Câte soluții are ecuația $$|x| = 9$$ și care sunt ele?

Două soluții, $$x = 9$$ și $$x = -9$$

O singură soluție, $$x = -9$$

Cum calculez distanța dintre două numere?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Modulul ca distanță pe axă

Le scazi și iei modulul rezultatului: $dist (a, b) = ∣ a - b ∣$ . Ordinea nu contează, fiindcă scăderea răsturnată dă numărul opus, iar modulul șterge semnul. Distanța dintre $- 3$ și 4 este astfel $∣4 - (- 3) ∣ = 7$ . Modulul unui singur număr este, de fapt, distanța lui până la zero, așa că $∣ - 5∣$ și $∣5∣$ dau amândouă 5, punctele fiind la fel de depărtate de origine.

Modulul unui număr, $∣ a ∣$ , are un sens geometric simplu: este distanța de la origine (punctul $0$ ) până la punctul $a$ pe axa numerelor. De aceea $∣ a ∣$ nu poate fi niciodată negativ — o distanță nu are semn. De exemplu, $∣ - 5∣ = 5$ și $∣5∣ = 5$ , pentru că ambele puncte sunt la 5 unități de $0$ , doar în direcții opuse; de aici rezultă că numerele opuse au mereu același modul, $∣ a ∣ = ∣ - a ∣$ .

Cea mai utilă idee este formula distanței dintre două numere oarecare: $dist (a, b) = ∣ a - b ∣$ . Nu contează ordinea scăderii, pentru că $∣ a - b ∣ = ∣ b - a ∣$ . Exemplu: distanța dintre $- 3$ și $4$ este $∣4 - (- 3) ∣ = ∣7∣ = 7$ .

Reține și: ecuația $∣ x ∣ = d$ (cu $d > 0$ ) are exact două soluții, $x = d$ și $x = - d$ ; iar când comparăm „cine e mai departe de origine", ne uităm la module, nu la semnul numărului.

De reținut

$dist (a, b) = ∣ a - b ∣ = ∣ b - a ∣$
$∣ a ∣$ este distanța de la $a$ până la zero
$∣ x ∣ = d$ are două soluții pentru $d > 0$
distanța nu este niciodată negativă

Greșeala tipică

Se schimbă semnele înainte de scădere, ca și cum modulul s-ar aplica pe fiecare număr. Se calculează întâi diferența, cu semnele ei, și abia rezultatul intră între bare.

Exerciții din această mini-lecție

Care este distanța de la origine până la punctul $- 15$ de pe axa numerelor?
- a) $15$
- b) $- 15$
- c) $0$
- d) $30$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $15$

Distanța este modulul: $∣ - 15∣ = 15$ . Punctul $- 15$ se află la $15$ unități în stânga originii, iar o distanță este mereu pozitivă.
Câte soluții are ecuația $∣ x ∣ = 9$ și care sunt ele?
- a) O singură soluție, $x = 9$
- b) Două soluții, $x = 9$ și $x = - 9$
- c) O singură soluție, $x = - 9$
- d) Nicio soluție
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Două soluții, $x = 9$ și $x = - 9$

Numerele $9$ și $- 9$ sunt simetrice față de origine și amândouă sunt la distanța $9$ de $0$ , deci ambele verifică $∣ x ∣ = 9$ .
Care este distanța de la origine până la punctul $- 31$ de pe axa numerelor?
- a) $31$
- b) $21$
- c) $41$
- d) $- 31$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $31$

Distanța este modulul: $∣ - 31∣ = 31$ . O distanță este mereu pozitivă, deci nu poate fi $- 31$ .

Întrebări conexe

Cât este distanța dintre minus 3 și 4 pe axă?

Este 7 unități. Scazi cele două numere, $4 - (- 3) = 7$ , și iei modulul, care aici nu schimbă nimic. Numărând pe axă ajungi la același rezultat: trei pași până la zero și încă patru mai departe.

Ce numere se află la distanța 5 de numărul 2?

Două: unul la dreapta, $2 + 5 = 7$ , și altul la stânga, $2 - 5 = - 3$ . La orice distanță pozitivă față de un punct există exact două numere, așezate simetric față de el, iar scrierea cu modul le cuprinde pe amândouă.

Ce numere sunt la mai puțin de 2 unități de numărul 7?

Toate cele dintre 5 și 9, fără capete. Condiția se scrie $∣ x - 7∣ < 2$ și înseamnă un segment centrat în 7, lung de 4 unități. Marginile se află adunând și scăzând distanța la numărul din mijloc.

Care număr este mai departe de zero, minus 8 sau 5?

Primul, fiindcă modulul lui este 8, iar al celuilalt 5. Depărtarea nu ține seama de direcție, așa că un număr negativ poate fi mai depărtat de origine decât unul pozitiv, chiar dacă pe axă stă înaintea lui.

Cu cât s-a schimbat temperatura de la minus 4 la 6 grade?

Cu 10 grade, din $∣6 - (- 4) ∣ = 10$ . Aici modulul are un rost limpede: schimbarea se măsoară ca o distanță, iar ea rămâne 10 și dacă temperatura ar coborî înapoi de la 6 la $- 4$ .

Ce înseamnă modulul diferenței a două numere într-o problemă?

Înseamnă cât de mult se depărtează una de alta cele două valori, indiferent care este mai mare. Se folosește la abateri de la o valoare cerută, la diferențe de nivel, de temperatură sau de timp, unde contează mărimea, nu sensul.

Oamenii mai întreabă și: distanța dintre două numere pe axă · modulul ca distanță · modulul diferenței · câte unități sunt între două numere · distanța până la zero