Lecția pe scurt · clasa a X-a · Mediana și înălțimea din coordonate

Cum aflu centrul fundației din trei puncte?

Centrul este punctul de intersecție a două mediatoare, deci este egal depărtat de cele trei puncte. Exemplu, în metri: pentru $(2; 0)$ , $(10; 0)$ și $(6; 8)$ , mediatoarea primelor două este $x = 6$ . Segmentul dintre primul și ultimul punct are mijlocul $(4; 4)$ și panta $2$ , deci mediatoarea lui are panta $- \frac{1}{2}$ și dă la $x = 6$ ordonata $4 - \frac{1}{2} \cdot 2 = 3$ . Centrul este $(6; 3)$ , raza $4^{2} + 3^{2} = 5$ m.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Într-un triunghi dat prin coordonatele vârfurilor, fiecare linie importantă se află cu două operații: un punct de pe latură și apoi o distanță sau o dreaptă. Mediana pornește dintr-un vârf și ajunge în mijlocul laturii opuse; mijlocul se obține ca medie a coordonatelor capetelor, iar pentru lungimea ei măsori segmentul dintre vârf și acest mijloc.

Medianele unui triunghi trec toate prin același punct, numit centru de greutate; îl găsești făcând media aritmetică a absciselor vârfurilor și, separat, a ordonatelor lor. Mediana împarte triunghiul în două părți de arii egale, fiindcă ele au baze egale și aceeași înălțime.

Înălțimea coboară din vârf, perpendicular pe dreapta laturii opuse. Dacă latura este oblică, scrii ecuația perpendicularei, cu panta $- \frac{1}{m}$ , și o intersectezi cu latura ca să afli piciorul; la o latură orizontală sau verticală piciorul se citește direct. Mediatoarea unei laturi trece prin mijlocul ei, perpendicular pe ea, iar punctele ei sunt egal depărtate de capetele laturii.

Nu confunda liniile: mediana și înălțimea coincid numai când vârful este egal depărtat de capetele laturii, iar scurtătura „mediana e jumătate din latura opusă” ține doar la unghi drept. Verifici cu distanțele: piciorul înălțimii trebuie să verifice ecuația laturii, iar distanța de la vârf până la centrul de greutate este dublul distanței de la acesta până la mijloc.

De reținut

centrul cercului prin trei puncte este intersecția a două mediatoare
mediatoarea este perpendiculara în mijlocul segmentului; punctele ei sunt egal depărtate de capete
la un triunghi obtuz centrul cercului cade în afara triunghiului

Greșeala tipică

Se ia drept centru al fundației centrul de greutate al celor trei puncte, adică media coordonatelor. Acela nu este egal depărtat de puncte; centrul cercului se află la intersecția mediatoarelor.

Exerciții din această mini-lecție

Pe planul unei hale, în metri, trei lămpi sunt în $A (- 14; 22)$ , $B (8; - 6)$ și $C (10; 3)$ . Un cablu merge de la $C$ la mijlocul laturii $A B$ . În ce punct se termină cablul?
- a) $(- 3; 8)$
- b) $(- 6; 16)$
- c) $(- 11; 14)$
- d) $(11; - 14)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(- 3; 8)$

Mijlocul are coordonatele egale cu mediile capetelor: $\frac{- 14 + 8}{2} = - 3$ și $\frac{22 + ( - 6 )}{2} = 8$ . Varianta $(- 6; 16)$ uită împărțirea la $2$ . Varianta $(- 11; 14)$ scade coordonatele în loc să le adune, iar $(11; - 14)$ este jumătate din vectorul $A B$ , nu un punct al laturii.
Trei puncte de prelevare a apei sunt în $A (6; 14)$ , $B (- 9; 5)$ și $C (18; - 7)$ , în metri. Un hidrant se montează în centrul de greutate al triunghiului $A B C$ . În ce punct se montează?
- a) $(15; 12)$
- b) $(5; 4)$
- c) $(7, 5; 6)$
- d) $(5; 12)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(5; 4)$

Centrul de greutate are coordonatele egale cu mediile celor trei vârfuri: $\frac{6 - 9 + 18}{3} = 5$ și $\frac{14 + 5 - 7}{3} = 4$ . Varianta $(15; 12)$ uită împărțirea, iar $(7, 5; 6)$ împarte la $2$ în loc de $3$ . Varianta $(5; 12)$ împarte numai abscisele.
În reperul de pe planul unui laborator, în metri, trei mese sunt în $A (8; 9)$ , $B (- 10; 6)$ și $C (16; - 12)$ . Care este lungimea medianei duse din $A$ ?
- a) $229$
- b) $510$
- c) $13$
- d) $17$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $13$

Mijlocul lui $B C$ este $(\frac{- 10 + 16}{2}, \frac{6 + ( - 12 )}{2}) = (3; - 3)$ , iar $A M = (8 - 3)^{2} + (9 - (- 3))^{2} = 25 + 144 = 13$ . Varianta $229$ pleacă de la mijlocul $(6; - 6)$ , calculat fără împărțirea la $2$ , iar $510$ este jumătate din latura $B C$ , scurtătură valabilă doar la unghi drept în $A$ . Varianta $17$ adună diferențele $5 + 12$ în loc să extragă rădăcina.

Întrebări conexe

Poate piciorul înălțimii să cadă în afara laturii?

Da, când triunghiul are un unghi obtuz la capătul laturii. Pentru $A (0; 0)$ , $B (6; 0)$ și $C (- 4; 5)$ , latura $A B$ este orizontală, deci piciorul din $C$ are abscisa $- 4$ și cade în $D (- 4; 0)$ , înainte de $A$ . Înălțimea rămâne înălțime și are lungimea $5$ , iar $D$ stă pe prelungirea laturii.

Ce fac dacă două puncte au aceeași ordonată?

Segmentul dintre ele este orizontal, deci mediatoarea lui este verticală și are ca abscisă media absciselor. Pentru $(1; 7)$ și $(13; 7)$ , mediatoarea este $x = \frac{1 + 13}{2} = 7$ , o dreaptă fără pantă. Intersecția cu cealaltă mediatoare se citește la $x = 7$ .

Poate centrul să cadă în afara triunghiului?

Da, la un triunghi obtuz. Pentru $(0; 0)$ , $(6; 0)$ și $(3; 1)$ , mediatoarea bazei este $x = 3$ , iar punctul $(3; - 4)$ este egal depărtat de cele trei: $3^{2} + (- 4)^{2} = 25 = (- 4 - 1)^{2}$ . Centrul stă sub bază, în afara triunghiului.

Câte mediatoare trebuie trasate pentru centru?

Două ajung, iar a treia servește la verificare. În exemplul cu $(2; 0)$ , $(10; 0)$ și $(6; 8)$ , mediatoarea ultimelor două puncte are mijlocul $(8; 4)$ și panta $\frac{1}{2}$ , deci la $x = 6$ dă $4 + \frac{1}{2} \cdot (6 - 8) = 3$ , aceeași ordonată a centrului.

Cum apar mediana și înălțimea la examen?

Mediana sau înălțimea a apărut în 5 probe M_tehnologic din 2013–2026, la Subiectul I. Cerința cere lungimea liniei: calculezi mijlocul laturii opuse sau piciorul înălțimii, apoi distanța de la vârf până la acel punct.

Oamenii mai întreabă și: punctul egal depărtat de trei puncte date · intersecția a două mediatoare din coordonate · centrul unei fundații circulare din trei puncte · cum găsesc centrul cercului dacă știu trei puncte de pe el