Linii importante în coordonate, la tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Un blat triunghiular se sprijină pe un singur piedestal, iar tâmplarul trebuie să știe unde îl fixează. Răspunsul vine din calcul: din coordonatele a trei vârfuri afli mijlocul unei laturi, lungimea unei traverse și piciorul unei perpendiculare. Programa de examen a filierei tehnologice așază în clasa a X-a «linii importante în triunghi», iar aici le citești în coordonate, ca pe un plan de atelier. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), în probele 2013–2026, cinci cerințe au cerut lungimea unei mediane sau a unei înălțimi.

Situația de pornire

Un atelier de tâmplărie taie dintr-o placă de stejar lamelat, de 90 cm pe 90 cm, un blat triunghiular pentru o măsuță de cafea. Meșterul măsoară pe placă, de la colțul din stânga jos, cele trei vârfuri ale blatului. Unitatea este centimetrul.

Vârful	Pe orizontală, x (cm)	Pe verticală, y (cm)
A	19	31
B	83	79
C	12	82

Măsuța va sta pe un singur piedestal, pus în punctul în care blatul se echilibrează. Dedesubt, de la vârful C până la mijlocul laturii AB, se prinde o traversă de rigidizare. Tot din C, meșterul trasează cu echerul perpendiculara pe AB: lungimea ei este înălțimea blatului, iar din înălțime se calculează aria, de care depinde cantitatea de lac.

Întrebare: ce lungime are traversa, în ce punct al plăcii stă piedestalul și ce arie are blatul?

De la situație la model

Premisele care ți-au scăpat le regăsești în traseul clasei a X-a, filiera tehnologică. Placa devine un reper, iar fiecare piesă din atelier un obiect de geometrie:

În situație	În matematică
vârfurile măsurate pe placă	punctele $A (19; 31)$ , $B (83; 79)$ și $C (12; 82)$
punctul din mijlocul unei laturi	mijlocul $M$ al segmentului $A B$
traversa de la C la mijlocul laturii AB	mediana $C M$ din vârful $C$
perpendiculara trasată cu echerul din C	înălțimea $C D$ , cu $D$ pe dreapta $A B$ și $C D ⊥ A B$
punctul în care blatul se echilibrează	centrul de greutate $G$
lungimea unei traverse	distanța dintre două puncte

Mediana dusă dintr-un vârf leagă acel vârf de mijlocul laturii din față. Înălțimea dusă dintr-un vârf coboară, în unghi drept, pe dreapta laturii din față. Mediatoarea unei laturi este perpendiculara pe latură în punctul ei de mijloc. Bisectoarea unui unghi este semidreapta care îl taie în două unghiuri egale. Fiecare triunghi are câte trei din fiecare.

Cum afli mijlocul unei laturi și lungimea medianei?

Mijlocul $M$ al lui $A B$ are drept coordonate mediile coordonatelor capetelor: $x_{M} = \frac{x _{A} + x _{B}}{2}$ și $y_{M} = \frac{y _{A} + y _{B}}{2}$ . Lungimea medianei este distanța de la vârf la acest punct, calculată ca în lecția despre distanța și mijlocul pe planul de șantier. Cele trei mediane se întâlnesc într-un punct, centrul de greutate $G$ , ale cărui coordonate sunt mediile celor trei abscise și ale celor trei ordonate. Pe fiecare mediană, $G$ stă la două treimi de vârf. Un blat sprijinit în $G$ nu se înclină.

Cum scrii mediatoarea unei laturi?

Mediatoarea lui $A B$ trece prin $M$ și are panta $- \frac{1}{m}$ , unde $m$ este panta lui $A B$ , ca în lecția despre paralele și perpendiculare prin pante. Ea are și o proprietate de distanță: fiecare punct $P$ de pe ea are $P A = P B$ , iar un punct cu $P A = P B$ stă pe ea. Mediatoarele celor trei laturi se întâlnesc într-un punct egal depărtat de cele trei vârfuri, centrul cercului care trece prin ele.

Unde cade înălțimea și cât de lungă este?

Afli întâi piciorul $D$ , punctul în care perpendiculara din $C$ taie dreapta $A B$ : scrii ecuația perpendicularei, de pantă $- \frac{1}{m}$ , și o egalezi cu ecuația lui $A B$ . Dacă latura e orizontală sau verticală, piciorul se citește direct, fiindcă are abscisa sau ordonata lui $C$ . Înălțimea este distanța $C D$ . La un triunghi cu un unghi obtuz, piciorul cade pe prelungirea laturii, iar înălțimea rămâne înălțime. Ea este cel mai scurt drum de la vârf la dreapta laturii: orice alt segment dus din $C$ pe dreapta $A B$ , mediana inclusă, este cel puțin la fel de lung.

Cum arată bisectoarea în coordonate?

Bisectoarea unui unghi oarecare nu are o regulă la fel de scurtă ca celelalte trei, așa că aici o urmărești în triunghiul isoscel. Dacă $C A = C B$ , bisectoarea din $C$ , mediana din $C$ , înălțimea din $C$ și mediatoarea lui $A B$ sunt aceeași dreaptă, axa de simetrie a triunghiului. Atunci lucrezi prin mijlocul bazei, fără pante, iar egalitatea $C A = C B$ o verifici prin distanțe.

Metoda pas cu pas

Scrie coordonatele vârfurilor, cu unitatea, și numește linia cerută: mediană sau înălțime din ce vârf, mediatoare a cărei laturi. La blat, $A (19; 31)$ , $B (83; 79)$ și $C (12; 82)$ sunt în centimetri, iar linia este mediana din $C$ . Uită-te de la început dacă o latură e orizontală sau verticală și dacă două laturi par egale: la acestea calculul se scurtează.
Află punctul de pe latură. La mediană și la mediatoare e mijlocul, media coordonatelor capetelor. La înălțime e piciorul: îl citești direct la o latură orizontală sau verticală, iar la una oblică îl găsești ca intersecție între latură și perpendiculara din vârf, de pantă $- \frac{1}{m}$ . Dacă $C A = C B$ , piciorul înălțimii din $C$ este mijlocul lui $A B$ , iar pantele nu mai trebuie calculate.
Calculează ce se cere. O lungime este distanța dintre vârf și punctul găsit; o dreaptă se scrie prin punct și pantă, $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ ; centrul de greutate se obține direct din mediile coordonatelor celor trei vârfuri. Lasă rădăcinile exacte cât timp calculezi și rotunjește abia la sfârșit, cu precizia meseriei: la un blat, milimetrul. Lungimile se scriu în centimetri, iar aria în centimetri pătrați; pentru cantitatea de lac o treci în metri pătrați.
Verifică pe alt drum, nu refăcând calculul: $G$ stă la două treimi de vârf pe mediană, piciorul înălțimii verifică ecuația laturii, un punct al mediatoarei e la distanțe egale de capetele laturii, iar aria se poate număra și altfel. Un rezultat care iese din placă sau din triunghi, ca un piedestal pus în afara blatului, arată o greșeală de calcul. Scrie lungimea cu unitatea.

Fișa de buzunar

$x_{M} = \frac{x _{A} + x _{B}}{2}, y_{M} = \frac{y _{A} + y _{B}}{2}, G (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}; \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3})$

$m \cdot m^{'} = - 1$

Linia	Pornește din	Cade în	Cele trei se întâlnesc în
mediana	un vârf	mijlocul laturii opuse	centrul de greutate
înălțimea	un vârf	piciorul perpendicularei pe latura opusă	ortocentru
mediatoarea	mijlocul unei laturi	latura, la unghi drept	centrul cercului prin cele trei vârfuri
bisectoarea	un vârf	latura opusă, cu unghiul împărțit în două	centrul cercului tangent la cele trei laturi

În relația $m \cdot m^{'} = - 1$ , numerele $m$ și $m^{'}$ sunt pantele a două drepte perpendiculare. Condiții de aplicare: mijlocul și centrul de greutate merg pentru orice triunghi, iar panta $- \frac{1}{m}$ cere o latură care nu e nici orizontală, nici verticală; la acestea piciorul se citește direct. Dacă $C A = C B$ , patru linii din $C$ coincid. Verificare rapidă: mediana nu e niciodată mai scurtă decât înălțimea din același vârf.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Blatul de stejar

Domeniu: lemn.

Enunț. Reia blatul din situația de pornire: $A (19; 31)$ , $B (83; 79)$ și $C (12; 82)$ , în centimetri. a) Ce lungime are traversa $C M$ , cu $M$ mijlocul laturii $A B$ ? b) În ce punct stă piedestalul? c) Află piciorul $D$ al înălțimii din $C$ , înălțimea și aria blatului.

Rezolvare. a) $M (\frac{19 + 83}{2}; \frac{31 + 79}{2}) = (51; 55)$ , iar $C M = (51 - 12)^{2} + (55 - 82)^{2} = 1521 + 729 = 2250 = 1510 \approx 47, 4$ cm. b) Piciorul stă în centrul de greutate, $G (\frac{19 + 83 + 12}{3}; \frac{31 + 79 + 82}{3}) = (38; 64)$ . c) Panta lui $A B$ este $\frac{79 - 31}{83 - 19} = \frac{3}{4}$ , deci $A B$ are ecuația $y - 31 = \frac{3}{4} (x - 19)$ , adică $y = \frac{3}{4} x + \frac{67}{4}$ . Perpendiculara din $C$ are panta $- \frac{4}{3}$ : $y - 82 = - \frac{4}{3} (x - 12)$ , adică $y = - \frac{4}{3} x + 98$ . Egalăm: $\frac{3}{4} x + \frac{67}{4} = - \frac{4}{3} x + 98$ , deci $\frac{25}{12} x = \frac{325}{4}$ , $x = 39$ și $y = 46$ . Piciorul este $D (39; 46)$ . Înălțimea este $C D = (39 - 12)^{2} + (46 - 82)^{2} = 2025 = 45$ cm, iar $A B = 6 4^{2} + 4 8^{2} = 80$ cm. Aria este $\frac{80 \cdot 45}{2} = 1800$ cm², adică 0,18 m².

Capcană. Cine ia traversa drept înălțime scrie aria $\frac{80 \cdot 15 10}{2} = 60010 \approx 1897$ cm², cu 97 cm² mai mult decât cei 1800 corecți. Traversa merge la mijlocul $M (51; 55)$ , iar perpendiculara cade în $D (39; 46)$ , la 15 cm de $M$ ; abia când $C A = C B$ cele două puncte coincid.

Verificare. Pe alt drum, aria prin completare la dreptunghi: dreptunghiul care cuprinde triunghiul are $83 - 12 = 71$ cm pe $82 - 31 = 51$ cm, adică 3621 cm². Din el se scad trei triunghiuri dreptunghice de colț, $\frac{7 \cdot 51}{2} = 178, 5$ cm², $\frac{64 \cdot 48}{2} = 1536$ cm² și $\frac{71 \cdot 3}{2} = 106, 5$ cm², în total 1821 cm². Rămân $3621 - 1821 = 1800$ cm². Centrul de greutate stă la două treimi din $C M$ : $12 + \frac{2}{3} \cdot 39 = 38$ și $82 - \frac{2}{3} \cdot 27 = 64$ . În plus, $C M^{2} = C D^{2} + D M^{2}$ , adică $2250 = 2025 + 225$ , cu $D M = 15$ cm.

Exemplul 2 — Centrul unei fundații rotunde

Domeniu: constructii.

Enunț. O stație de pompare își înlocuiește rezervorul cilindric de apă, iar cel nou se montează pe vechea fundație circulară. Planul fundației s-a pierdut, așa că topograful a marcat pe marginea ei trei puncte, în metri: $P_{1} (23; 29)$ , $P_{2} (41; 41)$ și $P_{3} (41; 17)$ . Unde este centrul $J$ al fundației, de la care montatorii trasează ancorele, și ce rază are fundația?

Rezolvare. Centrul unui cerc este egal depărtat de toate punctele cercului, deci stă pe mediatoarele segmentelor $P_{1} P_{2}$ și $P_{2} P_{3}$ . Segmentul $P_{1} P_{2}$ are panta $\frac{41 - 29}{41 - 23} = \frac{2}{3}$ și mijlocul $(32; 35)$ , deci mediatoarea lui are panta $- \frac{3}{2}$ : $y - 35 = - \frac{3}{2} (x - 32)$ , adică $y = - \frac{3}{2} x + 83$ . Segmentul $P_{2} P_{3}$ este vertical, pe dreapta $x = 41$ , cu mijlocul $(41; 29)$ , deci mediatoarea lui este orizontala $y = 29$ . Din $- \frac{3}{2} x + 83 = 29$ rezultă $x = 36$ , deci centrul este $J (36; 29)$ . Raza este $J P_{1} = (36 - 23)^{2} + (29 - 29)^{2} = 13$ m.

Capcană. Cine ia drept centru centrul de greutate al celor trei puncte, $G (\frac{23 + 41 + 41}{3}; \frac{29 + 41 + 17}{3}) = (35; 29)$ , găsește 12 m până la $P_{1}$ și $180 \approx 13, 4$ m până la $P_{2}$ și $P_{3}$ : cercul cu centrul în $G$ nu trece prin toate trei, iar mantaua rezervorului nou n-ar sta pe fundație. Centrul de greutate vine din medii, centrul cercului vine din mediatoare.

Verificare. Pe alt drum, prin definiție: $J P_{2} = 5^{2} + 1 2^{2} = 13$ m și $J P_{3} = 5^{2} + 1 2^{2} = 13$ m, deci toate cele trei puncte sunt la 13 m de $J$ , iar fundația are 26 m diametru. Și mediatoarea lui $P_{1} P_{3}$ , de pantă $\frac{3}{2}$ și mijloc $(32; 23)$ , trece prin $J$ : $\frac{3}{2} \cdot 36 - 25 = 29$ .

Exemplul 3 — Parcela împărțită între doi frați

Domeniu: agricol.

Enunț. Doi frați moștenesc o parcelă triunghiulară și vor s-o împartă în două părți cu aceeași arie. Topograful a măsurat vârfurile față de un țăruș de reper, în metri: $A (46; 82)$ , $B (238; 162)$ și $C (78; 208)$ . Gardul despărțitor merge de la $C$ la mijlocul laturii $A B$ , cu câte un stâlp la cel mult 4 m. a) Ce arie are parcela, în hectare, cu două zecimale? b) Ce lungime are gardul și câți stâlpi trebuie? c) Ce arie are fiecare parte?

Rezolvare. a) $A B$ are panta $\frac{162 - 82}{238 - 46} = \frac{5}{12}$ . Perpendiculara din $C$ , $y - 208 = - \frac{12}{5} (x - 78)$ , taie dreapta $A B$ , $y - 82 = \frac{5}{12} (x - 46)$ , în $D (118; 112)$ . Atunci $A B = 19 2^{2} + 8 0^{2} = 208$ m și $C D = 4 0^{2} + 9 6^{2} = 104$ m, deci aria este $\frac{208 \cdot 104}{2} = 10816$ m². Un hectar are 10 000 m², deci parcela are 1,0816 ha, rotunjit 1,08 ha. b) Mijlocul lui $A B$ este $M (142; 122)$ , iar $C M = (142 - 78)^{2} + (122 - 208)^{2} = 11492 \approx 107, 2$ m. Cu stâlpi la cel mult 4 m, $107, 2 : 4 = 26, 8$ , deci sunt 27 de intervale și 28 de stâlpi. c) Mediana lui $A B$ împarte triunghiul în două triunghiuri cu bazele $A M = M B$ și cu aceeași înălțime $C D$ , deci fiecare parte are $10816 : 2 = 5408$ m², adică 0,54 ha.

Capcană. Cine trage gardul pe perpendiculara din $C$ , până în $D$ , face gardul cel mai scurt, de 104 m, dar împarte greșit: $A D = 7 2^{2} + 3 0^{2} = 78$ m și $D B = 12 0^{2} + 5 0^{2} = 130$ m, deci părțile ar avea $\frac{78 \cdot 104}{2} = 4056$ m² și $\frac{130 \cdot 104}{2} = 6760$ m². Arii egale dă mijlocul bazei, nu piciorul înălțimii.

Verificare. Pe alt drum, prin completare la dreptunghi: dreptunghiul de $238 - 46 = 192$ m pe $208 - 82 = 126$ m are 24 192 m², iar triunghiurile lui de colț au $\frac{192 \cdot 80}{2} = 7680$ m², $\frac{160 \cdot 46}{2} = 3680$ m² și $\frac{32 \cdot 126}{2} = 2016$ m²; parcela are deci $24192 - 13376 = 10816$ m². Cei 28 de stâlpi lasă 27 de intervale de $107, 2 : 27 \approx 3, 97$ m, sub 4 m.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: mediana într-un triunghi dreptunghic

Domeniu: mecanica.

Enunț. Într-o probă, cerința ar putea suna așa, cu numere schimbate: „În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (42, 34)$ , $B (33, 22)$ și $C (17, 34)$ . Determinați lungimea medianei din vârful $B$ a triunghiului $A B C$ .” Pe o placă de prindere de la un strung, punctele ar fi trei găuri, cu coordonatele în centimetri.

Rezolvare. Mijlocul lui $A C$ este $M (\frac{42 + 17}{2}, \frac{34 + 34}{2}) = (29, 5, 34)$ . Mediana este $B M = (29, 5 - 33)^{2} + (34 - 22)^{2} = 12, 25 + 144 = 156, 25 = 12, 5$ , adică 12,5 cm.

Capcană. «Mediana este jumătate din latura opusă» e adevărat numai când unghiul din vârf este drept. Dacă $C$ ar fi $C^{'} (17, 38)$ , scurtătura ar da $\frac{A C ^{'}}{2} = \frac{641}{2} \approx 12, 7$ , dar mediana din $B$ ar fi $3, 5^{2} + 1 4^{2} = 208, 25 \approx 14, 4$ , cu mijlocul $(29, 5, 36)$ .

Verificare. Pe alt drum: pantele lui $B A$ și $B C$ sunt $\frac{34 - 22}{42 - 33} = \frac{4}{3}$ și $\frac{34 - 22}{17 - 33} = - \frac{3}{4}$ , cu produsul $- 1$ , deci unghiul din $B$ este drept. În triunghiul dreptunghic, mediana la ipotenuză este jumătate din ea: $A C = 42 - 17 = 25$ , pe o dreaptă orizontală, iar $\frac{25}{2} = 12, 5$ . Mijlocul ipotenuzei este și centrul cercului prin cele trei găuri.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Se dau $A (4; 11)$ , $B (- 6; 3)$ și $C (8; - 1)$ . Află mijlocul $M$ al laturii $B C$ și lungimea medianei $A M$ .

2. Află centrul de greutate al triunghiului cu vârfurile $P (- 4; 9)$ , $Q (11; - 3)$ și $R (8; 12)$ .

3. Triunghiul $A B C$ are, în metri, $A (7; - 2)$ , $B (7; 9)$ și $C (- 6; 4)$ . Latura $A B$ este verticală: află piciorul înălțimii din $C$ , lungimea înălțimii și aria triunghiului.

4. Pentru triunghiul de la exercițiul 1, scrie ecuația dreptei $A M$ și arată că centrul de greutate al triunghiului stă pe ea.

Nivelul 2 — situații

5. (Problemă aplicată.) Capra acoperișului unei fântâni are tirantul $A B$ orizontal, căpriorii $A C$ și $B C$ și o popă de la $C$ la tirant. Pe plan, în centimetri: $A (46; 28)$ , $B (214; 28)$ și $C (130; 112)$ . Arată că $C A = C B$ , află lungimea popii, dusă ca înălțime din $C$ , și spune ce alte linii din $C$ coincid cu ea.

6. (Problemă aplicată.) La un service auto, un suport de far, simetric, se prinde în găurile $P (29; 50)$ și $Q (53; 38)$ ale unei plăci, în centimetri. Senzorul se montează pe axa de simetrie a suportului, adică pe mediatoarea lui $P Q$ . a) Scrie ecuația mediatoarei lui $P Q$ . b) Care dintre punctele $T_{1} (44; 50)$ , $T_{2} (40; 43)$ , $T_{3} (52; 66)$ și $T_{4} (47; 57)$ sunt bune pentru senzor?

7. (Problemă aplicată.) Într-un depozit de prefabricate, un pod rulant merge pe o cale de rulare dreaptă, iar căruciorul lui se mișcă perpendicular pe cale. Pe planul topografic al depozitului, în metri, calea trece prin $A (16; 53)$ și $B (56; 23)$ , iar o grindă de ridicat stă în $C (41; 53)$ . a) În ce punct $D$ al căii se oprește podul, ca grinda să fie pe linia căruciorului? b) Cât merge podul de la capătul $A$ până în $D$ și cât merge căruciorul până deasupra grinzii?

8. (Problemă aplicată.) O firmă de distribuție aprovizionează trei magazine cu cantități egale de marfă și își alege locul depozitului prin metoda centrului de greutate: punctul cu media coordonatelor magazinelor. Pe harta zonei, în kilometri, magazinele sunt în $P (52; 56)$ , $Q (96; 52)$ și $R (44; 96)$ . a) Scrie ecuațiile medianelor din $P$ și din $Q$ ale triunghiului $P QR$ . b) Află punctul lor de întâlnire. c) Arată că el este chiar punctul dat de metodă.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (3, 8)$ , $B (- 5, 2)$ și $C (7, - 2)$ . Determinați lungimea medianei din vârful $A$ a triunghiului $A B C$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (9, - 3)$ , $B (9, 13)$ și $C (- 4, 5)$ . Arătați că $C A = C B$ și determinați lungimea înălțimii din vârful $C$ a triunghiului $A B C$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (0, - 14)$ și $B (- 48, 0)$ . Determinați lungimea medianei din vârful $O$ a triunghiului $A O B$ .

12. (Sinteză.) Un teren are forma triunghiului $A B C$ , cu, în metri, $A (12; 9)$ , $B (28; 39)$ și $C (37; 92)$ . a) Scrie ecuația dreptei $A B$ . b) Scrie ecuația înălțimii din $C$ și află piciorul $D$ . c) Arată că $D$ nu stă pe segmentul $A B$ . d) Află lungimea înălțimii și aria terenului.

Răspunsuri și verificări

1. $M (\frac{- 6 + 8}{2}; \frac{3 + ( - 1 )}{2}) = (1; 1)$ și $A M = (4 - 1)^{2} + (11 - 1)^{2} = 109 \approx 10, 4$ . Verificare: $M$ e la jumătate, fiindcă $1 - (- 6) = 8 - 1$ și $1 - 3 = - 1 - 1$ .

2. $G (\frac{- 4 + 11 + 8}{3}; \frac{9 + ( - 3 ) + 12}{3}) = (5; 6)$ . Verificare: la două treimi de $P$ pe mediana spre $(9, 5; 4, 5)$ , mijlocul lui $QR$ : $- 4 + \frac{2}{3} \cdot 13, 5 = 5$ și $9 - \frac{2}{3} \cdot 4, 5 = 6$ .

3. Piciorul este $D (7; 4)$ , cu abscisa lui $A B$ și ordonata lui $C$ . Înălțimea este $∣7 - (- 6) ∣ = 13$ m, $A B = 9 - (- 2) = 11$ m, iar aria este $\frac{11 \cdot 13}{2} = 71, 5$ m². Verificare: $C D$ e orizontală, $A B$ verticală, deci perpendiculare.

4. Panta lui $A M$ este $\frac{11 - 1}{4 - 1} = \frac{10}{3}$ , deci $y - 1 = \frac{10}{3} (x - 1)$ , adică $y = \frac{10}{3} x - \frac{7}{3}$ . Centrul de greutate este $G (\frac{4 - 6 + 8}{3}; \frac{11 + 3 - 1}{3}) = (2; \frac{13}{3})$ . Verificare: $\frac{10}{3} \cdot 2 - \frac{7}{3} = \frac{13}{3}$ .

5. $C A^{2} = (130 - 46)^{2} + (112 - 28)^{2} = 14112$ și $C B^{2} = (130 - 214)^{2} + (112 - 28)^{2} = 14112$ , deci $C A = C B = 842 \approx 118, 8$ cm. Piciorul înălțimii e $D (130; 28)$ , iar popa are $112 - 28 = 84$ cm. Cu ea coincid mediana ( $\frac{46 + 214}{2} = 130$ ), bisectoarea și mediatoarea lui $A B$ . Verificare: $8 4^{2} + 8 4^{2} = 14112$ , ca $A C^{2}$ în triunghiul dreptunghic $A D C$ .

6. a) Mijlocul lui $P Q$ este $(41; 44)$ , panta lui $P Q$ este $- \frac{1}{2}$ , deci mediatoarea are panta $2$ : $y - 44 = 2 (x - 41)$ , adică $y = 2 x - 38$ . b) Ecuația se verifică la $T_{1}$ ( $2 \cdot 44 - 38 = 50$ ) și la $T_{3}$ ( $2 \cdot 52 - 38 = 66$ ), dar nu la $T_{2}$ ( $42 \neq = 43$ ) și la $T_{4}$ ( $56 \neq = 57$ ): bune sunt $T_{1}$ și $T_{3}$ . Verificare: $T_{1} P^{2} = 1 5^{2} + 0^{2} = 225$ și $T_{1} Q^{2} = 9^{2} + 1 2^{2} = 225$ .

7. a) $A B$ are panta $\frac{23 - 53}{56 - 16} = - \frac{3}{4}$ , deci $y = - \frac{3}{4} x + 65$ . Linia căruciorului prin $C$ e perpendiculară pe cale, de pantă $\frac{4}{3}$ : $y = \frac{4}{3} x - \frac{5}{3}$ . Din $- \frac{3}{4} x + 65 = \frac{4}{3} x - \frac{5}{3}$ rezultă $x = 32$ și $y = 41$ , deci $D (32; 41)$ . b) Podul merge $A D = 1 6^{2} + 1 2^{2} = 20$ m, iar căruciorul $C D = 9^{2} + 1 2^{2} = 15$ m. Verificare: $A C = 41 - 16 = 25$ m și $625 = 400 + 225$ , deci unghiul din $D$ e drept.

8. a) Mijlocul lui $QR$ este $(70; 74)$ , deci mediana din $P$ are panta $\frac{74 - 56}{70 - 52} = 1$ : $y = x + 4$ . Mijlocul lui $P R$ este $(48; 76)$ , deci mediana din $Q$ are panta $- \frac{1}{2}$ : $y = - \frac{1}{2} x + 100$ . b) Din $x + 4 = - \frac{1}{2} x + 100$ rezultă $x = 64$ și $y = 68$ , deci $G (64; 68)$ . c) Mediile dau $\frac{52 + 96 + 44}{3} = 64$ și $\frac{56 + 52 + 96}{3} = 68$ . Verificare: a treia mediană, din $R$ la $(74; 54)$ , de pantă $- \frac{7}{5}$ , trece prin $G$ : $96 - \frac{7}{5} \cdot 20 = 68$ .

9. Mijlocul lui $B C$ este $M (1, 0)$ . Lungimea medianei este $A M = (3 - 1)^{2} + (8 - 0)^{2} = 68$ . Rezultatul este $217 \approx 8, 2$ . Verificare: $1 - (- 5) = 7 - 1$ și $0 - 2 = - 2 - 0$ , deci $M$ e la jumătatea lui $B C$ .

10. $C A^{2} = (9 - (- 4))^{2} + (- 3 - 5)^{2} = 233$ și $C B^{2} = 1 3^{2} + (13 - 5)^{2} = 233$ , deci $C A = C B$ . Piciorul înălțimii din $C$ este mijlocul lui $A B$ , $M (9, 5)$ , iar $C M = 9 - (- 4) = 13$ . Înălțimea are lungimea 13. Verificare: $A B$ e verticală, $C M$ orizontală, deci $C M ⊥ A B$ .

11. $A B = 1 4^{2} + 4 8^{2} = 2500 = 50$ , iar unghiul din $O$ este drept, deci mediana din $O$ e jumătate din $A B$ . Rezultă $\frac{50}{2} = 25$ . Verificare: mijlocul lui $A B$ este $(- 24, - 7)$ și $2 4^{2} + 7^{2} = 625 = 25$ .

12. a) $A B$ are panta $\frac{39 - 9}{28 - 12} = \frac{15}{8}$ , deci $y = \frac{15}{8} x - \frac{27}{2}$ . b) Înălțimea din $C$ are panta $- \frac{8}{15}$ : $y = - \frac{8}{15} x + \frac{1676}{15}$ . Din ecuația lui $A B$ și a înălțimii rezultă $x = 52$ și $y = 84$ , deci $D (52; 84)$ . c) $A D = 4 0^{2} + 7 5^{2} = 85$ m, iar $A B = 1 6^{2} + 3 0^{2} = 34$ m; cum $85 > 34$ , $D$ cade dincolo de $B$ . d) Înălțimea este $C D = 1 5^{2} + 8^{2} = 17$ m, iar aria este $\frac{34 \cdot 17}{2} = 289$ m². Verificare: aria $A C D$ minus aria $B C D$ dă $\frac{85 \cdot 17}{2} - \frac{51 \cdot 17}{2} = 722, 5 - 433, 5 = 289$ m².

Așa vine la Bac M3

Cele cinci cerințe despre liniile triunghiului din probele 2013–2026 au venit toate la cerința 5 din Subiectul I: patru cer lungimea unei mediane, una lungimea unei înălțimi. Ultima este din iunie 2020. Nicio cerință din cele 83 de probe nu cere mediatoarea sau bisectoarea. Patru dintre ele, în forme diferite:

Modelul din 2019, Subiectul I, exercițiul 5: se dau trei puncte, două pe aceeași verticală, iar cerința este lungimea medianei din al treilea; pasul 2 din Metodă dă mijlocul laturii verticale, pasul 3 dă distanța $5$ , iar baremul acordă 2 puncte pentru mijloc și 3 pentru lungime.
Simularea din 2015, Subiectul I, exercițiul 5: lungimea medianei din vârful $A$ , cu latura $B C$ orizontală; pasul 2 din Metodă dă mijlocul lui $B C$ , pasul 3 lungimea 2, iar baremul acordă 2 puncte pentru mijloc și 3 pentru lungime.
Iunie 2018, rezervă, Subiectul I, exercițiul 5: triunghiul $A O B$ are unghiul drept în origine, iar mediana din $O$ este jumătate din ipotenuza de lungime 10, ca în scurtătura din exemplul 4, care înlocuiește pașii 2 și 3 din Metodă; baremul dă 2 puncte pentru ipotenuză și 3 pentru mediană.
Iunie 2020, Subiectul I, exercițiul 5: singura înălțime; triunghiul $A B C$ are $C A = C B$ , piciorul din $C$ este mijlocul $D (0, 1)$ al lui $A B$ (pasul 2), iar baremul dă 3 puncte pentru acest picior și 2 pentru lungimea 3.

Exercițiile 9–11 reiau trei dintre aceste forme cu alte numere: o mediană cu mijlocul cerut, o înălțime într-un triunghi isoscel și o mediană într-un triunghi dreptunghic. Exercițiul 12 arată cazul în care piciorul cade pe prelungirea laturii. Distanța de la un punct la o dreaptă oarecare, fără piciorul perpendicularei, e în lecția cu formula distanței punct–dreaptă.

Greșeli care costă puncte

Iei traversa drept înălțime → aria blatului iese 1897 cm² în loc de 1800 cm²; cum o prinzi: piciorul înălțimii trebuie să verifice ecuația laturii și produsul pantelor $- 1$ , iar mediana merge la mijloc.
Împarți la 2, nu la 3, sumele coordonatelor centrului de greutate → $(57; 96)$ , un punct în afara plăcii de 90 cm; cum o prinzi: $G$ trebuie să cadă în interiorul triunghiului, la două treimi de vârf pe mediană.
Iei centrul fundației în centrul de greutate al celor trei puncte → 12 m și 13,4 m, nu o rază comună de 13 m; cum o prinzi: distanțele de la centru la toate cele trei puncte trebuie să iasă egale.
Tragi gardul despărțitor pe înălțime, nu pe mediană → părți de 4056 m² și 6760 m², nu câte 5408 m²; cum o prinzi: gardul trebuie să ajungă în mijlocul bazei, iar aici $A D = 78$ m și $D B = 130$ m.
Aplici «mediana este jumătate din latura opusă» fără unghi drept → 12,7 în loc de 14,4; cum o prinzi: verifici produsul pantelor laturilor care pornesc din vârf.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: tema liniilor importante din triunghi, citite în coordonate, face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a X-a), deși programa nouă a clasei a X-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 5 probe, la Subiectul I. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6) tema nu este în programa de examen.

Întrebări frecvente

Cum verifici cu ruleta că ai marcat bine vârfurile blatului? Măsori cele trei laturi și le compari cu valorile din coordonate: $A B = 80$ cm, $A C = 7^{2} + 5 1^{2} = 2650 \approx 51, 5$ cm și $B C = 7 1^{2} + 3^{2} = 5050 \approx 71, 1$ cm. Dacă una diferă cu câțiva milimetri, vârful care o închide a fost trecut greșit pe placă, iar controlul se repetă pe celelalte două laturi.

Cum găsește meșterul pe muchia AB punctele M și D, doar cu ruleta? Măsoară de la $A$ , de-a lungul muchiei: mijlocul $M$ e la jumătatea celor 80 cm, adică la 40 cm, iar piciorul înălțimii, $D (39; 46)$ , e la 25 cm de $A$ . Deci $D$ cade între $A$ și $M$ . Dacă pe placă cele două semne ies în altă ordine, unul dintre vârfuri a fost trecut greșit.

De ce traversa pornește din C, nu din A sau din B? Fiindcă e cea mai scurtă dintre cele trei mediane: din $C$ are 47,4 cm, din $A$ , spre mijlocul $(47, 5; 80, 5)$ al lui $B C$ , ar avea $3262, 5 \approx 57, 1$ cm, iar din $B$ , spre mijlocul $(15, 5; 56, 5)$ al lui $A C$ , $5062, 5 \approx 71, 2$ cm. Cea mai scurtă mediană merge pe latura cea mai lungă, aici $A B$ , de 80 cm.

Unde pui un șurub egal depărtat de A și de B? Pe mediatoarea lui $A B$ : mijlocul este $(51; 55)$ , panta lui $A B$ este $\frac{3}{4}$ , deci mediatoarea are panta $- \frac{4}{3}$ și ecuația $y = - \frac{4}{3} x + 123$ . Punctul $(39; 71)$ este pe ea, în interiorul blatului, iar distanțele lui până la $A$ și până la $B$ sunt egale: $2 0^{2} + 4 0^{2} = 2000 \approx 44, 7$ cm. Orice alt punct al acestei drepte din interiorul blatului e la fel de bun.

Ce linii ale triunghiului au apărut la Bacalaureatul M3 în probele 2013–2026? Mediana, în patru cerințe, și înălțimea, într-una, toate la cerința 5 din Subiectul I; ultima este din iunie 2020. Mediatoarea și bisectoarea n-au apărut în niciun enunț din cele 83 de probe. Fiind în programa M_tehnologic, pot fi cerute.