac{4x}{x^2+1}=2\cdot \frac{2x}{x^2+1}$, și $-5\mathrm{arctg}x$, deci $F(x)=3x+2\ln (x^2+1)-5\mathrm{arctg}x+C$. Din $F(0)=0+2\ln 1-5\mathrm{arctg}0+C=C$ rezultă $C=0$. Răspuns: $F(x)=3x+2\ln (x^2+1)-5\mathrm{arctg}x$. Verificare: derivata este $3+\frac{4x}{x^2+1}-\frac{5}{x^2+1}=f(x)$.

12. a) Raza bazei este 6,2 m, deci $\mathrm{tg}\theta =\frac{3,6}{6,2}\approx 0,5806$ și $\theta \approx 30,1^{\circ }$. b) Da, $30,1^{\circ }<33^{\circ }$, deci grămada se menține. c) La 33° înălțimea este $h=r\cdot \mathrm{tg}33^{\circ }$, deci $\frac{\pi r^3\mathrm{tg}33^{\circ }}{3}=120$ și $r=\sqrt[3]{\frac{360}{\pi \cdot \mathrm{tg}33^{\circ }}}\approx 5,61$ m. Verificare: cu $h\approx 5,61\cdot 0,6494\approx 3,64$ m, volumul este $\frac{\pi \cdot 5,61^2\cdot 3,64}{3}\approx 120$ m³.

Așa vine la Bac M3

Patru dintre cele 83 de probe M_tehnologic din 2013–2026 au avut nevoie de arctangentă, toate la problema 2 a Subiectului al III-lea, ca primitivă a unei fracții cu numitorul $x^2+c^2$, uneori cu $x$ deplasat. Enunțurile oficiale nu numesc funcția $\mathrm{arctg}$: ea apare doar în rezolvările oficiale. Cerința este de clasa a XII-a, iar lecția o pregătește cu valorile din clasa a X-a. Arcsinusul, arccosinusul și arccotangenta nu apar în nicio rezolvare oficială dintre cele 83. Cele patru cerințe, din probe diferite, arată formele în care a venit tema:

• August 2015, Subiectul al III-lea, exercițiul 2b: se cere aria de sub graficul funcției $\frac{1}{f(x)+5}$, unde $f(x)=x^2-4$, deci numitorul este $x^2+1$, pe $[0;1]$, iar rezultatul $\mathrm{arctg}1-\mathrm{arctg}0=\frac{\pi }{4}$ folosește valorile de la pasul 2 (baremul probei dă 3 puncte pentru primitiva $\mathrm{arctg}x$ și 2 puncte pentru valoarea din cele două limite).
• Proba specială din 2018, Subiectul al III-lea, exercițiul 2c: pentru $f(x)=x^3-6x^2+12x+5$ se cere integrala lui $\frac{3}{f^{\prime }(x)+12}$ pe $[2;4]$, cu rezultatul $\frac{\pi }{8}$, deci fracția devine $\frac{1}{(x-2{)}^2+4}$, cu primitiva $\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x-2}{2}$, iar pasul 2 dă $\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{4}$ (baremul probei dă 3 puncte pentru primitivă și 2 puncte pentru valoarea finală).
• Iunie 2020, Subiectul al III-lea, exercițiul 2b: funcția are termenul $-\frac{2}{x^2+1}$, iar primitiva $F$ cu $F(0)=0$ conține $-2\mathrm{arctg}x$, deci pasul 2 cere $\mathrm{arctg}0=0$ (baremul probei dă 3 puncte pentru integrala de la 0 la $x$ scrisă prin primitivele termenilor și 2 puncte pentru expresia lui $F$).
• Iunie 2023, Subiectul al III-lea, exercițiul 2c: pentru $f(x)=\frac{8x}{x+9}$ se cere $a$ din ${\int }_0^{3}f(x^2)dx=6(4+a\pi )$, unde $f(x^2)=8-\frac{72}{x^2+9}$, iar integrala $24-6\pi$ folosește, la pasul 2, $\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{4}$ și dă $a=-1$ (baremul probei dă 3 puncte pentru valoarea integralei și 2 puncte pentru $a$).

Exercițiile 9–11 reiau trei dintre aceste forme: aria, integrala cu $f^{\prime }$ și primitiva cu $F(0)=0$; Exemplul 4 are forma din 2023. Programa de examen așază integrala și derivata în clasele a XI-a și a XII-a; în probe primitiva a rămas de găsit, iar aici ea, derivata și formula integralei îți sunt date în enunț. Lecțiile vecine sunt pe pagina clasei a X-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

• Lași calculatorul în modul radiani → la G1 citești 0,886 în loc de 50,8°; cum o prinzi: o bară ridicată are zeci de grade, iar proiectul cere între 45° și 60°.
• Inversezi laturile la tangentă și scrii $\mathrm{tg}\alpha =\frac{31,5}{38,6}$ → obții $39,2^{\circ }$, complementul unghiului; cum o prinzi: unghiul cu orizontala crește când urcarea crește, deci la urcare mai mare decât proiecția trebuie să treacă de $45^{\circ }$.
• Iei jumătatea conului drept unghi de deschidere → alegi proiectorul de 60° și luminezi doar 3,7 m din cei 7,8 m; cum o prinzi: aplici tangenta jumătății de unghi și compari raza cu cea cerută.
• Uiți factorul $\frac{1}{c}$ al primitivei → ar ieși $a=-\frac{5}{2}$ în loc de $-\frac{1}{2}$; cum o prinzi: derivezi primitiva și compari cu funcția.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: folosirea funcțiilor trigonometrice inverse face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a X-a), deși programa nouă a clasei a X-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 4 probe, la Subiectul al III-lea. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6) tema nu este în programa de examen.

Întrebări frecvente

Ce unghi ar avea bara din G1 dacă urcarea crește la 44,2 cm, cu aceeași proiecție?

Atunci $\mathrm{tg}\alpha =\frac{44,2}{31,5}\approx 1,4032$, deci $\alpha \approx 54,5^{\circ }$. Unghiul rămâne între 45° și 60°, deci bara respectă proiectul, dar mașina de îndoit se reglează din nou, iar porțiunea înclinată se lungește la $\sqrt{44,2^2+31,5^2}\approx 54,3$ cm, deci și bara se debitează mai lungă.

Ce lungime înclinată ar trebui la G3, cu proiecția de 42,6 cm, ca bara să facă 50°?

Lungimea înclinată este ipotenuza, iar proiecția e latura alăturată unghiului, deci $L=\frac{42,6}{\cos 50^{\circ }}\approx 66,3$ cm, cu 8,3 cm mai mult decât pe planul scanat. Urcarea ar crește atunci la $42,6\cdot \mathrm{tg}50^{\circ }\approx 50,8$ cm, deci grinda ar trebui să fie mai înaltă.

Cum verifică fierarul pe banc unghiul unei bare deja îndoite?

Măsoară pe bară urcarea și proiecția și compară raportul lor cu tangenta unghiului cerut. La G1, 38,6 cm pe 31,5 cm înseamnă 50,8°; dacă urcarea iese cu 1 cm mai mare, $\mathrm{arctg}\frac{39,6}{31,5}\approx 51,5^{\circ }$, deci un centimetru schimbă unghiul cu aproape $0,7^{\circ }$.

De ce nu ajunge proiectorul de 90°, deși e aproape de cei 101,3° calculați?

Cu deschiderea de 90°, jumătatea conului are 45°, iar $\mathrm{tg}45^{\circ }=1$, deci raza luminată este egală cu înălțimea: 6,4 m. Cercul cerut are raza de 7,8 m, așa că ar rămâne în umbră un inel lat de 1,4 m în jurul fiecărui stâlp.

Ce trebuie să știu din arctangentă pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic)?

În cele 4 probe din 2013–2026 au fost de folosit valorile $\mathrm{arctg}0=0$ și $\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{4}$ și o primitivă a lui $\frac{1}{x^2+c^2}$, formulă din clasa a XII-a. Toate patru cerințele au stat la Subiectul al III-lea, iar fiecare s-a închis cu aceste două valori.