Cum traduc «cel mult» într-o inecuație?

O inecuație de gradul I traduce o limită din meserie: „cel mult”, „cel puțin”, „sub”. Se aduce la forma $ax+b\le c$ și se rezolvă ca o ecuație, cu o singură regulă nouă: când ambii membri se împart la un număr negativ, semnul inegalității se întoarce, fapt pe care îl explică și un grafic care coboară. Soluția se scrie ca interval, cu paranteză pătrată la capătul care intră și rotundă la cel care nu intră.

Metoda are cinci pași. Stabilești ce înseamnă necunoscuta și în ce mulțime are sens. Scrii condiția cu semnul potrivit, după ce ai adus toate mărimile în aceeași unitate. Rezolvi inecuația. Păstrezi numai valorile cu sens. Verifici rezultatul.

Două capcane costă cel mai des puncte. Prima este rotunjirea în sus a unui capăt fracționar: la obiecte numărate rămâne partea întreagă, nu cel mai apropiat întreg. A doua este capătul întreg: la „sub” el nu intră, la „cel mult” intră, iar diferența schimbă numărul de obiecte.

Controlul rapid: înlocuiești capătul în inecuația inițială, apoi prima valoare din afara soluției; prima trebuie să convină, a doua nu. La două condiții simultane faci intersecția intervalelor. În meserie scrii la final unitatea și compari rezultatul cu limita reală.

De reținut

• «cel mult» $\to \le$, «cel puțin» $\to \ge$, «sub» $\to <$
• împărțirea la un număr negativ întoarce sensul
• la obiecte numărate se păstrează partea întreagă a capătului

Greșeala tipică

Se rotunjește în sus un capăt fracționar: din $n\le 22,7$ se scrie $23$ de obiecte, deși al $23$-lea depășește limita. Corect este partea întreagă, adică $22$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Fișa tehnică a unei prese hidraulice dintr-un atelier de mecanică, folosită la ajustajul pieselor, spune: «forța de lucru $F$, în kN, trebuie să fie de cel puțin $45$ și să nu depășească $60$». Care dintre scrierile de mai jos exprimă această condiție?

   • a) $45<F<60$
   • b) $45\le F\le 60$
   • c) $F\le 45$ sau $F\ge 60$
   • d) $45\le F<60$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $45\le F\le 60$

   „Cel puțin $45$” înseamnă $F\ge 45$, iar „să nu depășească $60$” înseamnă $F\le 60$, deci $45\le F\le 60$, cu ambele capete incluse. Varianta $45<F<60$ exclude capetele, deși forța poate fi chiar $45$ sau $60$ kN. Varianta cu „sau” descrie valorile din afara intervalului, iar a patra scrie strict doar capătul de sus.

2. Într-un reactor dintr-un laborator de chimie sunt deja $120$ L de soluție și se mai pompează $15$ L pe minut. Reactorul are capacitatea de $500$ L. Câte minute întregi poate funcționa pompa fără să se depășească capacitatea?

   • a) $25$
   • b) $26$
   • c) $33$
   • d) $41$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $25$

   Pompa poate adăuga cel mult $500-120=380$ L, deci $15t\le 380$ și $t\le \frac{380}{15}=25,33\dots$, adică $25$ de minute întregi. Varianta $26$ rotunjește în sus, iar la $26$ de minute s-ar ajunge la $120+15\cdot 26=510$ L, peste capacitate. Varianta $33$ uită cei $120$ L deja existenți ($500:15\approx 33$), iar $41$ îi adună în loc să-i scadă ($\frac{500+120}{15}\approx 41$).

3. Pe un raft al unui magazin sunt $280$ de pachete de unt, iar în fiecare oră se vând $14$. Stocul de siguranță cere cel puțin $35$ de pachete pe raft. Pentru ce numere $x$ de ore de la deschidere este îndeplinită condiția?

   • a) $x\le 22,5$
   • b) $x\ge -17,5$
   • c) $x\ge 17,5$
   • d) $x\le 17,5$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $x\le 17,5$

   Stocul după $x$ ore este $280-14x$, iar condiția $280-14x\ge 35$ dă $-14x\ge -245$. Împărțim la $-14$, număr negativ, deci sensul se schimbă: $x\le 17,5$. Varianta $x\ge 17,5$ păstrează sensul, deși stocul scade în timp, iar $x\le 22,5$ adună $35$ în loc să-l scadă ($\frac{280+35}{14}=22,5$). Varianta $x\ge -17,5$ împarte la $14$ în loc de $-14$ și nu schimbă sensul.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: cel mult și cel puțin în inecuații · inecuație din condiții de lucru · cum scriu o limită ca inecuație · inecuația de gradul I cu număr întreg de obiecte