Logaritmul produsului: reguli de calcul, tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Un registru de laborator notează, pentru fiecare etapă a unei stații de tratare, de câte ori scade numărul de germeni; reducerea totală se obține înmulțind factorii, iar logaritmul transformă înmulțirea în adunare. Lecția arată regulile pentru produs, cât și putere aflate sub logaritm, la clasa a X-a tehnologică. Patru dintre cele 83 de probe de Bacalaureat M3 (M_tehnologic) din 2013–2026 au cerut aceste reguli într-o ecuație din Subiectul I.

Situația de pornire

Stația de tratare a apei dintr-un oraș de câmpie ia apă din râu și o trece prin trei etape, una după alta: coagulare cu decantare, filtrare rapidă pe nisip și dezinfecție cu radiații UV. Laboratorul stației numără, în fiecare punct de prelevare, germenii crescuți la 37 °C, adică coloniile dintr-un mililitru de apă, și le trece în registru. Autorizația cere ca linia de trei etape să reducă numărul de germeni cu cel puțin 5 unități logaritmice, adică de cel puțin 100 000 de ori (valoare din exemplu); clorinarea de după ea aduce apoi apa la norma de potabilitate. Tehnicianul are la îndemână patru valori: $l g 2 \approx 0, 30103$ , $l g 3 \approx 0, 47712$ , $l g 5 \approx 0, 69897$ și $l g 7 \approx 0, 84510$ .

Punctul de prelevare	Temperatura apei (°C)	Germeni la 37 °C (colonii la mL)
apa brută din râu	16,8	235 200
după coagulare și decantare	16,8	11 200
după filtrarea pe nisip	16,9	700
după dezinfecția UV	17,1	4

Întrebare: cu câte unități logaritmice reduce fiecare etapă numărul de germeni, respectă linia cerința de 5 unități și, dacă nu, ce factor ar trebui să aibă o etapă în plus?

De la situație la model

Fiecare etapă are un factor: raportul dintre numărul de germeni de la intrare și cel de la ieșire. Din registru: $235200 : 11200 = 21$ , $11200 : 700 = 16$ și $700 : 4 = 175$ . Laboratoarele compară etapele prin logaritmii factorilor, fiindcă logaritmii se adună.

În situație	În matematică
de câte ori scade numărul de germeni la o etapă	factorul $f$ al etapei, adică raportul $N_{intrare} : N_{ie ș ire}$
reducerea unei etape, în unități logaritmice	$l g f$ , logaritmul în baza 10 al factorului
etapele lucrează una după alta	factorii se înmulțesc: $f_{1} \cdot f_{2} \cdot f_{3}$
reducerea totală a liniei	$l g (f_{1} f_{2} f_{3}) = l g f_{1} + l g f_{2} + l g f_{3}$
aceeași etapă repetată de $k$ ori	$l g (f^{k}) = k \cdot l g f$
cât a scăzut numărul, de la intrare la ieșire	$l g \frac{N _{intrare}}{N _{ie ș ire}} = l g N_{intrare} - l g N_{ie ș ire}$

Logaritmul în baza $a$ al numărului $b$ este puterea la care trebuie ridicată baza $a$ ca să dea $b$ ; se notează $lo g_{a} b$ . Deci $lo g_{a} b = c$ înseamnă $a^{c} = b$ , cu baza $a > 0$ și $a \neq = 1$ și cu argumentul $b > 0$ . De exemplu, $lo g_{2} 32 = 5$ , fiindcă $2^{5} = 32$ . Când baza este 10, în loc de $lo g_{10}$ se scrie $l g$ . O unitate logaritmică înseamnă o reducere de 10 ori, două unități una de 100 de ori, iar cele 5 unități cerute de autorizație înseamnă $1 0^{5} = 100000$ de ori. Valorile $l g 21$ sau $l g 175$ nu sunt numere întregi, dar se citesc la fel: $l g 175 \approx 2, 2$ înseamnă o reducere între 100 și 1000 de ori.

De ce se adună reducerile etapelor?

Scrie fiecare factor ca putere a lui 10: $21 \approx 1 0^{1, 32222}$ și $16 \approx 1 0^{1, 20412}$ , unde exponenții sunt chiar $l g 21$ și $l g 16$ , rotunjiți. Produsul lor este $1 0^{1, 32222} \cdot 1 0^{1, 20412} = 1 0^{1, 32222 + 1, 20412}$ , fiindcă la înmulțirea puterilor cu aceeași bază exponenții se adună. Exponentul produsului $21 \cdot 16$ este deci $l g 21 + l g 16$ . Același raționament, scris cu litere, dă cele trei reguli: pentru $x > 0$ și $y > 0$ ,

$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y, lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y, lo g_{a} x^{k} = k lo g_{a} x$

Când nu poți folosi regulile?

La linia de tratare nu ai această grijă: fiecare factor este raportul a două numere de colonii, deci un număr pozitiv. Într-o ecuație însă, argumentele conțin necunoscuta și pot ieși negative sau zero pentru unele valori. Regulile se folosesc atunci într-o singură ordine: întâi scrii, pentru fiecare logaritm din enunț, condiția ca argumentul să fie mai mare decât 0, abia apoi transformi. Ecuația obținută după transformare poate avea soluții pe care ecuația dată nu le admite; Exemplul 4 arată un astfel de caz.

Cum folosești regulile într-o ecuație?

Dacă ecuația are mai mulți logaritmi în aceeași bază, îi aduci întâi la unul singur, cu regulile de mai sus. Apoi egalezi argumentele: din $lo g_{a} f = lo g_{a} g$ rezultă $f = g$ , iar din $lo g_{a} f = c$ rezultă $f = a^{c}$ . Valorile găsite se compară cu condițiile. Restul tehnicii, cu ecuații exponențiale cu tot, e în lecția ecuații exponențiale și logaritmice; calculul cu mai multe valori de logaritm continuă în logaritmarea expresiilor.

Metoda pas cu pas

Scrie condițiile de existență: baza $a > 0$ și $a \neq = 1$ , iar fiecare număr de sub $lo g$ strict pozitiv. La linia de tratare, factorii sunt rapoarte de numere de colonii, deci pozitivi. Dacă o condiție nu e îndeplinită pentru un număr de sub $lo g$ , expresia n-are sens pentru valoarea respectivă, oricâte reguli ai aplica după aceea. De exemplu, la $lo g_{2} (3 x - 1) - lo g_{2} (x - 5)$ scrii $3 x - 1 > 0$ și $x - 5 > 0$ ; împreună dau $x > 5$ , fiindcă trebuie să fie adevărate amândouă. Condițiile se scriu întâi, fiindcă o valoare găsită mai târziu poate satisface calculul și totuși să nu aibă sens în ecuația dată.
Aplică regula potrivită: produsul devine sumă, câtul devine diferență, puterea devine factor în fața logaritmului. În sens invers, mai mulți logaritmi cu aceeași bază se adună într-unul singur. Alegi sensul după scop: desfaci ca să calculezi cu valorile date, unești ca să poți egala argumentele. De exemplu, $lo g_{15} 9 + lo g_{15} 25 = lo g_{15} (9 \cdot 25) = lo g_{15} 225 = 2$ , iar $l g 175 = l g (5^{2} \cdot 7) = 2 l g 5 + l g 7$ .
Calculează cu valorile date, ca $l g 21 = l g 3 + l g 7$ , sau, la ecuație, egalează argumentele ori treci în exponent: din $lo g_{a} f = c$ obții $f = a^{c}$ , iar din $lo g_{a} f = lo g_{a} g$ obții $f = g$ . Rezolvi apoi ecuația obținută, de gradul I sau de gradul II.
Verifică pe alt drum: compară valorile găsite cu condițiile din pasul 1 și înlocuiește în ecuația inițială; la o linie de tratare, regăsește reducerea și din numerele de colonii, ca logaritm al raportului lor. Scrie pentru fiecare valoare verdictul „convine” sau „nu convine”. Dacă nicio valoare nu convine, ecuația nu are soluții. La o valoare care convine, înlocuirea în ecuația inițială trebuie să dea argumente pozitive și egalitate între membri.

Legătura cu puterile, de care se sprijină toate regulile, e în regulile pentru puteri reale.

Fișa de buzunar

$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$

$lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$

$lo g_{a} x^{k} = k lo g_{a} x$

Regula	Condiții	Pe numere
produsul	$x > 0$ , $y > 0$	$lo g_{15} 9 + lo g_{15} 25 = lo g_{15} 225 = 2$
câtul	$x > 0$ , $y > 0$	$lo g_{3} 405 - lo g_{3} 5 = lo g_{3} 81 = 4$
puterea	$x > 0$	$3 lo g_{4} 5 = lo g_{4} 125$
egalarea argumentelor	ambele argumente $> 0$	$lo g_{9} (7 x + 3) = lo g_{9} 38$ dă $7 x + 3 = 38$

Exponentul $k$ din ultima regulă poate fi orice număr real. Cele trei reguli merg în ambele direcții: citite spre dreapta desfac un logaritm în mai mulți, citite spre stânga îi unesc. Regulile merg pentru orice bază $a > 0$ , $a \neq = 1$ , aceeași în toți termenii, și numai cu argumente strict pozitive. Condițiile se scriu înainte de transformări. Verificare rapidă: după orice transformare, o valoare găsită trebuie să dea argumente pozitive în ecuația inițială.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Reducerea totală a liniei de tratare

Domeniu: mediu.

Enunț. Pornește de la registrul stației: 235 200, 11 200, 700 și 4 colonii la mL, cu $l g 2 \approx 0, 30103$ , $l g 3 \approx 0, 47712$ , $l g 5 \approx 0, 69897$ și $l g 7 \approx 0, 84510$ . a) Care e factorul fiecărei etape? b) Cu câte unități logaritmice reduce fiecare etapă și linia întreagă? c) Respectă linia cerința de 5 unități? d) Ce factor, număr natural, trebuie să aibă o etapă în plus ca să o respecte?

Rezolvare. a) Factorii sunt $21$ , $16$ și $175$ . b) Descompui: $21 = 3 \cdot 7$ , $16 = 2^{4}$ și $175 = 5^{2} \cdot 7$ . Atunci $l g 21 = l g 3 + l g 7 \approx 1, 32222$ , $l g 16 = 4 l g 2 \approx 1, 20412$ și $l g 175 = 2 l g 5 + l g 7 \approx 2, 24304$ . Etapele lucrează una după alta, deci reducerile se adună: reducerea totală este $l g (21 \cdot 16 \cdot 175) \approx 4, 76938$ . c) Cum $4, 76938 < 5$ , linia nu respectă cerința; lipsesc $5 - 4, 76938 = 0, 23062$ unități. d) O etapă cu factorul $f$ aduce $l g f$ unități. Pentru $f = 1$ nu adaugă nimic, iar pentru $f = 2$ adaugă $l g 2 \approx 0, 30103 > 0, 23062$ . Cel mai mic factor întreg este 2.

Capcană. Cine adună factorii, în loc să-i înmulțească, scrie $21 + 16 + 175 = 212$ și $l g 212 \approx 2, 32634$ . Ar socoti linia mult prea slabă și ar cere o etapă în plus de aproape 472 de ori, cu toate că registrul arată o reducere de 58 800 de ori.

Verificare. Pe alt drum, cu o descompunere a produsului: $58800 = 2^{4} \cdot 3 \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}$ , deci $4 l g 2 + l g 3 + 2 l g 5 + 2 l g 7 \approx 4, 76938$ , aceeași valoare. Din registru, $235200 : 4 = 58800 < 100000$ , iar cu factorul 2 devine $117600 > 100000$ ; la ieșire ar rămâne 2 colonii la mL, sub $235200 : 100000 = 2, 352$ .

Exemplul 2 — Germenii din carnea tocată

Domeniu: alimentar.

Enunț. Laboratorul unei fabrici de mezeluri controlează carnea tocată primită de la un abator. Numărul de germeni dintr-un gram este $N = \frac{c \cdot 1 0 ^{k}}{v}$ , unde $c$ este numărul de colonii numărate pe placă, $1 0^{k}$ diluția probei, iar $v$ volumul însămânțat, în mL. Pe placa diluției $1 0^{3}$ , adică 1 la 1 000, cu 0,1 mL însămânțat, au crescut 56 de colonii. Laboratorul raportează $l g N$ . Cât raportează și respectă lotul limita fabricii, de cel mult 500 000 de germeni la gram (valoare din exemplu)?

Rezolvare. Regulile produsului și câtului desfac formula: $l g N = l g 56 + l g 1 0^{3} - l g 0, 1$ . Descompui $56 = 2^{3} \cdot 7$ , deci $l g 56 = 3 l g 2 + l g 7 \approx 1, 74819$ . Apoi $l g 1 0^{3} = 3$ , iar $l g 0, 1 = - 1$ , așa că scăderea lui adaugă 1. Rezultă $l g N \approx 1, 74819 + 3 + 1 = 5, 74819$ . Limita are $l g 500000 = l g 5 + 5 \approx 5, 69897$ , iar $5, 74819 > 5, 69897$ : lotul depășește limita și se refuză.

Capcană. Cine ia $l g 0, 1$ drept $+ 1$ scade 1 în loc să adune și obține $1, 74819 + 3 - 1 = 3, 74819$ , adică aproximativ 5 600 de germeni la gram, de 100 de ori mai puțin decât în probă. Ar accepta un lot care depășește limita.

Verificare. Pe alt drum, calculezi întâi numărul: $N = 56 \cdot 1000 : 0, 1 = 560000$ de germeni la gram, adică $5, 6 \cdot 1 0^{5}$ . Cum $l g 5, 6 = l g 56 - 1 \approx 0, 74819$ , avem $l g N \approx 5, 74819$ , același număr, iar $560000 > 500000$ .

Exemplul 3 — Filtrele în serie din sala de operații

Domeniu: constructii.

Enunț. Instalația de ventilație a unei săli de operații dintr-un spital nou are trei filtre de aer în serie, cu eficiența 85 %, 95 % și 99,97 % (valori din exemplu). Eficiența este partea de praf reținută. Cu cât se reduce cantitatea de praf, în unități logaritmice, și ce procent din praf trece prin toate trei filtrele?

Rezolvare. Un filtru cu eficiența 85 % lasă să treacă 15 %, adică 0,15; celelalte lasă să treacă 0,05 și 0,0003. Reducerea unui filtru este $- l g (partea care trece)$ . Cu $l g 0, 15 = l g 3 + l g 5 - 2 \approx - 0, 82391$ , $l g 0, 05 = l g 5 - 2 \approx - 1, 30103$ și $l g 0, 0003 = l g 3 - 4 \approx - 3, 52288$ , suma este $- 5, 64782$ . Pe filtre, reducerile sunt 0,82391, 1,30103 și 3,52288 unități. Reducerea totală este deci 5,64782 unități, iar partea care trece este $0, 15 \cdot 0, 05 \cdot 0, 0003 = 0, 00000225$ , adică 0,000225 % din praf.

Capcană. Cine înmulțește eficiențele, în loc să înmulțească părțile care trec, scrie $0, 85 \cdot 0, 95 \cdot 0, 9997 \approx 0, 807$ . Ar ieși că tot lanțul reține doar 80,7 % din praf, mai puțin decât ultimul filtru singur, de 99,97 %.

Verificare. Pe alt drum, $2, 25 \cdot 1 0^{- 6}$ are logaritmul $l g 2, 25 - 6$ , iar $l g 2, 25 = 2 (l g 3 - l g 2) \approx 0, 35218$ , deci $l g (2, 25 \cdot 1 0^{- 6}) \approx - 5, 64782$ , același număr.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: o ecuație cu logaritm și coeficient

Domeniu: agricol.

Enunț. Între 2013 și 2026, la cerința 3 din Subiectul I au venit 23 de ecuații cu logaritmi, iar în 4 dintre ele regulile de calcul erau pasul-cheie. Iată o cerință nouă, de forma celor din probe: „Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2 lo g_{6} x = lo g_{6} (7 x + 18)$ .” Necunoscuta ar putea fi, de pildă, numărul de rânduri de viță dintr-un teren nou plantat.

Rezolvare. Condițiile de existență sunt $x > 0$ și $7 x + 18 > 0$ ; împreună dau $x > 0$ . Duci factorul 2 în exponent: $2 lo g_{6} x = lo g_{6} x^{2}$ , deci ecuația devine $lo g_{6} x^{2} = lo g_{6} (7 x + 18)$ . Egalezi argumentele: $x^{2} = 7 x + 18$ , adică $x^{2} - 7 x - 18 = 0$ , cu discriminantul $49 + 72 = 121$ și soluțiile $x_{1} = 9$ și $x_{2} = - 2$ . Valoarea 9 respectă condiția $x > 0$ , iar $- 2$ o încalcă. Soluția ecuației este $x = 9$ . Răspunsul se verifică în ecuația inițială, nu în cea transformată.

Capcană. Cine scrie doar condiția de la membrul drept, $7 x + 18 > 0$ , adică $x > - \frac{18}{7}$ , păstrează și $x = - 2$ . Dar $lo g_{6} (- 2)$ nu există, deci $2 lo g_{6} (- 2)$ n-are sens.

Verificare. Pentru $x = 9$ : $2 lo g_{6} 9 = lo g_{6} 81$ , iar $lo g_{6} (7 \cdot 9 + 18) = lo g_{6} 81$ , deci cei doi membri sunt egali.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează: a) $lo g_{14} 4 + lo g_{14} 49$ ; b) $lo g_{7} 686 - lo g_{7} 2$ ; c) $2 lo g_{12} 6 + lo g_{12} 4$ ; d) $3 lo g_{5} 10 - lo g_{5} 8$ .

2. Scrie ca un singur logaritm și pune condițiile de existență: a) $lo g_{7} (x - 2) + lo g_{7} (x + 3)$ ; b) $lo g_{2} (5 x + 1) - 3 lo g_{2} x$ .

3. O etapă a unei stații reduce numărul de germeni de 8 ori, iar alta, de 125 de ori. Arată că împreună îl reduc de 1000 de ori și scrie reducerea totală în unități logaritmice, fără calculator.

4. O a patra etapă a unei linii de tratare ar reduce numărul de germeni de 15 ori. Cu $l g 3 \approx 0, 47712$ și $l g 5 \approx 0, 69897$ , câte unități logaritmice adaugă ea?

Nivelul 2 — situații

5. Apa de irigat pentru o seră de salată trece prin două etape, iar cerința este o reducere de cel puțin 4 unități logaritmice. Prima etapă reduce numărul de germeni de 25 de ori. Care este cel mai mic factor întreg pe care îl poate avea a doua etapă? Folosește $l g 5 \approx 0, 69897$ .

6. Într-un atelier de mobilă, aspirația de rumeguș poate fi făcută în două feluri. Varianta A are un ciclon care reduce praful de 6 ori, urmat de un filtru cu saci care îl reduce de 150 de ori. Varianta B are un singur filtru cu cartușe care îl reduce de 1000 de ori. Care variantă reduce mai mult, în unități logaritmice? Folosește $l g 2 \approx 0, 30103$ , $l g 3 \approx 0, 47712$ și $l g 5 \approx 0, 69897$ .

7. O altă stație reduce numărul de germeni de 2500 de ori. Apoi apa stă în rezervorul rețelei, unde numărul crește de 12 ori. Care este reducerea netă, în unități logaritmice, și de câte ori e mai mic numărul final decât cel din apa brută? Folosește $l g 2 \approx 0, 30103$ , $l g 3 \approx 0, 47712$ și $l g 5 \approx 0, 69897$ .

8. Laboratorul unei ferme de porci raportează apa din adăpători în log₁₀ de colonii la 100 mL: 4,18 înainte de filtrul cu membrană și 0,47 după. Care e reducerea în unități logaritmice și de câte ori scade numărul de colonii?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $lo g_{4} (3 x + 7) - lo g_{4} 13 = 0$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $lo g_{7} (x - 5) + lo g_{7} (x + 11) = lo g_{7} 57$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $lo g_{3} (x + 40) = 4 lo g_{3} 2$ .

12. (Sinteză.) Se consideră expresia $E (x) = lo g_{2} (x - 3) + lo g_{2} (15 - x)$ . a) Determinați mulțimea numerelor reale $x$ pentru care $E (x)$ are sens. b) Rezolvați ecuația $E (x) = 5$ .

Răspunsuri și verificări

1. a) $lo g_{14} (4 \cdot 49) = lo g_{14} 196 = 2$ , fiindcă $1 4^{2} = 196$ . b) $lo g_{7} (686 : 2) = lo g_{7} 343 = 3$ . c) $2 lo g_{12} 6 = lo g_{12} 36$ , iar $lo g_{12} 36 + lo g_{12} 4 = lo g_{12} 144 = 2$ . d) $3 lo g_{5} 10 = lo g_{5} 1000$ , iar $lo g_{5} (1000 : 8) = lo g_{5} 125 = 3$ . Verificare: $1 4^{2} = 196$ , $7^{3} = 343$ , $1 2^{2} = 144$ și $5^{3} = 125$ .

2. a) $lo g_{7} [(x - 2) (x + 3)]$ , cu condițiile $x - 2 > 0$ și $x + 3 > 0$ , adică $x > 2$ . b) $lo g_{2} \frac{5 x + 1}{x ^{3}}$ , cu condițiile $5 x + 1 > 0$ și $x > 0$ , adică $x > 0$ . Verificare: pentru $x = 1$ , a) nu are sens, fiindcă $1 - 2 < 0$ , iar b) dă $lo g_{2} 6$ , iar $lo g_{2} 6 - 3 lo g_{2} 1 = lo g_{2} 6$ .

3. Factorul total este $8 \cdot 125 = 1000$ , iar reducerea este $l g 1000 = 3$ unități. Pe etape: $l g 8 + l g 125 = 3 l g 2 + 3 l g 5 = 3 (l g 2 + l g 5) = 3 l g 10 = 3$ . Verificare: $1 0^{3} = 1000$ .

4. $l g 15 = l g 3 + l g 5 \approx 0, 47712 + 0, 69897 = 1, 17609$ unități. Verificare: $l g 15$ e între $l g 10 = 1$ și $l g 100 = 2$ , iar $1, 17609$ e între ele.

5. Prima etapă dă $l g 25 = 2 l g 5 \approx 1, 39794$ unități. Mai trebuie $4 - 1, 39794 = 2, 60206$ , deci $l g f_{2} \geq 2, 60206$ , adică $f_{2} \geq 1 0^{2, 60206} \approx 400$ . Cel mai mic factor întreg este 400. Verificare: $25 \cdot 400 = 10000 = 1 0^{4}$ , exact 4 unități.

6. Varianta A: $l g 6 + l g 150 = l g 900 = 2 l g 2 + 2 l g 3 + 2 l g 5 \approx 2, 95424$ unități. Varianta B: $l g 1000 = 3$ unități. Varianta B reduce mai mult, cu aproximativ $0, 0458$ unități. Verificare: A reduce de $6 \cdot 150 = 900$ de ori, B de 1000 de ori, iar $1000 > 900$ .

7. Reducerea netă este $l g 2500 - l g 12$ . Cum $l g 2500 = 2 l g 5 + 2 \approx 3, 39794$ și $l g 12 = 2 l g 2 + l g 3 \approx 1, 07918$ , rezultă $\approx 2, 31876$ unități. Numărul final e mai mic de $2500 : 12 \approx 208$ de ori. Verificare: $l g 208 \approx 2, 318$ .

8. Reducerea este $4, 18 - 0, 47 = 3, 71$ unități, iar numărul scade de $1 0^{3, 71} \approx 5129$ de ori. Verificare: $l g 5129 \approx 3, 71$ , iar $1 0^{4, 18} : 1 0^{0, 47} = 1 0^{3, 71}$ .

9. Condiția: $3 x + 7 > 0$ . Scrii ecuația ca $lo g_{4} (3 x + 7) = lo g_{4} 13$ și egalezi argumentele. Deci $3 x + 7 = 13$ , adică $x = 2$ , iar $3 \cdot 2 + 7 = 13 > 0$ respectă condiția. Verificare: $lo g_{4} 13 - lo g_{4} 13 = 0$ .

10. Condițiile: $x - 5 > 0$ și $x + 11 > 0$ , adică $x > 5$ . Unești logaritmii: $lo g_{7} [(x - 5) (x + 11)] = lo g_{7} 57$ . Deci $x^{2} + 6 x - 55 = 57$ , adică $x^{2} + 6 x - 112 = 0$ , cu soluțiile $x_{1} = 8$ și $x_{2} = - 14$ . Valoarea 8 convine, iar $- 14$ nu convine, fiindcă $- 14 < 5$ . Verificare: $lo g_{7} 3 + lo g_{7} 19 = lo g_{7} 57$ .

11. Condiția: $x + 40 > 0$ . Scrii $4 lo g_{3} 2 = lo g_{3} 2^{4} = lo g_{3} 16$ . Egalezi argumentele: $x + 40 = 16$ , deci $x = - 24$ , iar $- 24 + 40 = 16 > 0$ respectă condiția. Verificare: $lo g_{3} (- 24 + 40) = lo g_{3} 16 = 4 lo g_{3} 2$ .

12. a) Condițiile: $x - 3 > 0$ și $15 - x > 0$ , deci $x \in (3; 15)$ . b) Pe $(3; 15)$ , $E (x) = lo g_{2} [(x - 3) (15 - x)]$ , iar $E (x) = 5$ înseamnă $(x - 3) (15 - x) = 2^{5} = 32$ , adică $x^{2} - 18 x + 77 = 0$ , cu soluțiile $x_{1} = 7$ și $x_{2} = 11$ . Amândouă sunt în $(3; 15)$ , deci amândouă convin. Verificare: $E (7) = lo g_{2} (4 \cdot 8) = lo g_{2} 32 = 5$ și $E (11) = lo g_{2} (8 \cdot 4) = 5$ .

Așa vine la Bac M3

Cerința 3 din Subiectul I a adus o ecuație cu logaritmi în 23 dintre probele oficiale 2013–2026. În 4 dintre ele regulile de calcul erau pasul-cheie; în celelalte 19, fiecare membru are un singur logaritm, iar ecuația se rezolvă egalând argumentele sau trecând în exponent. Patru cerințe reale, din probe diferite, arată formele cu reguli:

Modelul din 2015, Subiectul I, exercițiul 3: o diferență de logaritmi egală cu zero, $lo g_{5} (2 x - 1) - lo g_{5} 3 = 0$ , deci pasul 2 din Metodă o scrie ca logaritm al câtului; baremul probei acordă 3 puncte pentru $lo g_{5} \frac{2 x - 1}{3} = 0 \Leftrightarrow \frac{2 x - 1}{3} = 1$ și 2 puncte pentru $x = 2$ , care verifică ecuația.
Simularea din 2018, Subiectul I, exercițiul 3: logaritmii în baza 3 ai numerelor $x + 1$ și $x - 1$ sunt adunați și egalați cu logaritmul lui 8, deci pasul 2 din Metodă îi unește în produsul $(x + 1) (x - 1)$ , cu două condiții; baremul probei acordă 3 puncte pentru $x^{2} - 1 = 8$ și 2 puncte pentru $x = - 3$ , care nu verifică, și $x = 3$ , care verifică.
Modelul din 2020, Subiectul I, exercițiul 3: un coeficient în fața unui logaritm, $lo g_{2} (x - 2020) = 2 lo g_{2} 3$ , deci pasul 2 din Metodă mută coeficientul în exponent; baremul probei acordă 3 puncte pentru $x - 2020 = 9$ și 2 puncte pentru $x = 2029$ , care convine.
Modelul din 2023, Subiectul I, exercițiul 3: logaritmii în baza 4 ai lui $x$ și ai lui $3 x$ sunt adunați și egalați cu logaritmul lui 12, deci pasul 2 din Metodă îi unește într-unul singur; baremul probei acordă 3 puncte pentru $3 x^{2} = 12$ și 2 puncte pentru $x = - 2$ , care nu convine, și $x = 2$ , care convine.

Forma cea mai des întâlnită a fost suma a doi logaritmi egală cu un logaritm, în 2 probe. Exercițiul 9 repetă forma cu diferență, exercițiul 10 forma cu sumă, iar exercițiul 11 forma cu coeficient. Din 2022 încoace, doar proba din 2023 a avut această temă. Alte teme ale clasei sunt grupate în hubul clasei a X-a de la tehnologic.

Greșeli care costă puncte

Apeși ln în loc de log: pentru factorul 21 iese $3, 04$ în loc de $1, 32$ , iar pentru toată linia $10, 98$ unități în loc de $4, 77$ → cum o prinzi: pe tasta aleasă, 10 trebuie să dea 1; tasta ln dă $2, 30$ , iar $10, 98 : 4, 77 \approx 2, 30$ .
Iei valoarea logaritmului drept argument: la exercițiul 12 b) scrii $(x - 3) (15 - x) = 5$ → cum o prinzi: $lo g_{2} [(x - 3) (15 - x)] = 5$ înseamnă $(x - 3) (15 - x) = 2^{5} = 32$ ; cu 5 în loc de 32 ar ieși soluții iraționale, iar înlocuirea nu dă 5.
Aduni factorii, în loc să-i înmulțești: la linia de tratare scrii $21 + 16 + 175 = 212$ și $l g 212 \approx 2, 33$ → cum o prinzi: reducerea totală se regăsește și din registru, $235200 : 4 = 58800$ , cu $l g 58800 \approx 4, 77$ .
Înmulțești coeficientul cu argumentul: la exercițiul 11 scrii $4 lo g_{3} 2 = lo g_{3} 8$ și obții $x = - 32$ → cum o prinzi: coeficientul urcă în exponent, $4 lo g_{3} 2 = lo g_{3} 2^{4} = lo g_{3} 16$ , iar $lo g_{3} 8 = 3 lo g_{3} 2$ , nu $4 lo g_{3} 2$ .
Rotunjești prea devreme valorile logaritmilor: la exercițiul 5, cu $l g 25 \approx 1, 4$ obții $1 0^{4 - 1, 4} = 1 0^{2, 6} \approx 398, 1$ și alegi factorul 399 → cum o prinzi: verifici cu produsul, $25 \cdot 399 = 9975 < 10000$ , deci 399 nu ajunge; păstrezi cinci zecimale până la sfârșit.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: calcularea logaritmului unui produs, al unui cât și al unei puteri face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a X-a), deși programa nouă a clasei a X-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 4 probe, la Subiectul I. În programa Bacalaureatului din 2030 tema reapare, parțial, în unitatea XI.1 (calcul numeric și algebric aplicat) la profilul MAT_P3.

Întrebări frecvente

Ce reducere totală ar fi avut linia fără etapa UV? Rămân coagularea și filtrarea, cu factorii 21 și 16. Înmulțești $21 \cdot 16 = 336$ , iar $l g 336 = l g 21 + l g 16 \approx 2, 52634$ unități. Fără UV ar fi rămas 700 de colonii la mL, nu 4, iar reducerea ar fi fost departe de cele 5 unități cerute.

Ce unități logaritmice ar da filtrul pe nisip dacă ar lucra de două ori la rând? Cu factorul 16 la fiecare trecere, reducerea se dublează: $l g (1 6^{2}) = 2 l g 16 \approx 2, 40824$ unități, adică un factor de $1 6^{2} = 256$ . Pentru $k$ treceri identice reducerea e $k \cdot l g 16$ , iar factorul e $1 6^{k}$ , deci crește foarte repede, deși fiecare trecere adaugă aceeași valoare.

Cât din reducerea totală, în unități logaritmice, aduce dezinfecția UV? UV aduce $l g 175 \approx 2, 24304$ unități din cele $4, 76938$ ale liniei, adică $2, 24304 : 4, 76938 \approx 0, 470$ , aproape jumătate. Cu factorii nu poți face un asemenea calcul pe părți, fiindcă ei se înmulțesc; unitățile logaritmice se adună, deci se pot compara ca părți ale totalului.

Ce se întâmplă cu reducerea dacă în rezervorul de așteptare dinaintea clorinării numărul de germeni se dublează? Rezervorul are factorul $\frac{1}{2}$ , fiindcă numărul de germeni crește, iar $l g \frac{1}{2} = - l g 2 \approx - 0, 30103$ . Reducerea netă scade de la $4, 76938$ la $4, 76938 - 0, 30103 = 4, 46835$ unități, deci rămâne sub cele 5 cerute. O etapă care mărește numărul de germeni adaugă, în unități logaritmice, o valoare negativă.

În ce situații a cerut Bacalaureatul M3 regulile produsului, câtului sau puterii? În patru probe din 2013–2026, toate la cerința 3 din Subiectul I, într-o ecuație logaritmică: o diferență de logaritmi în 2015, o sumă de logaritmi în 2018 și în 2023, iar în 2020 un coeficient în fața logaritmului. Celelalte 19 ecuații logaritmice de la această cerință nu le-au cerut.

Cum afli numărul de colonii de la ieșire, dacă laboratorul îți dă doar reducerea totală? Din $l g \frac{N _{intrare}}{N _{ie ș ire}} = 4, 76938$ rezultă $\frac{N _{intrare}}{N _{ie ș ire}} = 1 0^{4, 76938} \approx 58800$ . Cu 235 200 de colonii la mL la intrare, la ieșire rămân $235200 : 58800 = 4$ colonii, exact cât arată registrul. Tasta $1 0^{x}$ a calculatorului face acest pas; rezultatul e aproximativ, fiindcă reducerea e rotunjită, așa că îl rotunjești la cel mai apropiat număr întreg.