Inecuații pe condiții de lucru, la tehnologic

O tură de lucru are o limită, un camion are o sarcină maximă, un depozit are un stoc minim. Fiecare asemenea regulă se scrie cu „cel mult” sau „cel puțin”, adică printr-o inecuație. Aici, la liceul tehnologic, înveți în clasa a IX-a să le rezolvi pe cele de gradul I: afli intervalul, păstrezi numerele care au sens în situație și combini două condiții. Programa Bacalaureatului M3 (M_tehnologic) conține tema ca supliment față de programa nouă a clasei.

Situația de pornire

O firmă de transport de marfă folosește un camion cu o sarcină utilă de 7,5 t pentru livrări către magazine din oraș. Regula firmei, dată aici ca exemplu și nu ca prevedere legală, spune că o tură nu poate depăși 9 ore, de la începutul încărcării până la întoarcerea în depozit. Dispecerul vrea să afle câte livrări poate programa într-o tură. Din fișele de la ultimele curse a scos duratele de mai jos; kilometrii dintre opriri sunt scurți, iar vehiculul stă la fiecare oprire pentru parcare și descărcare.

Întrebare: câte livrări încap într-o tură și între ce valori ale numărului de livrări poate varia tura, dacă firma cere cel puțin 12 livrări pentru ca ruta să fie rentabilă?

De la situație la model

O inecuație de gradul I cu o necunoscută este o inegalitate de forma $ax+b\le 0$, sau cu $<$, $\ge$, $>$ în loc de $\le$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale și $a\ne 0$. O soluție este un număr care o face adevărată, iar mulțimea soluțiilor pe $\mathbb{R}$ este un interval nemărginit. Aici durata turei are o parte fixă și una care crește cu fiecare livrare: încărcarea, drumul până la prima oprire și întoarcerea fac 121 min, fiecare livrare adaugă 14 min, iar între $n$ opriri sunt $n-1$ drumuri de câte 9 min. Totul se strânge în $23n+112$, o funcție de gradul I a lui $n$, ca cele din lecția consum și debit.

Ce înseamnă „cel mult 9 ore” pe graficul turei?

Durata turei crește cu 23 min la fiecare livrare, deci graficul ei urcă. Limita este orizontala de 540 min. Tura e permisă cât timp dreapta stă sub orizontală sau o atinge, adică până la abscisa punctului comun, unde $23n+112=540$. Algebric, scazi 112 din ambii membri și împarți la 23, un număr pozitiv, deci sensul rămâne: $23n\le 428$ și $n\le \frac{428}{23}=18,6\dots$ Capătul intră, fiindcă „cel mult” permite și 540 min exact; pe numere reale, soluția este intervalul $\left(-\infty ;\frac{428}{23}\right]$, cu paranteză pătrată la capăt.

De ce se întoarce sensul când mărimea scade?

Pe șantierul din Exemplul 2, stocul de cărămizi după $x$ ore de lucru este $1840-68x$: scade cu 68 la fiecare oră, deci graficul coboară. O mărime care scade e mare la început, așa că „stocul e de cel puțin 300” rămâne adevărat până în momentul în care stocul coboară la 300, nu după el. Condiția cu $\ge$ despre stoc devine o condiție cu $\le$ despre timp. În calcul, întoarcerea apare exact când împarți la coeficientul negativ, $-68$. Regula: împărțirea ambilor membri la un număr negativ schimbă sensul inegalității, iar împărțirea la un număr pozitiv îl păstrează.

Ce faci cu capătul 18,6… când numeri livrări?

Livrările se numără, deci $n$ este un număr natural nenul. Din interval păstrezi numerele $1,2,\dots ,18$: cel mai mare este partea întreagă a lui $18,6\dots$, iar 19 nu e în interval, deci nu rotunjești în sus. Când capătul iese întreg, contează semnul: la o limită de 526 min, $23n+112\le 526$ dă $n\le 18$, iar „mai puțin de 526 min”, adică $23n+112<526$, dă $n<18$, deci cel mult 17 livrări.

Ce rămâne când firma cere și un minim de livrări?

Condiția „cel puțin 12 livrări” dă $n\ge 12$. Cele două condiții trebuie îndeplinite împreună, deci păstrezi numerele comune celor două intervale: de la 12 la 18, adică 7 variante de tură. Intervalul comun are două capete; intervale de acest fel apar și la modulul unui număr real, unde toleranța unei piese se scrie tot ca inegalitate. Sisteme de două ecuații, nu de inecuații, găsești în lecția sisteme 2×2: două oferte.

Metoda pas cu pas

1. Alege necunoscuta. Scrie ce înseamnă $x$ și în ce mulțime are sens: numere naturale pentru obiecte, persoane sau livrări, numere întregi sau reale pentru mărimi care se pot măsura oricât de fin.
2. Scrie condiția. Traduci „cel mult” prin $\le$, „cel puțin” prin $\ge$, „mai puțin de” prin $<$ și „mai mult de” prin $>$. Pune toate duratele sau mărimile în aceeași unitate înainte să scrii inecuația, ca să nu amesteci minutele cu orele sau gramele cu kilogramele.
3. Rezolvă inecuația. Aduci necunoscuta singură: scazi termenul liber din ambii membri, apoi împarți ambii membri la coeficient. Dacă împarți la un număr negativ, schimbi sensul. Scrie soluția ca interval, cu paranteza potrivită: pătrată la $\le$ și $\ge$, rotundă la $<$ și $>$.
4. Alege soluțiile cu sens. Din interval păstrezi numerele care aparțin mulțimii din pasul 1. Verifică dacă capătul intră, adică dacă inegalitatea e nestrictă. Când ai două condiții, faci intersecția intervalelor și apoi alegi numerele.
5. Verifică. Înlocuiește în inecuația inițială o valoare din soluție, capătul, dacă e întreg, și prima valoare din afara soluției. Scrie unitatea. Dacă una dintre probe nu iese, reia pasul 3.

Fiecare pas protejează un rezultat. Din pasul 2 vine unitatea corectă, din pasul 3 sensul inegalității, iar din pasul 4 numărul de soluții. Pasul 5 e singurul care prinde o greșeală de semn făcută la împărțire sau o rotunjire în sus a soluției, iar fără el poți programa o tură mai lungă decât limita permisă. Ordinea lecțiilor din an o vezi în traseul clasei a IX-a, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$$a>0:ax+b\le c⟺x\le \frac{c-b}{a}$$

$$a<0:ax+b\le c⟺x\ge \frac{c-b}{a}$$

Se aplică numai când $a\ne 0$: dacă $a=0$, necunoscuta dispare și inegalitatea e fie adevărată pentru orice $x$, fie falsă pentru orice $x$. Pentru $<$, $\ge$ și $>$ regula e aceeași, cu semnul inegalității din enunț. Soluția se scrie ca interval: pătrat la $\le$ și $\ge$, rotund la $<$ și $>$. Verificare rapidă: ia o valoare din interval și una din afară și înlocuiește-le în inecuația inițială; prima trebuie să o verifice, a doua nu.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Câte livrări încap într-o tură

Domeniu: auto.

Enunț. Folosește tabelul din situația de pornire. a) Scrie durata turei pentru $n$ livrări. b) Rezolvă inecuația și spune câte livrări încap într-o tură. c) Între ce valori ale lui $n$ poate varia tura, dacă firma cere cel puțin 12 livrări? d) Cât timp rămâne nefolosit la tura cu cele mai multe livrări? e) Pe graficul din situație, pentru ce valori ale lui $n$ stă dreapta sub orizontala de 540 min?

Rezolvare. a) Tura are încărcarea, drumul până la prima oprire, $n$ livrări, $n-1$ drumuri între opriri și întoarcerea: $47+36+14n+9(n-1)+38=23n+112$ minute.

b) Condiția este $23n+112\le 540$. Scădem 112: $23n\le 428$, deci $n\le \frac{428}{23}=18,6\dots$ Cum $n$ este număr natural, $n\le 18$: într-o tură încap cel mult 18 livrări.

c) Sistemul $n\le 18$ și $n\ge 12$ are soluțiile $n\in \{12;13;\dots ;18\}$, adică 7 valori.

d) Cu 18 livrări tura durează $23\cdot 18+112=526$ min, deci rămân $540-526=14$ min.

e) Dreapta stă sub orizontală sau pe ea când $23n+112\le 540$, adică până la abscisa punctului comun, $n=\frac{428}{23}=18,6\dots$ Pe numere naturale nenule rămân tot $1;2;\dots ;18$, la fel ca la punctul b).

Capcană. Dacă rotunjești 18,6 la 19, tura ar dura $23\cdot 19+112=549$ min, cu 9 min peste limită. Partea întreagă, nu rotunjirea, dă răspunsul.

Verificare. Fiecare livrare nouă adaugă 23 min. Cu 18 livrări avem $23\cdot 18=414\le 428$, iar cu 19 avem $23\cdot 19=437>428$. Același rezultat, fără să împărțim.

Exemplul 2 — Stocul de cărămizi

Domeniu: constructii.

Enunț. Pe un șantier sunt 1 840 de cărămizi, iar zidarii folosesc 68 pe oră. Când stocul scade sub 300, se comandă o nouă livrare. a) Până la a câta oră întreagă stocul este cel puțin 300? b) De la a câta oră trebuie comandată livrarea? c) Cât timp ar ajunge stocul, în ore întregi, dacă nu s-ar comanda nimic?

Rezolvare. a) După $x$ ore stocul este $1840-68x$. Condiția este $1840-68x\ge 300$, deci $-68x\ge -1540$. Împărțim la $-68$, număr negativ, și schimbăm sensul: $x\le \frac{1540}{68}=22,6\dots$ Cu ore întregi, $x\le 22$.

b) Condiția „sub 300” este $1840-68x<300$, deci $-68x<-1540$ și, la împărțire, $x>22,6\dots$ Primul număr natural care verifică este 23: livrarea se comandă la ora 23.

c) Stocul nu poate fi negativ: $1840-68x\ge 0$ dă $x\le \frac{1840}{68}=27,0\dots$, deci stocul ajunge 27 de ore întregi. La ora 27 rămân $1840-68\cdot 27=4$ cărămizi.

Capcană. Cine împarte la $-68$ și păstrează sensul $\ge$ obține $x\ge 22,6\dots$, adică de la ora 23 în sus. Dar la ora 23 stocul este sub 300, nu peste.

Verificare. După 22 de ore stocul este $1840-68\cdot 22=344$, adică cel puțin 300, iar după 23 de ore este $1840-68\cdot 23=276$, adică sub 300.

Exemplul 3 — Pungi într-o navetă

Domeniu: alimentar.

Enunț. La o brutărie, pungile de covrigei de 375 g se așază în navete de plastic cu masa goală de 1,25 kg. O navetă plină nu poate depăși 18 kg, ca s-o poată ridica un singur om. a) Câte pungi încap într-o navetă? b) Cât cântărește naveta plină, în g și în kg? c) Câte pungi încap dacă limita navetei ar fi de 20 kg?

Rezolvare. a) Aducem totul la grame: 18 kg $=18000$ g și 1,25 kg $=1250$ g. Condiția este $1250+375n\le 18000$, deci $375n\le 16750$ și $n\le \frac{16750}{375}=44,6\dots$ În navetă încap cel mult 44 de pungi.

b) Masa este $1250+375\cdot 44=17750$ g, adică 17,75 kg.

c) Cu limita de 20 kg $=20000$ g, condiția este $1250+375n\le 20000$, deci $375n\le 18750$ și $n\le 50$. Aici capătul e număr întreg: 50 de pungi cântăresc împreună cu naveta exact 20000 g, ceea ce nu depășește limita, deci 50 încap.

Capcană. Dacă amesteci unitățile și scrii $1,25+375n\le 18$, cu kg într-un termen și g în altul, obții $n\le 0,04\dots$, adică nicio pungă: rezultatul fără sens arată că unitățile nu se potrivesc.

Verificare. Cu 44 de pungi naveta cântărește 17750 g, sub 18000 g. Cu 45, ar cântări $1250+375\cdot 45=18125$ g, peste limită cu 125 g.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: probabilitate cu inegalitate

Domeniu: mediu.

Enunț. (În stilul Bac M3.) Probabilitatea unui eveniment se obține împărțind numărul cazurilor favorabile la numărul cazurilor posibile; noțiunea face parte din programa clasei a X-a. Un laborant alege la întâmplare unul dintre cele 13 puncte de prelevare a apei de pe un râu, numerotate de la 1 la 13, și notează numărul $n$ al punctului ales. Determinați probabilitatea ca $n$ să verifice inegalitatea $9n-17\le 52$.

Rezolvare. Mulțimea $A=\{1;2;\dots ;13\}$ are 13 elemente, deci sunt 13 cazuri posibile. Din $9n-17\le 52$ rezultă $9n\le 69$ și $n\le \frac{69}{9}=7,6\dots$, deci numerele din $A$ care o verifică sunt $1;2;\dots ;7$, adică 7 cazuri favorabile. Probabilitatea este $p=\frac{7}{13}$.

Capcană. Cine rotunjește 7,6 la 8 numără 8 cazuri favorabile și obține $\frac{8}{13}$. Dar $9\cdot 8-17=55>52$, deci 8 nu verifică inegalitatea.

Verificare. Cazurile nefavorabile sunt $8;9;\dots ;13$, adică 6. Cum $7+6=13$, iar $\frac{7}{13}+\frac{6}{13}=1$, numărătoarea e completă.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Rezolvă pe $\mathbb{R}$ și scrie soluția ca interval: a) $8x-19\le 53$; b) $15-4x>39$; c) $\frac{x}{3}+7\ge 2$.

2. Câte numere naturale verifică inegalitatea $6x-35<41$?

3. Rezolvă sistemul $3x-8>7$ și $5x+4\le 59$ și scrie numerele întregi care îl verifică.

4. Scrie ca inecuație și rezolvă: a) „de 4 ori un număr, micșorat cu 11, este cel mult 37”; b) „de 5 ori un număr, mărit cu 8, este mai mare decât 63”.

Nivelul 2 — situații

5. Pe un șantier, un generator dă cel mult 6,5 kW. Betoniera ia 1,4 kW, iar fiecare reflector ia 0,4 kW. Câte reflectoare pot funcționa în același timp cu betoniera?

6. La o fermă, adăpostul are 84 m². Pentru hrănitori și culoare se rezervă 11 m², iar fiecare oaie are nevoie de 2,4 m². Câte oi încap în adăpost?

7. O șalupă de agrement din Delta Dunării are sarcina utilă de 1 450 kg. Pentru fiecare turist, cu bagaj cu tot, se socotesc 84 kg. Plimbarea se face numai dacă sunt cel puțin 11 turiști. Pentru ce numere de turiști se poate face plimbarea?

8. Un service auto strânge bani pentru un elevator second-hand, al cărui preț cerut scade de la o lună la alta. Suma din fond și prețul, în mii de lei, au, la $x$ luni, graficele a două drepte: fondul trece prin $(2;14)$ și $(6;30)$, iar prețul prin $(1;27)$ și $(5;19)$. De la ce lună ajung banii din fond pentru elevator?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Un număr $n$ se alege la întâmplare din mulțimea $A=\{0;1;2;\dots ;9\}$. Probabilitatea unui eveniment se obține împărțind cazurile favorabile la cele posibile. Determinați probabilitatea ca $n$ să verifice inegalitatea $4n\le 31$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Un număr natural $n$ de o cifră se alege la întâmplare. Probabilitatea unui eveniment se obține împărțind cazurile favorabile la cele posibile. Calculați probabilitatea ca $n$ să verifice inegalitatea $31-3n<13$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Un număr $n$ se alege la întâmplare din mulțimea $A=\{1;3;5;7;9;11;13\}$. Probabilitatea unui eveniment se obține împărțind cazurile favorabile la cele posibile. Determinați probabilitatea ca $n$ să verifice inegalitatea $5n\ge 38$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Pe $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție $x\ast y=x+y-10$, asociativă. Determinați numerele naturale nenule $n$ pentru care $n\ast n\ast n<13$.

Răspunsuri și verificări

1. a) $8x\le 72$, deci $x\le 9$, adică $(-\infty ;9]$. b) $-4x>24$, deci $x<-6$, adică $(-\infty ;-6)$. c) $\frac{x}{3}\ge -5$, deci $x\ge -15$, adică $[-15;+\infty )$. Verificare: $8\cdot 9-19=53$; $15-4\cdot (-7)=43>39$; $-15:3+7=2$.

2. Din $6x<76$ rezultă $x<\frac{76}{6}=12,6\dots$, deci $x\in \{0;1;\dots ;12\}$, adică 13 numere. Verificare: $6\cdot 12-35=37<41$, iar $6\cdot 13-35=43>41$.

3. Din $3x>15$ rezultă $x>5$, iar din $5x\le 55$ rezultă $x\le 11$. Soluția este $(5;11]$, iar numerele întregi sunt $6;7;\dots ;11$, adică 6 numere. Verificare: $x=6$ dă $3\cdot 6-8=10>7$; $x=11$ dă $5\cdot 11+4=59\le 59$.

4. a) $4x-11\le 37$ dă $x\le 12$. b) $5x+8>63$ dă $x>11$. Verificare: $4\cdot 12-11=37$ și $5\cdot 12+8=68>63$.

5. $1,4+0,4n\le 6,5$ dă $0,4n\le 5,1$ și $n\le 12,75$, deci cel mult 12 reflectoare. Verificare: la 12 reflectoare puterea este $1,4+4,8=6,2$ kW, iar la 13 ar fi $6,6$ kW, peste 6,5 kW.

6. $11+2,4n\le 84$ dă $2,4n\le 73$ și $n\le 30,4\dots$, deci cel mult 30 de oi. Verificare: $11+2,4\cdot 30=83\le 84$ m², iar cu 31 de oi ar fi $85,4$ m².

7. $84n\le 1450$ dă $n\le 17,2\dots$, adică $n\le 17$, iar a doua condiție este $n\ge 11$. Plimbarea se face pentru $n\in \{11;12;\dots ;17\}$, adică 7 valori. Verificare: $84\cdot 17=1428\le 1450$ kg, iar $84\cdot 18=1512>1450$ kg.

8. Fondul: panta $\frac{30-14}{6-2}=4$ și $f(x)=4x+6$. Prețul: panta $\frac{19-27}{5-1}=-2$ și $g(x)=-2x+29$. Condiția $4x+6\ge -2x+29$ dă $6x\ge 23$, deci $x\ge \frac{23}{6}=3,8\dots$ luni: banii ajung din luna a 4-a. Verificare: la $x=4$, $f(4)=22$ și $g(4)=21$, deci $f\ge g$; la $x=3$, $f(3)=18<23=g(3)$.

9. Mulțimea $A$ are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile. Din $4n\le 31$ rezultă $n\le 7,7\dots$, deci favorabile sunt numerele $0;1;\dots ;7$, adică 8 cazuri, iar $p=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$. Verificare: $4\cdot 7=28\le 31$, iar $4\cdot 8=32>31$.

10. Numerele naturale de o cifră sunt $0;1;\dots ;9$, deci sunt 10 cazuri posibile. Din $31-3n<13$ rezultă $-3n<-18$ și, prin împărțire la $-3$, $n>6$. Favorabile sunt $7;8;9$, adică 3 cazuri, iar $p=\frac{3}{10}$. Verificare: $31-3\cdot 7=10<13$, iar $31-3\cdot 6=13$, care nu e mai mic decât 13.

11. Mulțimea $A$ are 7 elemente, deci sunt 7 cazuri posibile. Din $5n\ge 38$ rezultă $n\ge 7,6$, deci favorabile sunt $9;11;13$, adică 3 cazuri, iar $p=\frac{3}{7}$. Verificare: $5\cdot 9=45\ge 38$, iar $5\cdot 7=35<38$.

12. $n\ast n=n+n-10=2n-10$ și $n\ast n\ast n=(2n-10)+n-10=3n-20$. Inecuația $3n-20<13$ dă $3n<33$, deci $n<11$, iar numerele naturale nenule sunt $1;2;\dots ;10$, adică 10 numere. Verificare: $3\cdot 10-20=10<13$, iar pentru $n=11$ avem $3\cdot 11-20=13$, care nu e mai mic decât 13.

Așa vine la Bac M3

Forma directă lipsește: nicio cerință nu spune „Rezolvați inecuația…” în probele oficiale 2013–2026, dar tema rămâne în programa de examen, deci poate fi cerută și așa. Până acum ea a apărut doar ca pas în interiorul altei cerințe, în 6 probe. În cinci dintre ele, la Subiectul I, cerința 4, se cere probabilitatea ca un număr dintr-o mulțime să verifice o inegalitate de gradul I; probabilitatea e noțiune din clasa a X-a. În a șasea, la Subiectul II, problema 2, punctul c, inegalitatea apare după calculul unei expresii cu o lege de compoziție, noțiune din clasa a XII-a. Patru cerințe reale, din probe diferite, arată rolul inecuației:

• Proba specială din 2022, Subiectul I, exercițiul 4: se alege un număr dintr-o mulțime și se cere probabilitatea ca el să verifice o inegalitate nestrictă cu limita neîntreagă, deci la pasul 4 din Metodă păstrezi numerele de sub limită; baremul probei dă 2 puncte pentru numărul cazurilor posibile și 3 puncte pentru cazurile favorabile și probabilitate.
• Iunie 2026, Subiectul I, exercițiul 4: se alege un număr natural de o cifră și inegalitatea este strictă, cu necunoscuta cu semn minus, deci la pasul 3 împărțirea la un număr negativ schimbă sensul; baremul probei dă 2 puncte pentru cazurile posibile și 3 puncte pentru cazurile favorabile și probabilitate.
• August 2023, Subiectul I, exercițiul 4: mulțimea din care se alege conține numai numere impare, deci la pasul 4 numeri doar elementele ei care verifică inegalitatea; baremul probei dă 2 puncte pentru cazurile posibile și 3 puncte pentru cazurile favorabile și probabilitate.
• Proba specială din 2017, Subiectul al II-lea, exercițiul 2c: se cer numerele naturale nenule pentru care o expresie obținută cu legea de compoziție este mai mică decât o valoare dată, deci întâi se calculează expresia, apoi se aplică pasul 3 și pasul 4 din Metodă; baremul probei dă 2 puncte pentru expresia calculată și 3 puncte pentru inegalitatea rezolvată și cele două valori.

Exercițiile 9–12 repetă aceste forme, cu definiția probabilității și a legii scrise în enunț.

Greșeli care costă puncte

• Împarți la un număr negativ și lași sensul inegalității → cum o prinzi: înlocuiești în inecuația inițială o valoare din soluție, care trebuie să o verifice.
• Rotunjești în sus o soluție fracționară, precum 18,6 → 19 → cum o prinzi: calculezi condiția în 18 și în 19; doar prima trebuie să o verifice.
• Confunzi $<$ cu $\le$ la capăt → cum o prinzi: înlocuiești capătul în inecuația inițială; la $\le$ intră, la $<$ nu, iar la o limită ca cea de 20 kg a navetei diferența schimbă numărul de pungi.
• Numeri toate numerele naturale, nu doar pe cele din mulțimea dată → cum o prinzi: scrii întâi mulțimea și numărul ei de elemente, apoi numeri doar elementele care verifică inegalitatea; probabilitatea nu poate depăși 1.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: rezolvarea inecuațiilor de gradul I pe mulțimea numerelor reale face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a IX-a), deși programa nouă a clasei a IX-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 6 probe, la Subiectul I și Subiectul al II-lea. În programa Bacalaureatului din 2030 tema reapare în unitatea XI.1 (calcul numeric și algebric aplicat) la toate cele patru profiluri (MAT_P3–MAT_P6).

Întrebări frecvente

Ce se schimbă dacă fiecare livrare durează 5 minute în plus, din cauza parcării?

O livrare costă acum 19 min, iar cu cei 9 min de drum, 28 min pe oprire. Tura devine $28n+112\le 540$, adică $28n\le 428$ și $n\le 15,2\dots$, deci 15 livrări. Cele 5 minute adăugate la fiecare oprire reduc tura cu 3 livrări față de cele 18 inițiale.

Câte livrări încap dacă încărcarea se face cu un transpalet electric, în 29 de minute?

Partea fixă scade cu 47 − 29 = 18 min, deci tura devine $23n+94\le 540$, adică $23n\le 446$ și $n\le 19,3\dots$ Încap 19 livrări, una mai mult decât înainte: cu 19 livrări tura durează $23\cdot 19+94=531$ min, sub 540, iar cu 20 ar dura 554 min, peste limită.

Ce face dispecerul dacă firma ar cere cel puțin 20 de livrări pe tură?

Condițiile $n\ge 20$ și $n\le 18$ nu au niciun număr comun, deci nicio tură cu un singur camion nu le respectă pe amândouă. Cu 20 de livrări tura ar dura $23\cdot 20+112=572$ min, adică 9 h 32 min, cu 32 min peste limită. Dispecerul împarte livrările pe două camioane sau firma schimbă regula.

De ce sunt cu un drum mai puține decât livrările?

Între prima și a doua oprire e un drum, între a doua și a treia încă unul, deci la 18 opriri sunt 17 drumuri de câte 9 min. Drumul spre prima oprire și întoarcerea se socotesc separat. Cine pune 9 min la fiecare livrare obține $23n+121$ și o tură de 535 min la 18 livrări, cu 9 min mai lungă decât în realitate.

În ce cerințe de la Bacalaureatul M3 intră inecuația de gradul I?

Ca pas în alte cerințe din proba M_tehnologic, nu ca „Rezolvați inecuația”. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 6 probe: cinci cer probabilitatea ca un număr dintr-o mulțime să verifice o inegalitate, iar una cere numere naturale nenule după o lege de compoziție. Partea de inecuație se rezolvă cu metoda din lecție; probabilitatea și legea vin din clasele a X-a și a XII-a.