Cum rezolv ecuația e la x egal cu un număr?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Logaritmii ln și lg

Pentru $m > 0$ , ecuația $e^{x} = m$ are soluția exactă $x = ln m$ , logaritmul natural al lui $m$ ; pentru $m \leq 0$ nu are soluții. Exemplu: $e^{x} = 20$ dă $x = ln 20 \approx 2, 996$ , iar încadrarea $e^{2} \approx 7, 39 < 20 < e^{3} \approx 20, 09$ confirmă că soluția este puțin sub $3$ . La fel, $1 0^{x} = m$ are soluția $x = l g m$ , iar calculatorul dă valoarea aproximativă cu tasta potrivită bazei.

Două baze de logaritm au nume proprii. Logaritmul zecimal, notat $l g x$ , este logaritmul în baza zece, iar logaritmul natural, notat $ln x$ , este logaritmul în baza $e \approx 2, 718$ . Ambele există doar pentru argumente strict pozitive și se calculează exact numai când argumentul este o putere a bazei; în rest folosești tastele „log” și „ln” ale calculatorului, după ce ai încadrat rezultatul între doi întregi consecutivi.

Logaritmul zecimal citește ordinul de mărime: pentru un număr scris științific, $a \cdot 1 0^{n}$ cu mantisa între unu și zece, logaritmul este între $n$ și $n + 1$ . Logaritmul natural dă soluția exactă a ecuației $e^{x} = m$ pentru $m$ pozitiv, iar $l g m$ o dă pe cea a ecuației $1 0^{x} = m$ . De aici vine folosirea lui în modelele continue $N_{0} e^{k t}$ : momentul în care mărimea atinge un prag se află scriind exponentul ca logaritm natural și împărțind la $k$ .

Pe grafic, ambele funcții trec prin punctul $(1; 0)$ și sunt strict crescătoare. Pentru argumente supraunitare, valorile lui $ln$ le întrec pe ale lui $l g$ ; pentru argumente subunitare ordinea se schimbă. Un rezultat de calculator se verifică mereu cu tasta inversă, $1 0^{x}$ sau $e^{x}$ , și cu încadrarea făcută dinainte.

De reținut

$ln x = lo g_{e} x$ și $l g x = lo g_{10} x$
$e^{x} = m ⟺ x = ln m$ , pentru $m > 0$
$l g (a \cdot 1 0^{n})$ este între $n$ și $n + 1$ , pentru $1 \leq a < 10$

Greșeala tipică

Se folosește tasta „log” pentru ecuația $e^{x} = 20$ și se obține $1, 301$ ; soluția corectă cere tasta „ln”, adică $x \approx 2, 996$ .

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $l g 100000$ ?
- a) $5$
- b) $- 5$
- c) $4$
- d) $100000$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $5$

Argumentul este o putere a lui zece: $100000 = 1 0^{5}$ , deci $l g 100000 = 5$ .
Care este soluția ecuației $e^{x} = 65$ ?
- a) $x = l g 65$
- b) $x = \frac{65}{e}$
- c) $x = ln 65$
- d) $x = e^{65}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $x = ln 65$

Exponentul la care trebuie ridicat $e$ ca să obții $65$ este, prin definiție, $ln 65 \approx 4, 174$ .
Între ce numere întregi consecutive se află $l g (7, 2 \cdot 1 0^{- 6})$ ?
- a) $- 7$ și $- 6$
- b) $- 6$ și $- 5$
- c) $5$ și $6$
- d) $7$ și $8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 6$ și $- 5$

Numărul este între $1 0^{- 6}$ și $1 0^{- 5}$ , deci logaritmul lui zecimal este între $- 6$ și $- 5$ ; calculatorul dă $l g (7, 2 \cdot 1 0^{- 6}) \approx - 5, 143$ .

Întrebări conexe

După cât timp atinge un model $N_{0} e^{k t}$ un prag dat?

Egalezi modelul cu pragul și izolezi exponențiala. Pentru $200 e^{0, 1 t} = 1000$ obții $e^{0, 1 t} = 5$ , apoi $0, 1 t = ln 5$ și $t = 10 ln 5 \approx 16, 09$ . Unitatea lui $t$ este cea a modelului, de exemplu ore.

Între ce numere întregi se află $l g 3500$ ?

Scrii numărul științific: $3500 = 3, 5 \cdot 1 0^{3}$ . Cum $1 0^{3} < 3500 < 1 0^{4}$ , rezultă $3 < l g 3500 < 4$ . Calculatorul dă $l g 3500 \approx 3, 544$ . Partea întreagă a logaritmului zecimal arată ordinul de mărime: numărul are patru cifre înaintea virgulei, deci exponentul lui $10$ este $3$ .

De ce $ln x$ este mai mare decât $l g x$ pentru $x > 1$ ?

Baza $e$ este mai mică decât $10$ , deci ca să ajungi la același număr peste $1$ trebuie să ridici $e$ la un exponent mai mare. De exemplu, $l g 100 = 2$ , iar $ln 100 \approx 4, 605$ . Pentru $0 < x < 1$ ordinea se inversează.

Cât face $l g 0, 001$ și de ce iese negativ?

Scrii $0, 001 = 1 0^{- 3}$ , deci $l g 0, 001 = - 3$ . Orice număr între $0$ și $1$ are logaritmul zecimal negativ, pentru că baza $10$ trebuie ridicată la un exponent negativ ca să dea un rezultat subunitar.

Cât este $e^{2 l n 3}$ și cât este $e^{- l n 2}$ ?

Logaritmul natural și exponențiala cu baza $e$ se anulează reciproc. Cum $2 ln 3 = ln 9$ și $- ln 2 = ln \frac{1}{2}$ , rezultă $e^{2 l n 3} = 9$ și $e^{- l n 2} = \frac{1}{2}$ . Aceste egalități permit trecerea dintr-o formă în alta la rezolvarea ecuațiilor, ca aceea cu logaritmi de la Subiectul I din modelul de bacalaureat M2 pentru 2026.

Oamenii mai întreabă și: soluția ecuației e la x egal m · cum scot x din exponent · e la x egal 20 · ecuație exponențială cu baza e

Cum rezolv ecuația e la x egal cu un număr?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

După cât timp atinge un model N0​ekt un prag dat?

Între ce numere întregi se află lg3500?

De ce lnx este mai mare decât lgx pentru x>1?

Cât face lg0,001 și de ce iese negativ?

Cât este e2ln3 și cât este e−ln2?

Continuă cu

După cât timp atinge un model $N_{0} e^{k t}$ un prag dat?

Între ce numere întregi se află $l g 3500$ ?

De ce $ln x$ este mai mare decât $l g x$ pentru $x > 1$ ?

Cât face $l g 0, 001$ și de ce iese negativ?

Cât este $e^{2 l n 3}$ și cât este $e^{- l n 2}$ ?