Cum aflu media aritmetică a unui set de date?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Media aritmetică a datelor

Aduni toate valorile și împarți suma la câte valori ai. Pentru notele $8$ , $9$ și $7$ obții $\frac{24}{3} = 8$ . Rezultatul cade mereu undeva între valoarea minimă și cea maximă a setului, iar când valorile se repetă poți înmulți fiecare valoare cu numărul ei de apariții și împărți la totalul acestora. Relația funcționează și întoarsă, fiindcă suma întregului set iese din media înmulțită cu numărul de date.

Media aritmetică arată „cât ar reveni fiecăruia” dacă am împărți totalul în mod egal. Pentru valorile $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ , formula este $\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}$ : aduni toate valorile, apoi împarți la câte sunt.

Exemplu: notele $8, 9, 7$ dau $\overset{x}{ˉ} = \frac{8 + 9 + 7}{3} = \frac{24}{3} = 8$ .

Când valorile se repetă, folosești tabelul de frecvențe: înmulțești fiecare valoare cu frecvența ei și împarți la suma frecvențelor, $\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} f _{1} + \dots + x _{k} f _{k}}{f _{1} + \dots + f _{k}}$ .

Reține și relația-cheie pentru problemele inverse: suma valorilor $= \overset{x}{ˉ} \cdot n$ . Media este mereu între cea mai mică și cea mai mare valoare, dar e sensibilă la valori extreme — o singură valoare mult mai mare poate „trage” media în sus.

De reținut

$\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}$
suma valorilor $= \overset{x}{ˉ} \cdot n$
media cade mereu între valoarea minimă și cea maximă a setului

Greșeala tipică

Se împarte suma la numărul de valori diferite, nu la numărul total de date. Fiecare repetare se numără separat, altfel media iese mai mare decât cea adevărată.

Exerciții din această mini-lecție

Calculează media aritmetică a numerelor $5, 6, 7, 8$ .
- a) $6$
- b) $6, 5$
- c) $7$
- d) $26$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $6, 5$

Suma este $5 + 6 + 7 + 8 = 26$ , iar sunt $4$ numere, deci $\overset{x}{ˉ} = \frac{26}{4} = 6, 5$ .
Într-o clasă de $10$ elevi, la un test s-au obținut: nota $7$ — $4$ elevi, nota $8$ — $3$ elevi, nota $9$ — $3$ elevi. Calculează media notelor clasei.
- a) $7, 9$
- b) $8$
- c) $8, 5$
- d) $7, 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $7, 9$

Suma produselor este $7 \cdot 4 + 8 \cdot 3 + 9 \cdot 3 = 28 + 24 + 27 = 79$ , iar suma frecvențelor este $4 + 3 + 3 = 10$ , deci $\overset{x}{ˉ} = \frac{79}{10} = 7, 9$ .
Calculează media aritmetică a numerelor $14, 18, 9, 15, 19$ .
- a) $14$
- b) $15$
- c) $25$
- d) $75$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $15$

Suma este $14 + 18 + 9 + 15 + 19 = 75$ , iar sunt $5$ numere, deci $\overset{x}{ˉ} = \frac{75}{5} = 15$ .

Întrebări conexe

Ce sumă am dacă știu media și numărul de valori?

Înmulțești media cu numărul de valori. Dacă media a cinci note este $8, 4$ , suma lor este $42$ . Relația aceasta rezolvă problemele în care se cere o notă care lipsește: scazi din sumă notele cunoscute.

Cum rotunjesc media atunci când împărțirea nu iese exactă?

Păstrezi de obicei două zecimale și te uiți la a treia ca să decizi. Media $8, 666 \dots$ devine $8, 67$ . Rotunjirea se face doar la sfârșit; rotunjind pe parcurs, rezultatul se depărtează de valoarea adevărată.

Cum se schimbă media dacă adaug același număr la fiecare valoare?

Media crește exact cu acel număr. Adăugând $2$ la fiecare notă dintr-un set cu media $7$ , noua medie devine $9$ . La fel, dacă înmulțești toate valorile cu un număr, media se înmulțește și ea cu el.

Poate media să fie zecimală, deși toate datele sunt numere întregi?

Da, și se întâmplă foarte des, fiindcă suma nu se împarte mereu exact. Notele $8$ și $9$ dau media $8, 5$ , care nu apare printre ele. Media este o valoare de echilibru, nu neapărat una dintre datele culese.

Ce medie are un set în care toate valorile sunt egale?

Chiar valoarea respectivă. Dacă zece elevi au luat toți nota $9$ , suma este $90$ , iar împărțirea la $10$ dă tot $9$ . Este singura situație în care media coincide sigur cu fiecare dată din set.

De ce se împarte la numărul de valori și nu la altceva?

Fiindcă media arată cât ar reveni fiecărei valori dacă totalul s-ar împărți în mod egal. Împărțind la altceva ai obține o cantitate fără legătură cu setul. Numărul de valori se numără atent, inclusiv repetările.

Oamenii mai întreabă și: media aritmetică · cum calculez media · formula mediei aritmetice · media unui set de date · media notelor