Un elev a calculat $$108 : 9 = 11$$. Ce arată proba $$D = \hat{I} \cdot C$$?

Rezultatul este greșit: proba dă $$9 \cdot 11 = 99 \neq 108$$, iar valoarea corectă este $$108 : 9 = 12$$

Rezultatul este corect, fiindcă $$9 \cdot 11 = 108$$

Operația $$108 : 9$$ nu are sens

Rezultatul este corect, fiindcă $$9 + 11 = 20$$

Cum fac proba împărțirii?

Lecția pe scurt · clasa a V-a · Deîmpărțit, împărțitor, cât și probă

Înmulțești câtul cu împărțitorul și trebuie să obții deîmpărțitul. Pentru $91 : 7 = 13$ verifici $7 \cdot 13 = 91$ , deci rezultatul este bun. Proba merge fiindcă împărțirea este operația care desface înmulțirea. Când rămâne rest, adaugi restul la produs. Împărțitorul nu are voie să fie zero: nu există niciun număr care, înmulțit cu zero, să dea altceva decât zero.

Împărțirea exactă a numerelor naturale este operația inversă a înmulțirii: scriem $D : \hat{I} = C$ atunci când există un număr natural $C$ astfel încât $\hat{I} \cdot C = D$ , cu condiția $\hat{I} \neq = 0$ . Cei trei termeni se numesc deîmpărțit ( $D$ ), împărțitor ( $\hat{I}$ ) și cât ( $C$ ). Orice rezultat se verifică prin probă: $D = \hat{I} \cdot C$ .

Exemplu: pentru $91 : 7 = 13$ , proba este $7 \cdot 13 = 91$ ✓, deci rezultatul e corect.

Câteva reguli utile: $a : 1 = a$ ; $a : a = 1$ (dacă $a \neq = 0$ ); $0 : a = 0$ (dacă $a \neq = 0$ ). Împărțirea nu este comutativă: $D : \hat{I}$ nu este, în general, egal cu $\hat{I} : D$ . Cea mai importantă capcană rămâne împărțirea la zero: nu există niciun $C$ cu $0 \cdot C = a$ atunci când $a \neq = 0$ , deci împărțitorul nu poate fi niciodată zero, iar $0 : 0$ este nedeterminat.

De reținut

proba împărțirii exacte: cât $\cdot$ împărțitor $=$ deîmpărțit
cu rest: cât $\cdot$ împărțitor $+$ rest $=$ deîmpărțit, cu restul sub împărțitor
împărțitorul nu poate fi niciodată zero

Greșeala tipică

Proba se face împărțind încă o dată, ceea ce repetă aceeași eventuală greșeală. Verificarea adevărată se face cu operația opusă, adică prin înmulțire.

Exerciții din această mini-lecție

În operația $133 : 7 = 19$ , care număr este împărțitorul?
- a) $133$
- b) $7$
- c) $19$
- d) $26$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $7$

În scrierea $D : \hat{I} = C$ , primul număr ( $133$ ) este deîmpărțitul, al doilea ( $7$ ) este împărțitorul, iar rezultatul ( $19$ ) este câtul. Deci răspunsul corect este $7$ .
Un elev a calculat $108 : 9 = 11$ . Ce arată proba $D = \hat{I} \cdot C$ ?
- a) Rezultatul este corect, fiindcă $9 \cdot 11 = 108$
- b) Rezultatul este greșit: proba dă $9 \cdot 11 = 99 \neq = 108$ , iar valoarea corectă este $108 : 9 = 12$
- c) Operația $108 : 9$ nu are sens
- d) Rezultatul este corect, fiindcă $9 + 11 = 20$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Rezultatul este greșit: proba dă $9 \cdot 11 = 99 \neq = 108$ , iar valoarea corectă este $108 : 9 = 12$

Facem proba înmulțind împărțitorul cu câtul obținut: $9 \cdot 11 = 99$ , care nu este egal cu deîmpărțitul $108$ . Deci elevul a greșit. Căutăm câtul corect: $9 \cdot 12 = 108$ ✓, deci $108 : 9 = 12$ .
În operația $156 : 12 = 13$ , care număr este deîmpărțitul?
- a) $156$
- b) $12$
- c) $13$
- d) $25$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $156$

În scrierea $D : \hat{I} = C$ , primul număr ( $156$ ) este deîmpărțitul, al doilea ( $12$ ) este împărțitorul, iar rezultatul ( $13$ ) este câtul. Deci răspunsul corect este $156$ .

Întrebări conexe

Ce înseamnă că 91 se împarte exact la 7?

Că împărțirea nu lasă nimic pe dinafară, adică restul este zero. Altfel spus, 91 se poate scrie ca 7 înmulțit cu un număr natural, aici 13. Când restul nu este zero, împărțirea se numește cu rest.

Cum verific o împărțire care lasă rest?

Înmulțești câtul cu împărțitorul și adaugi restul. Pentru $23 : 4 = 5$ rest $3$ calculezi $4 \cdot 5 + 3 = 23$ . Verifici totodată că restul rămâne sub împărțitor, altfel câtul a fost luat prea mic.

De ce împărțirea lui 0 la 0 nu are răspuns?

Fiindcă orice număr înmulțit cu zero dă zero, deci ar merge oricare drept răspuns. Neputând alege unul singur, spunem că operația nu duce nicăieri. La fel, un număr nenul împărțit la zero nu are niciun răspuns.

Cum împart mental la 4 sau la 8?

Înjumătățești de mai multe ori. Pentru împărțirea la 4 tai numărul în două de două ori: $96$ devine 48, apoi 24. Pentru 8 repeți de trei ori, ajungând la 12. Metoda merge bine la numere pare.

Ce se întâmplă cu câtul dacă dublez deîmpărțitul?

Câtul se dublează și el, cât timp împărțitorul rămâne același. Din $20 : 5 = 4$ obții $40 : 5 = 8$ . Dacă ai dubla în schimb împărțitorul, câtul s-ar înjumătăți, fiindcă bucățile devin de două ori mai mari.

Are împărțirea element neutru?

Are unul singur, dar doar la dreapta: orice număr împărțit la 1 rămâne neschimbat. Invers nu funcționează, fiindcă $1 : 8$ nu dă 8. De aceea împărțirea nu se poate întoarce cum vrei, spre deosebire de înmulțire.

Oamenii mai întreabă și: proba împărțirii · cum verific o împărțire · împărțirea exactă a numerelor naturale · deîmpărțit împărțitor cât