În care dintre situații implicația $$p \Rightarrow q$$ este falsă?

$$p$$ adevărată, $$q$$ falsă

$$p$$ adevărată, $$q$$ adevărată

$$p$$ falsă, $$q$$ adevărată

În propoziția «Dacă un număr natural se termină în $$0$$, atunci el este divizibil cu $$5$$», care este ipoteza?

«numărul se termină în $$0$$»

«numărul este divizibil cu $$5$$»

Când este falsă o implicație?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Implicația «dacă…, atunci…»

Implicația $p \Rightarrow q$ cade într-un singur caz: ipoteza adevărată, concluzia falsă. În celelalte trei situații din tabel ea este adevărată, inclusiv atunci când se pornește de la ceva fals. Citește-o ca pe o înțelegere: „dacă termini tema, mergi la film” se încalcă numai când tema a fost gata, iar filmul nu a mai avut loc. Se numesc, în ordine, ipoteză și concluzie.

Implicația leagă două propoziții prin «dacă…, atunci…» și se notează $p \Rightarrow q$ (se citește «p implică q»). Prima propoziție, $p$ , se numește ipoteză, a doua, $q$ , concluzie.

Implicația este falsă într-un singur caz: când ipoteza este adevărată, dar concluzia este falsă. În toate celelalte cazuri este adevărată.

$p$	$q$	$p \Rightarrow q$
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Gândește-o ca pe o promisiune: «Dacă iei nota $10$ , îți cumpăr o carte». Promisiunea este încălcată doar dacă ai luat $10$ și nu ai primit cartea. Dacă nu ai luat $10$ , promisiunea rămâne nedezmințită, indiferent ce se întâmplă cu cartea — de aici vin ultimele două linii ale tabelului, care par ciudate la prima vedere.

Consecință des folosită: dintr-o ipoteză falsă se poate «demonstra» orice, deci implicația cu ipoteză falsă este mereu adevărată.

De reținut

$p \Rightarrow q$ este falsă doar când $p$ este adevărată și $q$ falsă
o ipoteză falsă face implicația adevărată
$\neg q \Rightarrow \neg p$ are aceeași valoare de adevăr ca $p \Rightarrow q$

Greșeala tipică

Implicația este întoarsă pe dos și, din „ $x = 3 \Rightarrow x^{2} = 9$ ”, se trage concluzia „ $x^{2} = 9 \Rightarrow x = 3$ ”. Reciproca este o afirmație nouă, care aici cade pentru $x = - 3$ .

Exerciții din această mini-lecție

În care dintre situații implicația $p \Rightarrow q$ este falsă?
- a) $p$ adevărată, $q$ adevărată
- b) $p$ adevărată, $q$ falsă
- c) $p$ falsă, $q$ adevărată
- d) $p$ falsă, $q$ falsă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $p$ adevărată, $q$ falsă

Implicația cade doar când pornești de la ceva adevărat și ajungi la ceva fals — asta ar însemna un raționament greșit. În celelalte trei cazuri implicația este adevărată.
Ce valoare de adevăr are propoziția «Dacă $2 + 2 = 5$ , atunci Luna este pătrată»?
- a) adevărată
- b) falsă
- c) nu este propoziție
- d) depinde de faza Lunii
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) adevărată

Ipoteza « $2 + 2 = 5$ » este falsă, iar o implicație cu ipoteză falsă este întotdeauna adevărată (ultimele două linii ale tabelului), oricât de năstrușnică ar fi concluzia.
În propoziția «Dacă un număr natural se termină în $0$ , atunci el este divizibil cu $5$ », care este ipoteza?
- a) «numărul este divizibil cu $5$ »
- b) «numărul se termină în $0$ »
- c) «numărul este natural»
- d) întreaga propoziție
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) «numărul se termină în $0$ »

Ipoteza este ce urmează după «dacă», iar concluzia — ce urmează după «atunci». Aici ipoteza este «numărul se termină în $0$ », iar concluzia «este divizibil cu $5$ ». Implicația este adevărată, pentru că orice număr terminat în $0$ se împarte exact la $5$ .

Întrebări conexe

Ce înseamnă formularea «p numai dacă q»?

Tot $p \Rightarrow q$ , adică ipoteza rămâne $p$ . Cuvântul „numai” nu întoarce săgeata, ci arată că $q$ este o condiție necesară. „Ești admis numai dacă ai peste $5$ ” înseamnă că admiterea aduce cu ea nota peste $5$ , nu invers.

La ce folosește demonstrația prin contrapoziție?

Când ipoteza este greu de folosit direct, dovedești în locul ei că negația concluziei duce la negația ipotezei. Cele două enunțuri au aceeași valoare de adevăr, deci una o înlocuiește pe cealaltă. Așa se arată, de pildă, că un pătrat par vine dintr-un număr par.

Ce este contrara unei implicații?

Enunțul $\neg p \Rightarrow \neg q$ , obținut negând ambele părți fără a le schimba locul. Ea poate fi falsă chiar dacă implicația inițială este adevărată: din „ $x = 2 \Rightarrow x^{2} = 4$ ” nu rezultă „ $x \neq = 2 \Rightarrow x^{2} \neq = 4$ ”, cum arată $x = - 2$ . Doar contrara reciprocei păstrează valoarea.

Cum arăt că o implicație este falsă?

Cauți un singur caz în care ipoteza se împlinește, iar concluzia nu. Un astfel de contraexemplu dărâmă enunțul, oricâte alte cazuri ar funcționa. Pentru „orice număr divizibil cu $3$ este divizibil cu $9$ ”, numărul $6$ este de ajuns.

Ce legătură are implicația cu teoremele din manual?

Aproape orice teoremă este o implicație: partea de după „dacă” adună datele, iar cea de după „atunci” spune ce se obține. Demonstrația arată că nu există niciun caz cu ipoteză împlinită și concluzie ratată. De aceea condițiile din enunț nu se pot sări.

Se poate ca și implicația, și reciproca ei să fie adevărate?

Da, iar atunci cele două propoziții sunt echivalente și se scrie „dacă și numai dacă”. Un exemplu este „un număr natural este par dacă și numai dacă ultima lui cifră este pară”. Criteriile de divizibilitate funcționează exact așa, în ambele sensuri.

Oamenii mai întreabă și: implicația în logică · dacă atunci în matematică · tabelul implicației · ipoteză și concluzie · p implică q