Cu ce este egală complementara reuniunii, $$\complement(A\cup B)$$?

$$\complement A\cap\complement B$$

$$\complement A\cup\complement B$$

$$\complement A\setminus\complement B$$

Care este complementara lui [-2,5) față de ℝ?

Iei numerele reale care nu sunt în interval: cele mai mici decât -2 și cele cel puțin egale cu 5. Rezultatul este (-∞,-2)∪[5,+∞). Capătul -2 devine exclus, iar 5 devine inclus: tipul capetelor se inversează.

Cât este reuniunea (-∞,1]∪(0,4)?

Intervalele se suprapun pe (0,1], deci se lipesc într-unul singur. Reuniunea începe la -∞ și se oprește la 4, exclus, pentru că 4 nu aparține niciunuia: rezultatul este (-∞,4).

Cum se face diferența a două intervale?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a IX-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Operații cu intervale

Diferența $A ∖ B$ păstrează elementele lui $A$ care nu sunt în $B$ ; o citești pe axă, cu atenție la capete. Exemplu: $[0, 6] ∖ (3, 9) = [0, 3]$ , iar $3$ rămâne inclus, pentru că nu aparținea lui $(3, 9)$ . Dacă $B$ este în interiorul lui $A$ , rezultatul se rupe în două bucăți: $(1, 7) ∖ [2, 4] = (1, 2) \cup (4, 7)$ , cu $2$ și $4$ excluse, fiindcă ele aparțin lui $B$ .

La operațiile cu intervale desenul de pe axă hotărăște, iar toată grija se duce spre capete: un capăt ajunge în rezultat numai dacă el aparține fiecăreia dintre mulțimile pe care operația le cere.

La diferență, capătul care nu se afla în mulțimea scăzută rămâne unde era, cu tipul lui neschimbat: scoțând $(2, 8]$ din $[- 1, 5)$ obții $[- 1, 2]$ , cu $2$ inclus, tocmai pentru că $2$ lipsea din mulțimea scăzută.

Complementara se raportează mereu la o mulțime totală anunțată — la clasa a IX-a ea este $R$ , dacă enunțul nu spune altfel — și se notează $∁_{E} A = E ∖ A$ . Ea întoarce tipul capătului: inclus devine exclus și invers, în vreme ce $- \infty$ și $+ \infty$ rămân capete deschise. Dacă ți se cere raportarea la $N$ sau la $[0, 10]$ , treci mulțimea totală pe ciornă înainte de primul pas.

Legile lui De Morgan: complementarea preschimbă reuniunea în intersecție și intersecția în reuniune, exact ca negarea unui „sau” ori a unui „și”.

Produsul cartezian $A \times B$ adună perechile ordonate cu prima componentă luată din $A$ și a doua din $B$ ; are $card (A) \cdot card (B)$ elemente — o înmulțire, nu o adunare — și diferă de $B \times A$ .

De reținut

$A ∖ B$ : elementele lui $A$ care nu sunt în $B$
un capăt trece în rezultat doar dacă aparține fiecărei mulțimi cerute de operație
complementara inversează tipul capetelor; $\pm \infty$ rămân deschise

Greșeala tipică

Se scrie $[0, 6] ∖ (3, 9) = [0, 3)$ , excluzând $3$ din reflex; $3$ nu aparține lui $(3, 9)$ , deci rămâne în diferență, iar rezultatul este $[0, 3]$ .

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $[- 1, 5) \cap (2, 8]$ ?
- a) $(2, 5)$
- b) $[2, 5)$
- c) $(2, 5]$
- d) $[- 1, 8]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(2, 5)$

Intersecția păstrează doar ce e în amândouă: capătul $2$ e exclus din al doilea interval, iar $5$ e exclus din primul, deci amândouă capetele rămân deschise.
Cât este $[- 1, 5) ∖ (2, 8]$ ?
- a) $[- 1, 2)$
- b) $[- 1, 2]$
- c) $(- 1, 2]$
- d) $[- 1, 5)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $[- 1, 2]$

Scoți din primul interval elementele celui de-al doilea. Numărul $2$ nu aparținea mulțimii scăzute (capăt deschis), deci rămâne în rezultat, inclus. Varianta a) este greșeala clasică de capăt.
Cu ce este egală complementara reuniunii, $∁ (A \cup B)$ ?
- a) $∁ A \cup ∁ B$
- b) $∁ A \cap ∁ B$
- c) $A \cap B$
- d) $∁ A ∖ ∁ B$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $∁ A \cap ∁ B$

Prima lege a lui De Morgan: prin complementare, „sau” devine „și”. Verificarea durează zece secunde — ia $A$ și $B$ două intervale care acoperă toată dreapta: complementara reuniunii e vidă, iar reuniunea complementarelor nu este.

Întrebări conexe

Care este complementara lui $[- 2, 5)$ față de $R$ ?

Iei numerele reale care nu sunt în interval: cele mai mici decât $- 2$ și cele cel puțin egale cu $5$ . Rezultatul este $(- \infty, - 2) \cup [5, + \infty)$ . Capătul $- 2$ devine exclus, iar $5$ devine inclus: tipul capetelor se inversează.

Cât este reuniunea $(- \infty, 1] \cup (0, 4)$ ?

Intervalele se suprapun pe $(0, 1]$ , deci se lipesc într-unul singur. Reuniunea începe la $- \infty$ și se oprește la $4$ , exclus, pentru că $4$ nu aparține niciunuia: rezultatul este $(- \infty, 4)$ .

Câte numere naturale conține $[2, 5) \cup (7, 9]$ ?

În primul interval sunt $2$ , $3$ și $4$ , iar $5$ lipsește. În al doilea sunt $8$ și $9$ , iar $7$ lipsește. În total sunt $5$ numere naturale; un capăt schimbat ar modifica numărătoarea.

Cum scriu cu intervale temperaturile la care apa pură este lichidă?

La presiunea atmosferică normală apa pură este lichidă strict între $0$ °C și $100$ °C, deci intervalul este $(0, 100)$ . Complementara față de $R$ , adică $(- \infty, 0] \cup [100, + \infty)$ , reunește temperaturile la care apa nu mai este doar lichidă.

Când este vidă intersecția a două intervale?

Când unul se termină înainte să înceapă celălalt. De exemplu, $(- 1, 2) \cap [2, 5] = \emptyset$ , pentru că $2$ lipsește din primul. În schimb, $[- 1, 2] \cap [2, 5] = {2}$ , o mulțime cu un singur element, nu vidă.

Oamenii mai întreabă și: diferența a două intervale · A minus B la intervale · cum scad două intervale · diferența de mulțimi cu intervale