Logaritmul natural și logaritmul zecimal (M2, științe ale naturii)

Într-o culegere de chimie dai peste scrierea $\lg$, într-o carte de fizică peste $\ln$, iar pe calculatorul științific găsești două taste de logaritm, nu una. Nu e o întâmplare: dintre toate bazele posibile, două au primit nume proprii, baza zece, cu care scriem numerele și unitățile de măsură, și baza $e$, care apare în procesele continue. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), le folosești ca pe două funcții ale căror valori le citești pe grafic și le calculezi cu calculatorul, fără reguli noi de calcul. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”, iar programa probei numește explicit „logaritm natural, logaritm zecimal”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține noțiunea de logaritm și calculele cu logaritmi la materia clasei a X-a; în modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I are o ecuație cu logaritmi în baza patru.

Lecția folosește definiția logaritmului la M2, graficul funcției logaritmice și exponențiala naturală din lecția despre numărul e. Pentru scrierea numerelor foarte mari și foarte mici cu puteri ale lui zece poți reciti puterile cu exponent întreg din clasa a VII-a.

Ce vei învăța

• Vei ști ce înseamnă notațiile $\lg x$ și $\ln x$ și să calculezi fără calculator valorile lor pentru puterile bazei.
• Vei ști să citești ordinul de mărime al unei constante din științe cu ajutorul logaritmului zecimal.
• Vei ști să scrii exact soluția unei ecuații $e^x=m$ sau $10^x=m$ și să o aproximezi cu calculatorul.
• Vei ști să verifici un rezultat de calculator cu tasta inversă și printr-o încadrare între puteri ale bazei.
• Vei ști să compari pe grafic funcțiile $\ln$ și $\lg$: domeniul, semnul, punctul comun și poziția curbelor.
• Vei ști să afli momentul în care o mărime descrisă de un model $N_0{e}^{kt}$ atinge un prag dat.

Hai să descoperim împreună

1. De ce au două baze nume proprii?

Orice număr pozitiv diferit de unu poate fi bază a unui logaritm, dar în practică se lucrează aproape numai cu două. Baza zece se potrivește cu felul în care scriem numerele: fiecare cifră în plus la stânga înseamnă o înmulțire cu zece. Baza $e\approx 2,718$ se potrivește cu procesele în care o mărime se schimbă continuu, proporțional cu ea însăși, cum ai văzut în lecția despre numărul $e$.

Logaritmul zecimal al unui număr $x>0$ este logaritmul lui în baza zece și se notează $\lg x$. Logaritmul natural al unui număr $x>0$ este logaritmul lui în baza $e$ și se notează $\ln x$. Cu definiția din lecția despre logaritm, cele două se citesc așa:

$$\lg x=c⟺10^c=x,\ln x=c⟺e^c=x.$$

Drumul de calcul este cel pe care îl știi. Ca să afli $\lg 0,00001$, scrii argumentul ca putere a lui zece: $0,00001=10^{-5}$, deci $\lg 0,00001=-5$. Ca să afli $\ln e^6$, observi că argumentul este deja o putere a lui $e$, deci $\ln e^6=6$. Pentru orice alt argument, valoarea nu este un număr întreg și ai nevoie de calculator sau de o încadrare.

2. Ce spune logaritmul zecimal despre un număr scris științific?

În fizică și chimie numerele foarte mari sau foarte mici se scriu în notație științifică, $x=a\cdot 10^n$, cu $1\le a<10$ și $n$ întreg. Exponentul $n$ se numește ordinul de mărime al numărului. Logaritmul zecimal îl scoate la iveală fără niciun calcul nou.

Din $10^n\le a\cdot 10^n<10^{n+1}$ și din faptul că funcția $\lg$ este strict crescătoare, obținem $n\le \lg x<n+1$. Cu alte cuvinte, ordinul de mărime este cel mai mare număr întreg care nu depășește $\lg x$.

Luăm constanta lui Avogadro, fixată exact în Sistemul Internațional de unități (Biroul Internațional de Măsuri și Greutăți, BIPM): $N_A=6,02214076\cdot 10^{23}$ pe mol. Ordinul ei de mărime este $23$, deci $23<\lg N_A<24$, iar calculatorul dă $\lg \left(6,02214076\cdot 10^{23}\right)\approx 23,780$. Numărul acesta, cu douăzeci și patru de cifre înaintea virgulei, devine pe scara logaritmilor zecimali un număr între $23$ și $24$.

3. Ce face tasta ln cu o ecuație e^x = m?

În lecția despre numărul $e$ ai putut doar să încadrezi soluția unei ecuații $e^x=m$. Acum ai un nume pentru ea: pentru $m>0$, definiția spune că exponentul care produce $m$ este $\ln m$. Soluția este deci exactă, $x=\ln m$, iar calculatorul îi dă câte zecimale vrei.

Pentru ecuația $e^x=30$, soluția este $x=\ln 30$. Încadrarea o confirmă: $e^3\approx 20,086<30<54,598\approx e^4$, deci soluția este între $3$ și $4$. Calculatorul dă $\ln 30\approx 3,401$, adică exact în interval, mai aproape de $3$, pentru că $30$ este mult mai aproape de $e^3$ decât de $e^4$.

La fel, ecuația $10^x=m$ are, pentru $m>0$, soluția exactă $x=\lg m$. Pentru $m\le 0$ niciuna dintre ecuații nu are soluție: puterile unei baze pozitive sunt pozitive, iar logaritmul unui număr negativ sau al lui zero nu are sens.

4. Cum verifici un rezultat de calculator?

Pe majoritatea calculatoarelor științifice, tasta „log” dă logaritmul zecimal, iar tasta „ln” logaritmul natural. Deasupra lor, ca a doua funcție, se află de obicei tastele inverse: $10^x$ deasupra lui „log” și $e^x$ deasupra lui „ln”. Perechea aceasta este cea mai bună unealtă de control.

Să zicem că ai obținut $\lg 42\approx 1,623$. Ridici zece la puterea rezultatului: calculatorul dă $10^{1,623}\approx 41,98$, foarte aproape de $42$. Diferența mică vine din rotunjirea la trei zecimale, nu dintr-o greșeală. Dacă în locul lui $42$ ar fi ieșit, de exemplu, cam $4,2$, ai ști că ai tastat greșit o virgulă.

A doua verificare nu cere calculator: încadrarea între puteri ale bazei. Cum $10<42<100$, trebuie ca $1<\lg 42<2$. Un rezultat în afara acestui interval este sigur greșit, oricâte zecimale ar avea. Obișnuiește-te să faci încadrarea înainte de a apăsa tasta; așa știi dinainte ce trebuie să iasă.

5. Cum arată graficele lui ln x și lg x în același reper?

Figura A arată cele două funcții pe intervalul $(0;12]$, împreună cu dreptele orizontale $y=1$ și $y=-1$. Ce se citește direct pe desen: ambele grafice stau la dreapta axei $Oy$, pentru că domeniul este $(0;+\infty )$; ambele trec prin punctul $(1;0)$, pentru că $\ln 1=\lg 1=0$; ambele urcă, pentru că bazele $e$ și zece sunt supraunitare.

Dreapta $y=1$ taie graficul lui $\ln$ în abscisa $e\approx 2,718$ și graficul lui $\lg$ abia în abscisa $10$. Dreapta $y=-1$ taie graficul lui $\ln$ în $\frac{1}{e}\approx 0,368$ și graficul lui $\lg$ în $0,1$. Pentru argumente mai mari decât unu, curba lui $\ln$ este deasupra celei a lui $\lg$; este regula comparării bazelor din lecția despre funcția logaritmică, aplicată bazelor $e$ și zece: același număr supraunitar se obține ridicând baza $e$ la o putere mai mare decât pe zece.

Semnul este același pentru cele două funcții: valori negative pe $(0;1)$, zero în $x=1$, valori pozitive după aceea. Pentru un argument subunitar, însă, poziția curbelor se inversează, iar asta vei vedea singur într-un exercițiu. Graficele nu îți dau zecimalele, dar îți spun semnul, ordinea și aproximativ mărimea, adică exact ce îți trebuie ca să prinzi o greșeală de tastare.

6. De ce apare ln în modelele din științe?

Un model de forma $N(t)=N_0{e}^{kt}$, folosit deja la numărul $e$, descrie o mărime care se schimbă continuu. Întrebarea practică este aproape mereu aceeași: după cât timp ajunge mărimea la o valoare $V$ dată? Condiția $N_0{e}^{kt}=V$ devine, după împărțirea la $N_0$, ecuația $e^{kt}=\frac{V}{N_0}$, iar definiția logaritmului natural dă exponentul: $kt=\ln \frac{V}{N_0}$. Timpul se obține împărțind la $k$.

Ca exemplu de drum, luăm un lac pe care zambila de apă, o plantă plutitoare invazivă, acoperă în primele douăzeci de zile de vară o suprafață $A(t)=2e^{0,15t}$ metri pătrați, cu $t$ în zile. Pentru a afla când acoperă $15$ metri pătrați, scriem $e^{0,15t}=7,5$, deci $0,15t=\ln 7,5$ și $t=\frac{\ln 7,5}{0,15}\approx 13,43$ zile. Suprafața de $15$ metri pătrați este atinsă, așadar, în a paisprezecea zi.

Observă că nu am folosit nicio regulă de calcul cu logaritmi, ci doar definiția. Tot ce face logaritmul natural aici este să numească exponentul pe care îl caută problema; calculatorul îl transformă apoi în număr.

7. Ce lăsăm pentru clasa a X-a?

Formulele pentru logaritmul unui produs, al unui cât sau al unei puteri, precum și trecerea de la o bază la alta, sunt materie de clasa a X-a. De aceea, în lecția de față nu transformăm expresii cu logaritmi și nu calculăm logaritmi în alte baze cu tastele „log” și „ln”. Pentru o bază oarecare folosești, ca în lecția despre logaritm, încadrarea între puteri ale bazei. Aici lucrezi cu definiția, cu graficele și cu calculatorul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Exact sau cu calculatorul?

Precizați care dintre numerele $\lg 10^8$, $\lg 0,00000001$, $\ln e^{-2}$, $\ln 1$, $\lg 50$ și $\ln 27$ se calculează exact din definiție și care cer calculatorul. Calculați-le pe toate.

Rezolvare. Primele patru au argumentul putere a bazei: $\lg 10^8=8$, $\lg 0,00000001=-8$ deoarece $0,00000001=10^{-8}$, $\ln e^{-2}=-2$ și $\ln 1=0$, deoarece $e^0=1$.

Pentru ultimele două argumentul nu este putere a bazei, deci începem cu o încadrare. Din $10<50<100$ rezultă $1<\lg 50<2$, iar calculatorul dă $\lg 50\approx 1,699$. Din $e^3\approx 20,086<27<54,598\approx e^4$ rezultă $3<\ln 27<4$, iar calculatorul dă $\ln 27\approx 3,296$. Ambele valori respectă încadrarea.

Exemplul 2 — Ordinul de mărime a două constante

Masa Pământului este $5,9722\cdot 10^{24}$ kilograme (NASA, fișa de date a Pământului), iar sarcina electrică elementară este $1,602176634\cdot 10^{-19}$ coulombi (valoare exactă în SI). Încadrați logaritmul zecimal al fiecărui număr între doi întregi consecutivi și verificați cu calculatorul.

Rezolvare. Prima mărime are ordinul de mărime $24$, deci $24<\lg \left(5,9722\cdot 10^{24}\right)<25$; calculatorul dă $\lg \left(5,9722\cdot 10^{24}\right)\approx 24,776$.

A doua are ordinul de mărime $-19$: numărul este între $10^{-19}$ și $10^{-18}$, deci $-19<\lg \left(1,602176634\cdot 10^{-19}\right)<-18$. Calculatorul dă $\lg \left(1,602176634\cdot 10^{-19}\right)\approx -18,795$. Atenție la semn: logaritmul este negativ, iar partea lui întreagă este $-19$, nu $-18$.

Exemplul 3 — Citește graficul lui lg x

Figura B arată graficul funcției $f(x)=\lg x$ pentru $x\in (0;20]$, cu dreapta verticală $x=4$ și dreapta orizontală $y=1,2$. Citiți aproximativ $f(4)$ și abscisa punctului de pe grafic care are ordonata $1,2$, apoi confirmați cu calculatorul.

Rezolvare. Deasupra abscisei $4$ graficul este puțin peste jumătatea distanței dintre axa $Ox$ și ordonata $1$; citim aproximativ $0,6$. Calculatorul dă $\lg 4\approx 0,602$.

Dreapta $y=1,2$ taie graficul la dreapta lui $10$, cam la $16$. Abscisa exactă este soluția ecuației $\lg x=1,2$, adică $x=10^{1,2}\approx 15,85$, deci citirea este bună. Remarcă asimetria: pe verticală am urcat doar $0,2$ peste ordonata unu, dar pe orizontală am mers de la zece aproape până la șaisprezece.

Exemplul 4 — Soluții exacte cu ln

Rezolvați ecuațiile $e^x=0,35$ și $3e^x=57$. Scrieți soluțiile exact, aproximați-le la trei zecimale și verificați-le cu tasta $e^x$.

Rezolvare. Pentru prima ecuație, $x=\ln 0,35\approx -1,050$. Soluția este negativă, cum trebuie, pentru că argumentul este subunitar. Verificare: $e^{-1,05}\approx 0,350$.

A doua ecuație se aduce mai întâi la forma $e^x=m$: împărțim la trei și obținem $e^x=19$. Soluția este $x=\ln 19\approx 2,944$, între $2$ și $3$, pentru că $e^2\approx 7,389<19<20,086\approx e^3$. Verificare: $3e^{2,944}\approx 56,97$, adică practic $57$.

Exemplul 5 — Când se decolorează soluția?

Într-un experiment de chimie, violetul de cristal reacționează cu o soluție de hidroxid de sodiu și se decolorează. Concentrația colorantului este modelată prin $c(t)=20e^{-0,05t}$ micromoli pe litru, la $t$ minute de la amestecare, pentru $t\in [0;60]$ (figura D). Soluția pare incoloră sub $3$ micromoli pe litru. După cât timp se întâmplă asta?

Rezolvare. Pe figura D, curba coboară sub dreapta $c=3$ între minutele $35$ și $40$. Calculul exact pornește de la $20e^{-0,05t}=3$, adică $e^{-0,05t}=0,15$. Din definiție, $-0,05t=\ln 0,15$, iar $\ln 0,15\approx -1,897$ este negativ, cum trebuie pentru un argument subunitar.

Împărțind la $-0,05$ obținem $t=\frac{\ln 0,15}{-0,05}\approx 37,94$ minute, adică aproape $38$ de minute. Verificare: $c(38)=20e^{-1,9}\approx 2,99$ micromoli pe litru, deja sub prag.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcțiile $f,g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\lg x$ și $g(x)=\ln x$. Arătați că $f(0,0001)+g\left(e^5\right)=1$.

Rezolvare. Din $10^{-4}=0,0001$ rezultă $f(0,0001)=-4$, iar argumentul $e^5$ este chiar o putere a lui $e$, deci $g\left(e^5\right)=5$. Suma este $-4+5=1$. Fiecare termen s-a citit direct din definiție, fără calculator. Exercițiul este un antrenament propriu, în stilul cerințelor scurte cu logaritmi, nu un subiect oficial.

Să exersăm

Rotunjește la trei zecimale, dacă enunțul nu cere altfel, și scrie $\approx$ la orice rezultat aproximativ.

1. Calculează fără calculator: $\lg 10^7$, $\lg 0,000001$, $\ln e^9$ și $\ln \frac{1}{e^4}$.

2. Scrie fără logaritm numărul $x$ pentru care $\lg x=3,7$ și numărul $y$ pentru care $\ln y=-1,6$, apoi aproximează-le cu calculatorul.

3. Calculează cu calculatorul $\lg 3,7$, $\ln 45$ și $\ln 0,08$. Înainte, încadrează fiecare valoare între doi întregi consecutivi.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) Numărul $\ln 20$ este mai mare decât $3$.

5. Pentru un număr pozitiv $x$, calculatorul afișează $\lg x\approx -5,6$. Scrie $x$ în notație științifică, cu mantisa rotunjită la două zecimale, și precizează ordinul lui de mărime.

6. Folosind $e^4\approx 54,60$ și $e^5\approx 148,41$, încadrează $\ln 90$ între doi întregi consecutivi. Confirmă apoi cu calculatorul.

7. Figura C arată graficul funcției $g(x)=\ln x$ pentru $x\in (0;8]$ și dreptele $y=1,5$ și $y=-0,5$. Citește aproximativ abscisele punctelor în care graficul taie cele două drepte și calculează-le apoi exact.

8. Un coleg a obținut $\lg 0,0045\approx -3,347$. Fără calculator, arată prin încadrare că rezultatul nu poate fi corect și găsește, cu tasta $10^x$, ce număr a tastat de fapt.

9. Folosind figura A, scrie mulțimea numerelor $x>0$ pentru care, simultan, $\ln x>1$ și $\lg x<1$.

10. Rezolvă ecuațiile $e^x=2,4$, $e^x=0,01$ și $e^x=-3$. Scrie soluțiile exact, acolo unde există, și aproximează-le.

11. Rezolvă ecuațiile $10^x=320$ și $10^x=0,006$. Verifică fiecare soluție cu tasta $10^x$.

12. (Problemă aplicată.) Presiunea din camera unei biciclete înțepate scade după modelul $p(t)=4,5e^{-0,02t}$ bari, la $t$ minute după înțepătură, pentru $t\in [0;120]$ (figura E). Producătorul anvelopei indică o presiune minimă de $3$ bari. După câte minute scade presiunea la această valoare?

13. Într-un recipient de laborator cu făină, numărul gândacilor de făină crește de la $800$ la $2600$ în cinci săptămâni. Presupunând un model $N(t)=800e^{kt}$, cu $t$ în săptămâni, calculează constanta $k$ și spune ce unitate de măsură are.

14. Două numere pozitive au același ordin de mărime, $5$. Pot logaritmii lor zecimali să difere cu mai mult de $0,9$? Pot să difere cu $1$ sau mai mult? Justifică și dă un exemplu verificat cu calculatorul.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=4$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Comparați numerele $\lg 2000$ și $3$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvați în mulțimea $(4,+\infty )$ ecuația $\lg (x-4)=2$.

18. (Provocare.) Găsește cel mai mic număr natural $n$ pentru care $e^n>10^6$, fără să calculezi puterile lui $e$ una câte una.

Răspunsuri și explicații

1. $\lg 10^7=7$; $\lg 0,000001=-6$, pentru că $0,000001=10^{-6}$; $\ln e^9=9$; $\ln \frac{1}{e^4}=-4$, pentru că $\frac{1}{e^4}=e^{-4}$.

2. Din definiție, $x=10^{3,7}\approx 5011,872$ și $y=e^{-1,6}\approx 0,202$. Controlul mărimii: $x$ este între $10^3$ și $10^4$, iar $y$ este pozitiv și subunitar, cum cere un exponent negativ.

3. Încadrările: $0<\lg 3,7<1$, deoarece $1<3,7<10$; $3<\ln 45<4$, deoarece $20,086<45<54,598$; $-3<\ln 0,08<-2$, deoarece $e^{-3}\approx 0,050<0,08<0,135\approx e^{-2}$. Calculatorul dă $\lg 3,7\approx 0,568$, $\ln 45\approx 3,807$ și $\ln 0,08\approx -2,526$.

4. Fals. Avem $e^3\approx 20,086$, deci $20<e^3$. Funcția $\ln$ fiind strict crescătoare, $\ln 20<\ln e^3=3$. Calculatorul confirmă: $\ln 20\approx 2,996$, foarte aproape de $3$, dar sub el.

5. Din definiție, $x=10^{-5,6}\approx 2,51\cdot 10^{-6}$. Ordinul de mărime este $-6$, cel mai mare întreg care nu depășește $-5,6$, și se potrivește cu exponentul din notația științifică.

6. Din $54,60<90<148,41$ și din monotonia lui $\ln$ rezultă $4<\ln 90<5$. Calculatorul dă $\ln 90\approx 4,500$, practic la mijlocul intervalului, deși $90$ nu este la mijloc între $54,60$ și $148,41$.

7. Pe figură, dreapta $y=1,5$ taie graficul cam la $4,5$, iar dreapta $y=-0,5$ cam la $0,6$. Exact, abscisele sunt $e^{1,5}\approx 4,482$ și $e^{-0,5}\approx 0,607$, soluțiile ecuațiilor $\ln x=1,5$ și $\ln x=-0,5$.

8. Din $0,001<0,0045<0,01$ rezultă $-3<\lg 0,0045<-2$, iar $-3,347$ este în afara intervalului. Tasta $10^x$ dă $10^{-3,347}\approx 0,00045$: colegul a tastat un zero în plus după virgulă. Valoarea corectă este $\lg 0,0045\approx -2,347$.

9. Condiția $\ln x>1$ înseamnă că graficul lui $\ln$ este deasupra dreptei $y=1$, adică $x>e$. Condiția $\lg x<1$ înseamnă că graficul lui $\lg$ este sub aceeași dreaptă, adică $x<10$. Mulțimea căutată este intervalul $(e;10)$.

10. $x=\ln 2,4\approx 0,875$; $x=\ln 0,01\approx -4,605$; ecuația $e^x=-3$ nu are soluție, pentru că orice putere a lui $e$ este strict pozitivă.

11. $x=\lg 320\approx 2,505$, verificare $10^{2,505}\approx 319,9$; $x=\lg 0,006\approx -2,222$, verificare $10^{-2,222}\approx 0,006$. Încadrările de control: $100<320<1000$ și $0,001<0,006<0,01$.

12. Pe figura E, curba trece sub dreapta de $3$ bari puțin după minutul $20$. Exact: $4,5e^{-0,02t}=3$ dă $e^{-0,02t}=\frac{2}{3}$, deci $-0,02t=\ln \frac{2}{3}$, cu $\ln \frac{2}{3}\approx -0,405$. Rezultă $t=\frac{\ln \frac{2}{3}}{-0,02}\approx 20,27$ minute. Verificare: $p(21)=4,5e^{-0,42}\approx 2,957$ bari.

13. Din $800e^{5k}=2600$ rezultă $e^{5k}=3,25$, deci $5k=\ln 3,25$ și $k=\frac{\ln 3,25}{5}\approx 0,236$. Pentru că $kt$ este un exponent fără unitate, iar $t$ se măsoară în săptămâni, $k$ se măsoară în „pe săptămână”. Verificare: $800e^{0,236\cdot 5}\approx 2603$, apropiat de $2600$, diferența venind din rotunjirea lui $k$.

14. Ambii logaritmi sunt în intervalul $[5;6)$, deci diferența lor este mai mică decât $1$; cu $1$ sau mai mult nu pot diferi. Pot însă diferi cu mai mult de $0,9$: pentru $1,1\cdot 10^5$ și $9,5\cdot 10^5$ calculatorul dă $\lg \approx 5,041$ și $\lg \approx 5,978$, cu diferența $\approx 0,936$.

15. Condiția $\ln a=4$ înseamnă, prin definiție, $a=e^4$. Numărul este pozitiv, deci aparține domeniului; numeric, $e^4\approx 54,598$.

16. Avem $3=\lg 1000$, iar $2000>1000$. Funcția $\lg$ este strict crescătoare, deci $\lg 2000>\lg 1000=3$. Numeric, $\lg 2000\approx 3,301$.

17. Prin definiție, $\lg (x-4)=2$ înseamnă $x-4=10^2=100$, deci $x=104$. Soluția este în mulțimea $(4,+\infty )$, deci este acceptată.

18. Condiția $e^n>10^6$ este echivalentă, prin monotonia exponențialei, cu $n>\ln 10^6$, iar calculatorul dă $\ln 10^6\approx 13,816$. Cel mai mic număr natural mai mare decât această valoare este $n=14$. Control: $e^{13}\approx 442413<10^6$ și $e^{14}\approx 1202604>10^6$.

De reținut

• $\lg x$ este logaritmul lui $x$ în baza zece, iar $\ln x$ este logaritmul lui $x$ în baza $e$; amândouă există numai pentru $x>0$.
• Pentru un număr scris științific, $a\cdot 10^n$ cu $1\le a<10$, avem $n\le \lg x<n+1$: exponentul este ordinul de mărime.
• Ecuația $e^x=m$ are, pentru $m>0$, soluția exactă $\ln m$, iar $10^x=m$ are soluția exactă $\lg m$; pentru $m\le 0$ nu au soluții.
• Un rezultat de calculator se verifică cu tasta inversă ($10^x$ sau $e^x$) și printr-o încadrare între puteri ale bazei.
• Graficele lui $\ln$ și $\lg$ trec prin $(1;0)$ și urcă; pentru $x>1$ curba lui $\ln$ este deasupra, pentru $0<x<1$ este dedesubt.

Greșeli frecvente

• Crezi că $\lg$ al unui număr scris științific este chiar exponentul. Pentru $5,9722\cdot 10^{24}$ exponentul este $24$, dar logaritmul este aproape $24,78$. Exponentul este doar partea întreagă a logaritmului.
• Iei partea întreagă greșit la numerele foarte mici. Pentru un logaritm ca $-18,795$, partea întreagă este $-19$, nu $-18$. Cel mai mare întreg care nu depășește un număr negativ este mai mic decât el.
• Uiți să aduci ecuația la forma $e^x=m$. În $3e^x=57$ nu scrii $x=\ln 57$. Împarți întâi la coeficient și abia apoi aplici definiția.
• Lipești mantisa după exponent. Pentru $3,7\cdot 10^5$ nu scrii $\lg x=5,37$: calculatorul dă $\lg \left(3,7\cdot 10^5\right)\approx 5,568$. Partea întreagă este exponentul, dar zecimalele nu sunt cifrele mantisei; le dă doar tasta „log”.
• Rotunjești prea devreme. Dacă în exercițiul cu gândacii de făină rotunjești $k$ la $0,2$ și abia apoi verifici, obții $800e^{0,2\cdot 5}\approx 2175$, departe de $2600$. Păstrezi toate zecimalele calculatorului până la final și rotunjești o singură dată.

Aplică acasă

1. Alege cinci numere pozitive, unele mai mari și altele mai mici decât unu. Pentru fiecare, apasă „log” și apoi tasta $10^x$ pe rezultat, apoi „ln” și tasta $e^x$. Notează de câte ori ai obținut exact numărul de la început și, când ultima cifră diferă, explică de ce, gândindu-te la câte zecimale afișează ecranul.
2. Toarnă un suc carbogazos într-un pahar transparent înalt și, cu o riglă lipită de pahar, notează înălțimea spumei la fiecare cincisprezece secunde, timp de două minute. Presupunând un model $h(t)=h_0{e}^{-kt}$, calculează $k$ cu tasta „ln” din prima și a treia măsurătoare, apoi verifică dacă modelul prezice bine ultima măsurătoare.
3. Joacă în doi „ghicește logaritmul”: unul alege un număr între unu și o mie, celălalt îi estimează logaritmul zecimal cu o zecimală, doar din încadrarea între puteri ale lui zece și din figura B. Verificați cu calculatorul, notați diferența și schimbați rolurile. După zece runde, spuneți pentru ce fel de numere ați greșit cel mai mult.

Pentru părinți și profesori

Programa de științe numește explicit, în unitatea de funcții, logaritmul natural și logaritmul zecimal. Lecția le folosește în trei direcții: ordinul de mărime al constantelor din științe, soluția exactă a ecuațiilor $e^x=m$ și $10^x=m$, momentul în care un model continuu atinge un prag. Graficele celor două funcții se compară pe o figură, iar calculatorul este tratat ca un instrument care trebuie verificat, nu crezut pe cuvânt.

Lecția nu folosește formulele de calcul cu logaritmi (produs, cât, putere, schimbarea bazei), care aparțin clasei a X-a. De aceea nu apare nici calculul logaritmilor în alte baze prin tastele „log” și „ln”. Întrebări bune de control: „De ce $\ln 20$ este puțin sub $3$?”; „Ce ordin de mărime are un număr cu $\lg x\approx -3,4$?”; „Cum verifici, fără calculator, că $\lg 42$ nu poate fi $2,6$?”. Semnul că elevul a înțeles: face încadrarea înainte de calcul și verifică orice rezultat apăsând tasta inversă.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027, care numește la unitatea de funcții „Funcția logaritmică (logaritmi, logaritm natural, logaritm zecimal)” și cere observarea proprietăților pe grafice tipărite sau trasate digital. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Algebră”, iar programa probei reia același rând de conținut. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și susțin Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care conține noțiunea de logaritm, calculele cu logaritmi și funcția logaritmică la materia clasei a X-a, fără să numească separat notațiile $\ln$ și $\lg$. În modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I conține o ecuație cu logaritmi în baza patru, care cere proprietăți de clasa a X-a; exercițiile marcate aici sunt antrenamente proprii, limitate la definiție, monotonie și ecuații rezolvate direct din definiție.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: logaritmul natural și cel zecimal. Lecția următoare a traseului este scările logaritmice: pH, decibeli, magnitudine, iar recapitularea unității se face cu testul M2 de funcții și lecturi grafice.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre ln și lg?

Aici logaritmii zecimal și natural se folosesc pentru ordinul de mărime al constantelor din științe, pentru soluția exactă a ecuațiilor exponențiale simple și pentru momentul în care un model continuu atinge un prag, totul prin definiție, grafice și calculator. Varianta M1 dă în plus formula de schimbare a bazei ca rețetă, pe care programa de științe o lasă pentru clasa a X-a.

La ce subiect al Bacalaureatului M2 îmi folosesc ln și lg?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 conține calculele cu logaritmi și funcția logaritmică la materia clasei a X-a, iar în modelul oficial publicat pentru 2026 Subiectul I are o ecuație cu logaritmi. Pentru MAT_P2 din 2030, tema este în domeniul „Algebră”, unde programa numește chiar logaritmul natural și logaritmul zecimal.

Câte zecimale păstrez când lucrez cu ln sau lg?

În calculele intermediare păstrezi tot ce afișează calculatorul, iar la final rotunjești o singură dată, la precizia cerută. Un logaritm rotunjit prea devreme devine exponent, iar eroarea lui se amplifică: câteva sutimi într-un exponent pot schimba rezultatul cu zeci de unități. Scrii $\approx$ la fiecare valoare rotunjită.

Cum aflu ordinul de mărime al unui număr fără calculator?

Îl scrii în notație științifică, cu mantisa între unu și zece: exponentul puterii lui zece este ordinul de mărime. Logaritmul zecimal al numărului se află între acest exponent și următorul întreg. La numerele subunitare exponentul este negativ și ai grijă la semn: pentru $0,000398$ ordinul este minus patru.

Cum îmi dau seama dacă un rezultat obținut cu tasta ln este plauzibil?

Înainte de calcul încadrezi argumentul între două puteri întregi ale lui $e$, folosind $e\approx 2,718$: rezultatul trebuie să cadă între cei doi exponenți. După calcul, apeși tasta $e^x$ pe rezultat și trebuie să revii aproape la argument. Dacă una dintre verificări nu iese, ai tastat greșit.

Ce fac dacă o problemă îmi cere un logaritm în baza doi sau trei?

În clasa a IX-a îl calculezi exact doar când argumentul este o putere a bazei, ca în lecția despre definiția logaritmului. Altfel îl încadrezi între doi întregi consecutivi, comparând argumentul cu puterile bazei. Calculul cu tastele „log” și „ln” pentru orice bază cere o formulă de clasa a X-a.