Fie $$A = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$$ și $$B = \{3, 6, 9, 12, 15\}$$. Cât este $$A \cap B$$?

$$\{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15\}$$

Fie $$A = \{1, 4, 9, 16\}$$ (pătrate perfecte) și $$B = \{2, 3, 5, 7, 11, 13\}$$ (numere prime). Ce se poate spune despre mulțimile $$A$$ și $$B$$?

$$A \cap B = \varnothing$$, deci $$A$$ și $$B$$ sunt disjuncte

$$A \cap B = \{1\}$$, deci nu sunt disjuncte

$$A \cap B = A$$, deci $$A \subseteq B$$

Fie $$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$$ și $$B = \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$$. Cât este $$A \cap B$$?

$$\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$$

Ce este intersecția a două mulțimi?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Intersecția a două mulțimi

Intersecția $A \cap B$ strânge numai elementele care se găsesc deodată în amândouă mulțimile. Cuvântul care o descrie este și: un element intră doar dacă trece de ambele condiții. Pentru $A = {2, 3, 5, 7, 9}$ și $B = {1, 3, 5, 7, 8}$ rămân ${3, 5, 7}$ . Pe desenul cu două cercuri, este zona din mijloc, acolo unde ele se suprapun. Când nu există niciun element comun, rezultatul este mulțimea vidă.

Intersecția mulțimilor $A$ și $B$ , notată $A \cap B$ , este mulțimea elementelor care aparțin și lui $A$ , și lui $B$ (elementele comune). Cuvântul-cheie este „și” — un element intră doar dacă îndeplinește ambele condiții deodată. Pe diagrama Venn, intersecția este lentila din mijloc, zona unde cele două cercuri se suprapun.

Dacă $A \cap B = \emptyset$ , mulțimile se numesc disjuncte (nu au niciun element comun). Atenție: $\emptyset$ (mulțime vidă) nu este același lucru cu numărul $0$ .

Proprietăți: $A \cap B = B \cap A$ (comutativitate), $A \cap \emptyset = \emptyset$ , $A \cap A = A$ ; dacă $A \subseteq B$ , atunci $A \cap B = A$ .

Exemplu. Fie $A = {2, 3, 5, 7, 9}$ și $B = {1, 3, 5, 7, 8}$ . Parcurg $B$ și verific fiecare element în $A$ : $1 \in / A$ , $3 \in A$ , $5 \in A$ , $7 \in A$ , $8 \in / A$ . Deci $A \cap B = {3, 5, 7}$ .

De reținut

$A \cap B$ = elementele aflate și în $A$ , și în $B$
mulțimi fără elemente comune: $A \cap B = \emptyset$ , numite disjuncte
$A \cap B = B \cap A$ , iar $A \cap A = A$

Greșeala tipică

Se trec în rezultat toate elementele celor două mulțimi, ca la reuniune; intersecția păstrează exclusiv ce apare în amândouă, deci rezultatul nu poate avea mai multe elemente decât mulțimea mai mică.

Exerciții din această mini-lecție

Fie $A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}$ și $B = {3, 6, 9, 12, 15}$ . Cât este $A \cap B$ ?
- a) ${6, 12}$
- b) $\emptyset$
- c) ${3, 6, 9, 12, 15}$
- d) ${2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) ${6, 12}$

Parcurg elementele lui $B$ și verific care se află și în $A$ : $3 \in / A$ , $6 \in A$ , $9 \in / A$ , $12 \in A$ , $15 \in / A$ . Elementele comune sunt $6$ și $12$ , deci $A \cap B = {6, 12}$ . Varianta (c) confundă intersecția cu mulțimea $B$ însăși, iar varianta (d) confundă intersecția cu reuniunea.
Fie $A = {1, 4, 9, 16}$ (pătrate perfecte) și $B = {2, 3, 5, 7, 11, 13}$ (numere prime). Ce se poate spune despre mulțimile $A$ și $B$ ?
- a) $A \cap B = {1}$ , deci nu sunt disjuncte
- b) $A \cap B = \emptyset$ , deci $A$ și $B$ sunt disjuncte
- c) $A \cap B = A$ , deci $A \subseteq B$
- d) $A \cap B = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $A \cap B = \emptyset$ , deci $A$ și $B$ sunt disjuncte

Niciun pătrat perfect din $A$ nu este număr prim (1, 4, 9, 16 nu apar în lista numerelor prime din $B$ ), deci nu există niciun element comun. Prin urmare $A \cap B = \emptyset$ , iar $A$ și $B$ sunt disjuncte. Varianta (d) este greșeala clasică de a scrie numărul 0 în loc de mulțimea vidă $\emptyset$ — acestea sunt lucruri diferite.
Fie $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ și $B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}$ . Cât este $A \cap B$ ?
- a) ${4, 5, 6, 7}$
- b) $\emptyset$
- c) ${1, 2, 3, 8, 9}$
- d) ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) ${4, 5, 6, 7}$

Elementele comune celor două mulțimi sunt $4, 5, 6, 7$ (apar și în $A$ , și în $B$ ). Deci $A \cap B = {4, 5, 6, 7}$ . Varianta (c) adună elementele necomune, iar (d) este reuniunea $A \cup B$ .

Întrebări conexe

Ce înseamnă că un element aparține intersecției a două mulțimi?

Înseamnă că el se regăsește în prima mulțime și, în același timp, în a doua. Verificarea se face în doi pași: îl cauți întâi într-una, apoi în cealaltă. Dacă lipsește dintr-una singură, elementul nu intră în rezultat, oricât de aproape ar părea.

Cum aflu numărul elementelor din intersecția a două mulțimi?

Le numeri direct, după ce ai scris rezultatul. Când cunoști doar cardinalele, folosești legătura dintre reuniune și intersecție: numărul elementelor comune este suma celor două cardinale minus numărul elementelor reuniunii. Din $12 + 9 - 16$ obții $5$ elemente comune.

Ce se obține din intersecția unei mulțimi cu o submulțime a ei?

Se obține chiar submulțimea, fiindcă toate elementele ei se află deja în mulțimea mare. Dacă $A \subseteq B$ , atunci $A \cap B = A$ . Pe diagramă, cercul mic este desenat în interiorul celui mare, iar zona comună coincide cu el.

Cum arată intersecția mulțimii numerelor pare cu mulțimea multiplilor lui 3?

Conține numerele care se împart exact și la $2$ , și la $3$ , adică multiplii lui $6$ : $0$ , $6$ , $12$ , $18$ și așa mai departe. Regula generală este că intersecția mulțimilor de multipli dă multiplii celui mai mic multiplu comun al numerelor.

Ce legătură are intersecția cu cuvântul și dintr-o problemă?

Cuvântul și cere îndeplinirea ambelor condiții deodată, exact ce face intersecția. Formularea elevii care joacă fotbal și șah se traduce prin zona comună a celor două mulțimi. În schimb, cuvântul sau duce la reuniune, care păstrează și elementele îndeplinite pe jumătate.

Cum folosesc intersecția într-o problemă cu elevii care fac două sporturi?

Desenezi două cercuri care se suprapun și scrii în mijloc numărul celor care practică ambele sporturi. Restul fiecărui cerc conține doar practicanții unui singur sport. Așa nu numeri de două ori aceleași persoane, greșeala obișnuită la astfel de probleme.

Oamenii mai întreabă și: intersecția mulțimilor · elementele comune a două mulțimi · semnul de intersecție la mulțimi · A intersectat cu B