Care dintre următoarele mulțimi este mulțimea vidă?

$$\{x \in \mathbb{N} \mid 6 < x < 7\}$$

$$\{x \in \mathbb{N} \mid x \le 0\}$$

$$\{x \in \mathbb{N} \mid x < 1\}$$

Ce este o mulțime în matematică?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Mulțimi: descriere și notații

Este o grupare de obiecte bine precizate, privite împreună ca un întreg; obiectele se numesc elemente. Mulțimile se scriu cu litere mari, iar elementele se trec între acolade, despărțite prin virgulă, ca în $A = {1, 2, 3}$ . Legătura dintre un element și mulțime se arată cu semnele de apartenență: $2 \in A$ , iar $5 \in / A$ . La enumerare ordinea nu contează, iar un element nu se repetă.

O mulțime este o colecție de obiecte bine determinate și distincte, privite ca un întreg; obiectele se numesc elemente. Notăm mulțimile cu litere mari ( $A$ , $B$ , ...) și scriem elementele între acolade, separate prin virgulă, de exemplu $A = {1, 2, 3}$ . Relația element–mulțime se exprimă prin $\in$ (aparține) și $\in /$ (nu aparține): $2 \in A$ , $5 \in / A$ .

O mulțime poate fi descrisă în trei moduri echivalente: enumerare ( $A = {1, 2, 3}$ ), proprietate caracteristică ( $A = {x ∣ x \in N, 1 \leq x \leq 3}$ , unde $∣$ se citește „astfel încât") și diagramă Venn-Euler (un oval cu elementele marcate prin puncte). La enumerare, ordinea nu contează și elementele nu se repetă.

Mulțimea vidă ∅ nu are niciun element; atenție, ${0} \neq = \emptyset$ , deoarece ${0}$ are exact un element, numărul 0.

Exemplu: ${x \in N ∣ x < 4} = {0, 1, 2, 3}$ .

De reținut

elementele se scriu între acolade, despărțite prin virgulă
$\in$ înseamnă aparține, $\in /$ înseamnă nu aparține
mulțimea vidă $\emptyset$ nu are elemente, iar ${0}$ are unul

Greșeala tipică

Se consideră că mulțimea care conține numărul zero este goală; ea are exact un element, pe zero, în timp ce mulțimea vidă nu conține absolut nimic, iar cardinalele lor sunt diferite.

Exerciții din această mini-lecție

Fie mulțimea descrisă prin proprietate caracteristică $B = {x \in N^{*} ∣ x < 6}$ . Care este scrierea prin enumerare a mulțimii $B$ ?
- a) ${0, 1, 2, 3, 4, 5}$
- b) ${1, 2, 3, 4, 5}$
- c) ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$
- d) ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) ${1, 2, 3, 4, 5}$

Simbolul $N^{*}$ înseamnă numerele naturale nenule, deci 0 nu intră în listă. Rămân numerele naturale nenule mai mici (strict) decât 6, adică $1, 2, 3, 4, 5$ . Numărul 6 nu se include, pentru că relația este „ $<$ 6", nu „ $\leq$ 6". Deci $B = {1, 2, 3, 4, 5}$ .
Care dintre următoarele mulțimi este mulțimea vidă?
- a) ${x \in N ∣ x \leq 0}$
- b) ${x \in N ∣ x < 1}$
- c) ${x \in N ∣ 6 < x < 7}$
- d) ${0}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) ${x \in N ∣ 6 < x < 7}$

Variantele a), b) și d) descriu toate aceeași mulțime, ${0}$ , care are un element (0), deci nu sunt vide. La varianta c) căutăm numere naturale strict între 6 și 7 — nu există niciun număr natural în acest interval (imediat după 6 urmează 7), deci ${x \in N ∣ 6 < x < 7} = \emptyset$ . Aceasta este mulțimea vidă.
Fie mulțimea descrisă prin proprietate caracteristică $C = {x \in N ∣ 2 < x \leq 7}$ . Care este scrierea prin enumerare a mulțimii $C$ ?
- a) ${2, 3, 4, 5, 6, 7}$
- b) ${3, 4, 5, 6, 7}$
- c) ${3, 4, 5, 6}$
- d) ${2, 3, 4, 5, 6}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) ${3, 4, 5, 6, 7}$

Semnul „ $<$ ” de lângă $2$ arată că $2$ nu se include, iar semnul „ $\leq$ ” de lângă $7$ arată că $7$ se include. Rămân numerele naturale $3, 4, 5, 6, 7$ , deci $C = {3, 4, 5, 6, 7}$ .

Întrebări conexe

Cum trec de la enumerare la proprietatea caracteristică?

Cauți regula pe care o respectă toate elementele scrise și o formulezi cu ajutorul unei condiții. Mulțimea ${0, 1, 2, 3}$ devine astfel mulțimea numerelor naturale mai mici decât $4$ . Descrierea prin proprietate este obligatorie când elementele sunt prea multe ca să fie scrise.

Ce înseamnă bara verticală din scrierea unei mulțimi?

Se citește astfel încât și desparte forma elementelor de condiția pe care trebuie să o respecte. În scrierea cu numere naturale mai mici decât patru, în stânga barei stă litera care ține locul elementului, iar în dreapta condiția pe care aceasta o îndeplinește.

Cum scriu mulțimea literelor unui cuvânt?

Treci fiecare literă o singură dată, chiar dacă în cuvânt apare de mai multe ori. Pentru cuvântul MAMA obții mulțimea cu literele M și A, deci două elemente. Repetarea nu adaugă nimic nou, fiindcă o mulțime reține doar elementele distincte.

Ce mulțimi se pot descrie doar prin proprietate, nu prin enumerare?

Cele infinite, cum sunt numerele naturale sau multiplii unui număr, fiindcă lista lor nu se termină niciodată. Se folosesc uneori puncte de suspensie, dar acestea sunt doar o prescurtare, iar descrierea sigură rămâne cea prin condiție.

Cum citesc cu voce tare scrierea trei aparține mulțimii A?

Se spune trei aparține lui A, iar semnul tăiat se citește nu aparține. Formularea leagă un element de mulțimea din care face parte. Pentru scrierea inversă, mulțimea conține elementul, sensul rămâne același, doar ordinea cuvintelor se schimbă.

De ce elementele unei mulțimi nu se repetă?

Pentru că o mulțime spune doar cine face parte din ea, nu și în câte exemplare. Scrierea cu repetări nu ar aduce nicio informație în plus, iar cardinalul ar deveni nesigur. Din același motiv, ordinea scrierii nu contează.

Oamenii mai întreabă și: ce este o mulțime · noțiunea de mulțime și element · cum se scrie o mulțime · acolade și elemente în matematică