Lecția pe scurt · clasa a X-a · Logaritmul: produs, cât, putere

Cum adun logaritmii la etape în serie?

Factorii etapelor se înmulțesc, deci logaritmii se adună. Trei etape de curățare care reduc praful de 2, 5 și 10 ori au factorul total $2 \cdot 5 \cdot 10 = 100$ , iar $l g 2 + l g 5 + l g 10 = 0, 30103 + 0, 69897 + 1 = 2$ , adică $l g 100$ . Nu aduni factorii: $l g (2 + 5 + 10) = l g 17 \approx 1, 23$ este alt număr. Pe o scară logaritmică, reducerile etapelor se adună ca niște trepte, iar suma lor arată de câte ori scade praful în total.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Logaritmul transformă operațiile: înmulțirea devine adunare, împărțirea devine scădere, iar ridicarea la putere devine înmulțire. Pentru $x, y > 0$ și o bază corectă avem $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ , $lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$ și $lo g_{a} x^{k} = k lo g_{a} x$ . Regulile merg în ambele sensuri: desfaci ca să calculezi, unești ca să egalezi argumentele.

Când etapele unui proces lucrează una după alta, factorii lor se înmulțesc, deci reducerile exprimate prin logaritmi se adună. Pentru valori necunoscute descompui numărul în factori pentru care ai logaritmii dați. La o ecuație scrii mai întâi condițiile: baza pozitivă și diferită de 1, fiecare argument strict pozitiv.

După aceea aplici regula, ajungi la un singur logaritm în fiecare membru, egalezi argumentele sau treci în exponent și rezolvi ecuația obținută. Ultimul pas este verificarea: o soluție care face un argument negativ sau zero nu convine, oricât de corect ar fi calculul.

Capcanele sunt să aduni factorii în loc să-i înmulțești, să iei valoarea logaritmului drept argument și să înmulțești coeficientul cu argumentul. Reducerile de zgomot, de praf și de germeni se compară astfel pe o singură scară.

De reținut

$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$
$lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$ și $lo g_{a} x^{k} = k lo g_{a} x$
condițiile de existență se scriu înainte de transformări

Greșeala tipică

Se adună factorii în loc să se înmulțească: pentru etape de 2 și 5 ori se scrie $l g (2 + 5)$ , nu $l g (2 \cdot 5)$ . Reducerea totală este $l g 10 = 1$ , iar suma $l g 2 + l g 5$ o dă corect.

Exerciții din această mini-lecție

Doi amplificatori de semnal sunt montați în serie: primul amplifică puterea de 4 ori, al doilea de 25 de ori. Cât este $l g$ din factorul total de amplificare?
- a) 100
- b) 1,46
- c) 0,84
- d) 2
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) 2

Factorii se înmulțesc, deci $l g (4 \cdot 25) = l g 100 = 2$ ; același rezultat dă $l g 4 + l g 25$ . Varianta 100 este factorul total, fără $l g$ . Varianta 1,46 este $l g (4 + 25) = l g 29$ , adică adună factorii. Varianta 0,84 înmulțește cei doi logaritmi, $l g 4 \cdot l g 25$ , în loc să-i adune.
Un dulgher taie o bară de 96 cm în jumătăți, apoi iar în jumătăți, până ajunge la piese de 6 cm. Numărul tăieturilor succesive este $lo g_{2} 96 - lo g_{2} 6$ . Cât este acest număr?
- a) 16
- b) 4
- c) 6,49
- d) 2,55
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) 4

Diferența logaritmilor este logaritmul câtului: $lo g_{2} \frac{96}{6} = lo g_{2} 16 = 4$ . Verificare: $96 \to 48 \to 24 \to 12 \to 6$ înseamnă 4 înjumătățiri. Varianta 16 este câtul numerelor, fără logaritm. Varianta 6,49 este $lo g_{2} 90$ , adică scade argumentele. Varianta 2,55 împarte logaritmii, $\frac{lo g _{2} 96}{lo g _{2} 6}$ .
Un perete reduce intensitatea sonoră de 8 ori, iar un al doilea perete, așezat în serie, de 125 de ori. O reducere cu factorul $f$ înseamnă $10 l g f$ decibeli. Cu $l g 2 \approx 0, 301$ și $l g 5 \approx 0, 699$ , cu câți decibeli reduc împreună cei doi pereți zgomotul?
- a) 9 dB
- b) 21,2 dB
- c) 30 dB
- d) 1000 dB
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) 30 dB

Factorii se înmulțesc, deci logaritmii se adună: $10 (l g 8 + l g 125) = 10 (3 l g 2 + 3 l g 5) = 10 \cdot 3 \cdot (0, 301 + 0, 699) = 30$ dB. Varianta 9 dB ia în calcul doar primul perete. Varianta 21,2 dB vine din $10 l g (8 + 125)$ , adică adună factorii. Varianta 1000 este factorul total, fără $10 l g$ .

Întrebări conexe

Cum introduc coeficientul sub logaritm?

Coeficientul urcă în exponentul argumentului: $k lo g_{a} x = lo g_{a} x^{k}$ . De exemplu $2 lo g_{5} 3 = lo g_{5} 9$ , iar $\frac{1}{2} lo g_{7} 36 = lo g_{7} 6$ , fiindcă $3 6^{1/2} = 6$ . Coeficientul nu se înmulțește cu argumentul: $2 lo g_{5} 3$ nu este $lo g_{5} 6$ . Poți verifica pe valori simple: $2 lo g_{5} 5 = 2$ , iar $lo g_{5} 10 \neq = 2$ .

Cum aflu un logaritm care nu e dat, din valorile date?

Descompui numărul în factori pentru care ai valorile. $l g 45 = l g (3^{2} \cdot 5) = 2 l g 3 + l g 5 = 2 \cdot 0, 47712 + 0, 69897 = 1, 65321$ . Cu logaritmii lui 2, 3, 5 și 7 poți scrie multe alte numere, fiindcă orice număr care are în descompunere doar acești factori se reduce la ei.

Cum aflu reducerea unei etape din reducerea totală?

Scazi din logaritmul reducerii totale logaritmii etapelor cunoscute, fiindcă logaritmul câtului este diferența logaritmilor. Dacă totalul este de 10 000 de ori, adică 4 unități logaritmice, iar două etape dau 1,3 și 0,7 unități, a treia dă $4 - 1, 3 - 0, 7 = 2$ unități, adică reduce de $1 0^{2} = 100$ de ori.

Cum găsesc valorile pentru care o expresie cu logaritmi are sens?

Pui condiția ca fiecare argument să fie pozitiv și le intersectezi. Pentru $lo g_{4} (x + 1) + lo g_{4} (7 - x)$ trebuie $x > - 1$ și $x < 7$ , deci $x \in (- 1; 7)$ . Pentru $x = 8$ al doilea argument ar fi negativ, iar expresia nu ar avea sens, chiar dacă primul argument este pozitiv.

Ce înseamnă o reducere de 3 unități logaritmice?

Fiecare unitate logaritmică corespunde unei reduceri de zece ori, deci 3 unități înseamnă $1 0^{3} = 1000$ de ori. O reducere de 50 de ori are $l g 50 = l g 5 + l g 10 = 0, 69897 + 1 \approx 1, 70$ unități.

A apărut regula logaritmului produsului în probele oficiale?

Da, a apărut în 4 probe M_tehnologic din 2013–2026, în Subiectul I, într-o ecuație cu logaritmi. Exemplu de aceeași familie, cu alte numere: la $lo g_{6} (5 x + 2) - lo g_{6} 17 = 0$ scrii câtul $\frac{5 x + 2}{17} = 1$ , deci $x = 3$ .

Oamenii mai întreabă și: logaritmul produsului în etape în serie · suma logaritmilor factorilor · cum aflu reducerea totală cu logaritmi · reguli pentru logaritmul de produs, cât și putere