Mulțimi și intervale: operații și De Morgan (M2, științe ale naturii)

Un laborator cere ca proba să aibă pH-ul între $6,5$ și $7,5$, iar aparatul cu care se face citirea dă valori sigure numai între $7$ și $9$. Două condiții pe aceeași mărime, două intervale, și o singură întrebare practică: pentru ce valori ale pH-ului sunt îndeplinite amândouă și care sunt valorile care ratează măcar una? Răspunsul se dă cu intersecții, reuniuni și complementare de mulțimi — operațiile de care se ocupă lecția aceasta, din programa de clasa a IX-a pentru profilul științe ale naturii (M2). La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029 ele nu formează o cerință separată, ci sunt limbajul în care se scriu soluțiile la Subiectul I: o mulțime de soluții, o mulțime din care se alege un număr, o condiție de apartenență.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: operațiile cu intervale de numere reale și produsul cartezian, cu reprezentarea lui prin puncte, sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014) și nu mai apar în programa nouă a clasei a IX-a. Din gimnaziu ai reuniunea și intersecția intervalelor, de la intersecția intervalelor, iar perechile ordonate le-ai întâlnit la produsul cartezian a două mulțimi. Aici mergem mai departe: complementara, diferența și citirea produsului cartezian în plan.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi intersecția, reuniunea și diferența a două intervale, cu grijă la capetele deschise și închise.
• Vei ști să scrii complementara unei mulțimi de numere reale, chiar când ea iese o reuniune de două intervale.
• Vei ști să folosești legile lui De Morgan ca scurtătură, alegând drumul cu cele mai puține complementare.
• Vei ști să formezi produsul cartezian a două mulțimi, să-i numeri elementele și să vezi de ce ordinea contează.
• Vei ști să citești produsul cartezian în reperul cartezian, ca rețea de puncte sau ca dreptunghi plin.
• Vei ști să traduci două condiții pe aceeași mărime într-o intersecție sau într-o diferență de intervale.

Hai să descoperim împreună

1. Ce operații se fac cu două mulțimi?

Patru, dintre care primele trei îți sunt cunoscute: reuniunea $A\cup B$ adună elementele, intersecția $A\cap B$ le păstrează pe cele comune, iar diferența $A\setminus B$ ia din $A$ ce nu se află în $B$. A patra este cea care deschide lecția. Complementara mulțimii $A$ față de $E$ este mulțimea elementelor lui $E$ care nu aparțin lui $A$, cu condiția ca $A$ să fie inclusă în $E$:

$${\complement }_{E}A=\{x\in E\mid x\notin A\}=E\setminus A.$$

Mulțimea $E$ se numește mulțime totală și trebuie precizată de fiecare dată: complementara lui $\{1,2\}$ arată altfel față de $\{1,2,3\}$ decât față de mulțimea numerelor naturale. La clasa a IX-a mulțimea totală este aproape întotdeauna $\mathbb{R}$, iar notația se scurtează la ${\complement }_{\mathbb{R}}A$.

Două proprietăți se citesc direct din definiție și te scutesc de calcule: complementara complementarei redă mulțimea de la care ai pornit, iar o mulțime împreună cu complementara ei acoperă tot $E$, fără să aibă vreun element comun. Cu alte cuvinte, $A\cup {\complement }_{E}A=E$ și $A\cap {\complement }_{E}A=\varnothing$.

Diferența și complementara sunt rude apropiate, dar nu se confundă. Diferența $A\setminus B$ se poate scrie pentru orice două mulțimi, chiar dacă nu au nicio legătură între ele, pe când complementara cere ca mulțimea să fie inclusă în cea totală. În schimb, o dată fixată mulțimea totală, orice diferență devine o intersecție cu o complementară: $A\setminus B=A\cap {\complement }_{E}B$. Egalitatea aceasta e folositoare tocmai pentru că mută o operație mai puțin comodă, scăderea, în două operații cu reguli bine știute.

2. Cum se intersectează și cum se reunesc două intervale?

Desenând-le pe aceeași axă. Reprezinți fiecare interval printr-un segment, cu cerculeț gol la capătul deschis și plin la cel închis, apoi citești: intersecția e porțiunea acoperită de amândouă, reuniunea e porțiunea acoperită de măcar unul. Metoda e sigură pentru că nu cere să ții minte nicio regulă; toată atenția se duce în capete.

Fie $A=(-5,2]$ și $B=[0,6)$. Porțiunea comună începe în $0$, care aparține lui $B$ și, fiind mai mare decât $-5$, aparține și lui $A$; se termină în $2$, care aparține lui $A$ și, fiind mai mic decât $6$, aparține și lui $B$. Amândouă capetele intră, deci

$$(-5,2]\cap [0,6)=[0,2].$$

Pentru reuniune, segmentele se ating și se continuă unul pe celălalt, de la $-5$ exclus până la $6$ exclus:

$$(-5,2]\cup [0,6)=(-5,6).$$

Diferența cere ceva mai multă grijă. Din $A$ scoatem tot ce se află în $B$, adică tot ce e mai mare sau egal cu $0$; rămâne bucata dinaintea lui $0$, cu $0$ exclus, fiindcă $0$ era în $B$:

$$(-5,2]\setminus [0,6)=(-5,0).$$

Simetric, din $B$ scoatem ce se află în $A$, adică tot ce e mai mic sau egal cu $2$, și rămâne $[0,6)\setminus (-5,2]=(2,6)$. Observă că cele două diferențe nu coincid: diferența mulțimilor nu este comutativă.

3. Cum se scrie complementara unui interval?

Tot pe axă. Complementara este exact ce rămâne din dreapta reală după ce ștergi intervalul, iar capetele se inversează: un capăt deschis devine închis în complementară și invers, pentru că numărul respectiv trece dintr-o parte în alta.

$${\complement }_{\mathbb{R}}[-4,2)=(-\infty ,-4)\cup [2,+\infty ).$$

Numărul $-4$ era în mulțime, deci iese din complementară, iar $2$ nu era, deci intră. Regula funcționează și când pornești de la o reuniune de intervale: ștergi de pe axă toate bucățile și aduni ce a rămas, inversând fiecare capăt:

$${\complement }_{\mathbb{R}}\left((-\infty ,-1]\cup (3,5)\right)=(-1,3]\cup [5,+\infty ).$$

Capetele infinite nu se marchează niciodată cu paranteză dreaptă: $+\infty$ și $-\infty$ nu sunt numere reale, deci nu pot aparține unei mulțimi de numere reale. La mate-info, aceleași mulțimi apar mai târziu și dintr-un alt unghi. Pentru comparație, la mate-info (M1): mulțimea numerelor reale și mulțimile mărginite se studiază abia în clasa a 11-a, cu marginea superioară și cea inferioară, ca pregătire pentru analiza matematică.

4. Cum scurtez un calcul cu legile lui De Morgan?

Complementând, schimbi reuniunea cu intersecția și invers. Regulile le ai demonstrate, pentru propoziții, în regulile de negare și legile lui De Morgan, din traseul tău: negația unui „sau" este un „și", negația unui „și" este un „sau". Trecerea la mulțimi e o traducere cuvânt cu cuvânt, pentru că „$x\in A\cup B$" înseamnă „$x\in A$ sau $x\in B$":

$${\complement }_E(A\cup B)={\complement }_{E}A\cap {\complement }_{E}B,{\complement }_E(A\cap B)={\complement }_{E}A\cup {\complement }_{E}B.$$

Ce ne interesează aici este folosul lor practic la intervale: îți dau voie să alegi drumul cel mai scurt. Când mulțimea de complementat e o combinație complicată, complementezi bucățile simple și le recombini; când, dimpotrivă, combinația se simplifică întâi, faci întâi operația și complementezi o singură dată.

Iată alegerea, pe o pereche concretă: $A=[-2,3)$ și $B=(0,5]$. Drumul scurt trece prin intersecție, care se citește dintr-o privire pe axă, $[-2,3)\cap (0,5]=(0,3)$, și cere o singură complementară:

$${\complement }_{\mathbb{R}}(0,3)=(-\infty ,0]\cup [3,+\infty ).$$

Drumul lung cere două complementare și o reuniune de patru bucăți — ${\complement }_{\mathbb{R}}[-2,3)=(-\infty ,-2)\cup [3,+\infty )$ și ${\complement }_{\mathbb{R}}(0,5]=(-\infty ,0]\cup (5,+\infty )$ — care, alipite, dau tot $(-\infty ,0]\cup [3,+\infty )$. Aceeași mulțime, de două ori mai multă muncă. Regula de decizie e simplă: complementezi o singură dată, la capătul calculului, nu de fiecare dată pe parcurs.

5. Ce este produsul cartezian a două mulțimi?

Este mulțimea tuturor perechilor ordonate care se pot forma luând prima componentă din $A$ și a doua din $B$:

$$A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}.$$

Cuvântul „ordonate" e esențial și se vede cel mai bine pe un exemplu: perechea $(1,4)$ este alta decât $(4,1)$, chiar dacă amândouă folosesc aceleași două numere. De aceea $A\times B$ și $B\times A$ sunt mulțimi diferite ori de câte ori $A\ne B$, deși au același număr de elemente. Mai mult, produsul cartezian nu are nimic de-a face cu reuniunea sau cu intersecția: el nu amestecă elementele celor două mulțimi, ci le împerechează.

Numărul de elemente se obține prin înmulțire: dacă $A$ și $B$ sunt finite, atunci

$$\mathrm{card}(A\times B)=\mathrm{card}(A)\cdot \mathrm{card}(B),$$

pentru că fiecare alegere a primei componente se poate combina cu oricare alegere a celei de-a doua. Pentru $A=\{1,2,3\}$ și $B=\{0,5\}$ ies $3\cdot 2=6$ perechi, iar dacă una dintre mulțimi e vidă, nu se formează nicio pereche, deci produsul este $\varnothing$. Scrierea ordonată a perechilor — întâi toate cele care încep cu primul element al lui $A$, apoi toate cele care încep cu al doilea — e singura precauție de care ai nevoie ca să nu sari niciuna.

6. Cum se vede produsul cartezian în reperul cartezian?

Ca o mulțime de puncte. Când componentele sunt numere, fiecare pereche $(a,b)$ devine punctul de abscisă $a$ și ordonată $b$, iar $A\times B$ se desenează ca o rețea dreptunghiulară: pe fiecare verticală dusă printr-un element al lui $A$ stau atâtea puncte câte elemente are $B$. Pentru $A=\{1,2,3\}$ și $B=\{0,5\}$ se văd trei verticale cu câte două puncte — șase puncte așezate în două rânduri, nu împrăștiate la întâmplare.

Când $A$ și $B$ sunt intervale, rețeaua se îndesește până umple o suprafață. Produsul $[1,3]\times [2,4]$ este dreptunghiul plin cu vârfurile în $(1,2)$, $(3,2)$, $(3,4)$ și $(1,4)$, cu laturile incluse, pentru că ambele intervale sunt închise; dacă un capăt ar fi deschis, latura corespunzătoare ar fi punctată, adică exclusă. Lungimile laturilor sunt chiar lungimile intervalelor, aici $2$ și $2$. Așa se citește orice condiție dublă de forma „$x$ între două valori și $y$ între alte două valori": ea decupează din plan un dreptunghi.

Aceeași citire dă și cadranele, pe care le ai în reperul cartezian: axe, origine, cadrane, din traseul tău: cadranul I este $(0,+\infty )\times (0,+\infty )$, iar cadranul al IV-lea, $(0,+\infty )\times (-\infty ,0)$ — condițiile algebrice de acolo sunt exact capetele acestor intervale. O mulțime înrudită, care duce de data asta o mulțime de argumente într-una de valori, este imaginea printr-o funcție, tratată în funcții egale, restricții și imaginea unei mulțimi, lecția următoare din traseu.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cele patru operații pe aceleași intervale

Se consideră mulțimile $A=(-3,4]$ și $B=[1,7)$. Determinați $A\cap B$, $A\cup B$, $A\setminus B$ și $B\setminus A$.

Rezolvare. Reprezentăm ambele intervale pe aceeași axă și citim capetele:

$$(-3,4]\cap [1,7)=[1,4],(-3,4]\cup [1,7)=(-3,7),$$

$$(-3,4]\setminus [1,7)=(-3,1),[1,7)\setminus (-3,4]=(4,7).$$

Controlul se face pe un număr de probă din fiecare bucată: $2$ este în ambele mulțimi, deci trebuie să apară în intersecție; $-2$ este doar în $A$, deci în $A\setminus B$; $5$ este doar în $B$, deci în $B\setminus A$.

Exemplul 2 — Complementara unei reuniuni de intervale

Determinați ${\complement }_{\mathbb{R}}\left((-\infty ,0)\cup [4,6]\right)$.

Rezolvare. Ștergem de pe axă cele două bucăți. Rămâne intervalul dintre $0$ și $4$, cu $0$ inclus, pentru că nu aparținea primei mulțimi, și cu $4$ exclus, pentru că aparținea celei de-a doua; apoi rămâne tot ce urmează după $6$, fără $6$, care era inclus în $[4,6]$. Prin urmare

$${\complement }_{\mathbb{R}}\left((-\infty ,0)\cup [4,6]\right)=[0,4)\cup (6,+\infty ).$$

Exemplul 3 — Aceeași complementară, pe două drumuri

Se consideră $A=[-1,4)$ și $B=(2,6]$. Verificați egalitatea ${\complement }_{\mathbb{R}}(A\cup B)={\complement }_{\mathbb{R}}A\cap {\complement }_{\mathbb{R}}B$.

Rezolvare. Membrul stâng: $[-1,4)\cup (2,6]=[-1,6]$, iar ${\complement }_{\mathbb{R}}[-1,6]=(-\infty ,-1)\cup (6,+\infty )$.

Membrul drept: ${\complement }_{\mathbb{R}}[-1,4)=(-\infty ,-1)\cup [4,+\infty )$ și ${\complement }_{\mathbb{R}}(2,6]=(-\infty ,2]\cup (6,+\infty )$. Intersectăm cele două reuniuni, bucată cu bucată: din $(-\infty ,-1)$ și $(-\infty ,2]$ rămâne $(-\infty ,-1)$, din $[4,+\infty )$ și $(6,+\infty )$ rămâne $(6,+\infty )$, iar celelalte două perechi nu au puncte comune. Rezultatul este $(-\infty ,-1)\cup (6,+\infty )$, deci cele două membre coincid.

Exemplul 4 — Un produs cartezian scris și desenat

Se consideră $A=\{-2,0,3\}$ și $B=\{1,4\}$. Scrieți elementele lui $A\times B$, apoi ale lui $B\times A$, și descrieți cum arată cele două mulțimi de puncte în reperul cartezian.

Rezolvare. Luăm pe rând elementele lui $A$ și le împerechem cu fiecare element al lui $B$; ies $3\cdot 2=6$ perechi:

$$A\times B=\{(-2,1),(-2,4),(0,1),(0,4),(3,1),(3,4)\}.$$

Desenate, cele șase puncte stau pe trei verticale — $x=-2$, $x=0$ și $x=3$ — cu câte două puncte pe fiecare, la înălțimile $1$ și $4$. Schimbând ordinea mulțimilor obținem $B\times A=\{(1,-2),(1,0),(1,3),(4,-2),(4,0),(4,3)\}$: tot șase puncte, dar acum pe două verticale, cu câte trei puncte. Cele două rețele sunt simetrice una alteia față de prima bisectoare, iar nicio pereche nu se repetă — de aceea $A\times B\ne B\times A$, deși $\mathrm{card}(A\times B)=\mathrm{card}(B\times A)=6$.

Exemplul 5 — Două condiții pe aceeași mărime

Un buletin de analize consideră normală o valoare a hemoglobinei din intervalul $[12,16]$, măsurată în grame pe decilitru, iar pentru donarea de sânge se cere o valoare de cel puțin $13$. Determinați intervalul valorilor normale care permit donarea, apoi intervalul valorilor normale care nu o permit.

Rezolvare. Prima condiție dă mulțimea $N=[12,16]$, a doua mulțimea $D=[13,+\infty )$. Valorile bune pentru amândouă sunt cele din intersecție; pe axă, porțiunea comună începe în $13$, care aparține ambelor, și se termină în $16$:

$$[12,16]\cap [13,+\infty )=[13,16].$$

Valorile normale care nu permit donarea sunt cele din $N$ scăpate de a doua condiție, adică diferența; capătul $13$ iese, fiindcă el aparținea lui $D$:

$$[12,16]\setminus [13,+\infty )=[12,13).$$

Cele două rezultate acoperă împreună tot intervalul normal, fără să se suprapună — semn că nu s-a pierdut și nu s-a numărat de două ori nicio valoare.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră mulțimile $A=\{x\in \mathbb{R}\mid |x-1|\le 3\}$ și $B=\{x\in \mathbb{R}\mid 2x-3>1\}$. a) Arătați că $A=[-2,4]$. b) Determinați $A\cap B$. c) Determinați ${\complement }_{\mathbb{R}}(A\cup B)$.

Rezolvare. a) Inegalitatea cu modul $|x-1|\le 3$ este echivalentă cu $-3\le x-1\le 3$, adică $-2\le x\le 4$, folosind regulile din modulul unui număr real. Deci $A=[-2,4]$.

b) Din $2x-3>1$ rezultă $x>2$, deci $B=(2,+\infty )$. Intersecția păstrează numerele mai mari decât $2$ și cel mult egale cu $4$:

$$[-2,4]\cap (2,+\infty )=(2,4].$$

c) Reuniunea acoperă tot de la $-2$ înainte, pentru că cele două mulțimi se suprapun: $[-2,4]\cup (2,+\infty )=[-2,+\infty )$. Rămâne

$${\complement }_{\mathbb{R}}[-2,+\infty )=(-\infty ,-2).$$

Să exersăm

Lucrează de fiecare dată pe o axă desenată, nu din memorie: capetele sunt singura sursă reală de greșeli. Marchează cu cerculeț gol capătul deschis și cu cerculeț plin pe cel închis, apoi verifică rezultatul pe un număr de probă. La produsul cartezian, scrie perechile în ordine, ca să nu pierzi niciuna.

1. Scrie ca interval mulțimea numerelor reale care sunt în același timp mai mari decât $-4$ și cel mult egale cu $3$, apoi determină complementara ei față de $\mathbb{R}$.

2. Determină $(-\infty ,2]\cap \left([-5,0)\cup (1,6]\right)$.

3. Determină ${\complement }_{\mathbb{R}}[-1,5)$.

4. Determină ${\complement }_{\mathbb{R}}(-\infty ,3]$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice mulțimi $A$ și $B$ are loc ${\complement }_{\mathbb{R}}(A\cap B)={\complement }_{\mathbb{R}}A\cap {\complement }_{\mathbb{R}}B$."

6. Pentru $A=\{1,2\}$ și $B=\{3,4,5\}$, scrie elementele lui $A\times B$ și precizează $\mathrm{card}(A\times B)$.

7. Se consideră $A=\{0,2\}$ și $B=\{-1,1,3\}$. Scrie elementele lui $A\times B$ și precizează câte dintre punctele corespunzătoare au ordonata pozitivă.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră mulțimile $A=\{x\in \mathbb{R}\mid |x+2|<5\}$ și $B=[0,10]$. a) Arată că $A=(-7,3)$. b) Determină $A\cap B$.

9. Determină ${\complement }_{\mathbb{R}}\left([-5,-1)\cup [2,6]\right)$.

10. (Problemă aplicată.) Într-o seră, o plantă crește dacă temperatura, în grade Celsius, se află în intervalul $[18,26]$, iar instalația de climatizare poate menține numai temperaturile din $[20,30]$. Determină intervalul temperaturilor la care planta crește și instalația poate lucra, apoi intervalul temperaturilor bune pentru plantă pe care instalația nu le poate atinge.

11. Verifică legea lui De Morgan pentru reuniune, luând $A=(-\infty ,2]$ și $B=[0,+\infty )$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră mulțimile $A=\{-1,0,1\}$ și $B=\{2,3\}$. a) Determină $\mathrm{card}(A\times B)$. b) Determină câte perechi din $A\times B$ au ambele componente nenule.

13. Pentru $A=[2,6]$ și $B=[4,9]$, determină $A\cap B$, $A\setminus B$ și apoi $(A\cup B)\setminus (A\cap B)$.

14. Explică în două-trei fraze de ce, pentru două mulțimi nevide și diferite, $A\times B$ și $B\times A$ nu coincid.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră mulțimile $A=[-1,3]$ și $B=[0,2]$. a) Determină $A\cap B$ și $A\cup B$. b) Arată că punctele produsului cartezian $A\times B$ umplu un dreptunghi și precizează lungimile laturilor lui.

16. Scrie prin enumerare mulțimea $A=\{x\in \mathbb{Z}\mid -3\le x<4\}$ și precizează câte elemente are.

17. Scrie ca reuniune de intervale mulțimea $\{x\in \mathbb{R}\mid |x|\ge 3\}$.

18. (Provocare.) Se consideră $A=(-\infty ,m]$ și $B=[2,+\infty )$, unde $m$ este număr real. Determină valorile lui $m$ pentru care $A\cap B$ are exact un element și, separat, valorile pentru care $A\cup B=\mathbb{R}$.

Răspunsuri și explicații

1. Condiția „mai mare decât $-4$ și cel mult $3$" dă intervalul $(-4,3]$, cu capătul din stânga exclus și cel din dreapta inclus. Complementara inversează capetele: ${\complement }_{\mathbb{R}}(-4,3]=(-\infty ,-4]\cup (3,+\infty )$.

2. Intersectăm cu fiecare bucată în parte: $(-\infty ,2]\cap [-5,0)=[-5,0)$, pentru că toată bucata e sub $2$, iar $(-\infty ,2]\cap (1,6]=(1,2]$. Cele două rezultate nu se ating, deci răspunsul rămâne scris ca reuniune: $[-5,0)\cup (1,2]$.

3. ${\complement }_{\mathbb{R}}[-1,5)=(-\infty ,-1)\cup [5,+\infty )$. Capetele se inversează: $-1$ era inclus și iese, $5$ era exclus și intră.

4. ${\complement }_{\mathbb{R}}(-\infty ,3]=(3,+\infty )$.

5. Fals. De Morgan schimbă operația: complementara intersecției este reuniunea complementarelor, nu intersecția lor. Un contraexemplu rapid: pentru $A=(-\infty ,0]$ și $B=[0,+\infty )$, membrul stâng este ${\complement }_{\mathbb{R}}\{0\}$, adică tot $\mathbb{R}$ fără un punct, în timp ce ${\complement }_{\mathbb{R}}A\cap {\complement }_{\mathbb{R}}B=(0,+\infty )\cap (-\infty ,0)=\varnothing$.

6. $A\times B=\{(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)\}$, deci $\mathrm{card}(A\times B)=2\cdot 3=6$.

7. $A\times B=\{(0,-1),(0,1),(0,3),(2,-1),(2,1),(2,3)\}$, adică $2\cdot 3=6$ perechi. Ordonata este a doua componentă, deci sunt pozitive la $(0,1)$, $(0,3)$, $(2,1)$ și $(2,3)$: patru puncte din șase.

8. a) $|x+2|<5$ înseamnă $-5<x+2<5$, deci $-7<x<3$ și $A=(-7,3)$. b) $(-7,3)\cap [0,10]=[0,3)$.

9. Ștergem de pe axă cele două bucăți și inversăm fiecare capăt; rămân trei porțiuni: ${\complement }_{\mathbb{R}}\left([-5,-1)\cup [2,6]\right)=(-\infty ,-5)\cup [-1,2)\cup (6,+\infty )$.

10. Prima mulțime este $[18,26]$, a doua $[20,30]$. Temperaturile bune pentru amândouă sunt cele din intersecție, $[18,26]\cap [20,30]=[20,26]$. Temperaturile bune pentru plantă, dar inaccesibile instalației, sunt cele din diferență, $[18,26]\setminus [20,30]=[18,20)$ — capătul $20$ iese, fiindcă instalația îl poate menține.

11. Reuniunea acoperă toată dreapta, $(-\infty ,2]\cup [0,+\infty )=\mathbb{R}$, deci complementara ei este $\varnothing$. Pe cealaltă cale, ${\complement }_{\mathbb{R}}(-\infty ,2]=(2,+\infty )$ și ${\complement }_{\mathbb{R}}[0,+\infty )=(-\infty ,0)$, iar intersecția lor este vidă, cele două bucăți neavând niciun punct comun. Legea se confirmă.

12. a) $\mathrm{card}(A\times B)=3\cdot 2=6$. b) Prima componentă trebuie luată din $\{-1,1\}$, adică în $2$ moduri, a doua din $\{2,3\}$, tot în $2$ moduri; sunt $4$ perechi.

13. $[2,6]\cap [4,9]=[4,6]$ și $[2,6]\setminus [4,9]=[2,4)$. Reuniunea este $[2,9]$, iar scoțând din ea intersecția rămâne $[2,4)\cup (6,9]$ — mulțimea elementelor care sunt exact într-una dintre cele două mulțimi.

14. Elementele produsului cartezian sunt perechi ordonate, în care contează pe ce loc stă fiecare număr. Dacă $a$ este un element al lui $A$ care nu se află în $B$, atunci perechea $(a,b)$ apare în $A\times B$, dar în $B\times A$ prima componentă trebuie luată din $B$, deci nicio pereche de acolo nu poate începe cu $a$. Cele două mulțimi au același număr de elemente, dar nu aceleași elemente.

15. a) $[-1,3]\cap [0,2]=[0,2]$, adică chiar $B$, fiindcă $B$ este inclus în $A$; $[-1,3]\cup [0,2]=[-1,3]$, adică $A$. b) Perechile $(x,y)$ cu $x\in [-1,3]$ și $y\in [0,2]$ acoperă dreptunghiul cu vârfurile $(-1,0)$, $(3,0)$, $(3,2)$ și $(-1,2)$, cu tot cu laturi, ambele intervale fiind închise. Latura orizontală măsoară $3-(-1)=4$, iar cea verticală $2-0=2$.

16. $A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$, adică $7$ elemente. Capătul $-3$ intră, fiindcă inegalitatea este nestrictă, iar $4$ nu intră.

17. Condiția $|x|\ge 3$ înseamnă $x\le -3$ sau $x\ge 3$, deci mulțimea este $(-\infty ,-3]\cup [3,+\infty )$.

18. Intersecția este $[2,m]$ când $m\ge 2$ și vidă altfel. Ea are exact un element numai dacă cele două capete coincid, adică $m=2$, caz în care intersecția este $\{2\}$. Pentru reuniune, $(-\infty ,m]\cup [2,+\infty )$ acoperă toată dreapta exact când nu rămâne nicio gaură între $m$ și $2$, adică atunci când $m\ge 2$.

De reținut

• Complementara unei mulțimi se ia întotdeauna față de o mulțime totală precizată, iar la clasa a IX-a aceasta este de regulă $\mathbb{R}$; se scrie ${\complement }_{E}A=E\setminus A$.
• La operațiile cu intervale, rezultatul se citește pe axă, iar toată atenția se duce în capete: un capăt trece în rezultat numai dacă aparține fiecăreia dintre mulțimile cerute de operație.
• Complementarea inversează tipul capătului: un capăt inclus devine exclus și invers, iar $-\infty$ și $+\infty$ rămân mereu capete deschise.
• Legile lui De Morgan spun că, prin complementare, reuniunea devine intersecție și intersecția devine reuniune — aceeași regulă ca la negarea unui „sau" sau a unui „și".
• Produsul cartezian $A\times B$ este mulțimea perechilor ordonate cu prima componentă din $A$ și a doua din $B$; el are $\mathrm{card}(A)\cdot \mathrm{card}(B)$ elemente și nu coincide cu $B\times A$.

Greșeli frecvente

• Capătul inclus scăpat la diferență. Din $[-1,5)$ se scoate $(2,8]$ și se scrie $[-1,2)$, deși $2$ nu aparținea mulțimii scăzute, deci rămâne în rezultat. Regula de control: un capăt care nu era în mulțimea din care scazi rămâne pe loc, cu tipul lui neschimbat.
• De Morgan aplicată fără schimbarea operației. Se scrie complementara unei reuniuni ca reuniune de complementare. Verificarea durează zece secunde, pe un exemplu mic: cu $A$ și $B$ două intervale care acoperă toată dreapta, complementara reuniunii este vidă, pe când reuniunea complementarelor nu este.
• Complementara luată față de altă mulțime decât cea din enunț. Când problema spune „față de $\mathbb{N}$" sau „față de $[0,10]$", se lucrează din obișnuință față de $\mathbb{R}$ și rezultatul iese cu bucăți care nu aveau ce căuta acolo. Scrie mulțimea totală pe ciornă înainte de a începe.
• Perechea ordonată scrisă invers. La $A\times B$ se notează $(b,a)$ în loc de $(a,b)$, fiindcă „așa a ieșit din tabel". Prima componentă vine întotdeauna din prima mulțime; altfel ai scris, de fapt, elementele lui $B\times A$, care e altă mulțime.
• Cardinalul produsului cartezian obținut prin adunare. Pentru $A$ cu trei elemente și $B$ cu două se scrie $3+2=5$ perechi, în loc de $3\cdot 2=6$. Verificarea e imediată: desenează rețeaua, cu o verticală pentru fiecare element al lui $A$, și numără punctele de pe o verticală.

Aplică acasă

1. Intervalul bun al unei probe de laborator. Alege din manualul de chimie sau de biologie o mărime pentru care se dau două condiții diferite — de pildă temperatura la care o enzimă rămâne activă, între $35$ și $40$ de grade după o sursă și între $37$ și $42$ după alta. Desenează cele două intervale pe aceeași axă și determină intersecția, reuniunea și complementara intersecției. Scrie, în limbaj obișnuit, ce înseamnă fiecare dintre cele trei mulțimi pentru experiment.

2. Tabla produsului cartezian. Ia două mulțimi finite cu trei, respectiv patru elemente și scrie produsul lor cartezian sub forma unui tabel cu trei rânduri și patru coloane, cu perechea potrivită în fiecare căsuță. Numără căsuțele și compară cu formula cardinalului. Apoi schimbă rolurile mulțimilor și spune ce se schimbă în tabel.

3. De la rețea la dreptunghi. Cu un program de geometrie dinamică (GeoGebra sau Desmos), marchează punctele produsului cartezian $\{1,2,3,4\}\times \{1,2,3\}$ și numără-le. Adaugă apoi, pas cu pas, tot mai multe valori între cele întregi — jumătăți, sferturi, zecimi — și privește cum rețeaua se îndesește. La capăt, hașurează dreptunghiul $[1,4]\times [1,3]$ și scrie, într-o propoziție, ce s-a schimbat când mulțimile finite au devenit intervale.

Pentru părinți și profesori

Tema pare ușoară și este, la nivelul ideilor; dificultatea ei reală stă în capete. Un elev care înțelege perfect ce înseamnă intersecția poate pierde un punct scriind un cerculeț plin în loc de unul gol, iar la examen diferența dintre $[0,3)$ și $[0,3]$ este diferența dintre răspuns corect și răspuns greșit. De aceea toată lecția insistă pe desenul de pe axă și pe verificarea cu un număr de probă — două deprinderi care se formează în câteva ore și țin toată viața de liceu. Partea a doua, produsul cartezian, e prima ocazie în care o mulțime nu mai are ca elemente numere, ci perechi de numere; e util ca acasă să se ceară scrierea completă a perechilor, cu voce tare, „prima componentă din $A$, a doua din $B$", până când ordinea devine reflexă.

De urmărit în caiet, în ordinea în care apar greșelile: intervalele au fost desenate înainte de a scrie rezultatul; fiecare capăt a fost argumentat separat; mulțimea totală a fost precizată la complementară; perechile produsului cartezian au prima componentă din prima mulțime; cardinalul s-a obținut prin înmulțire, nu prin adunare. Întrebări de control, formulate în limbajul lecției: „De ce se schimbă tipul capătului la complementară?"; „Cum alegi drumul mai scurt când ai de complementat o reuniune?"; „Câte elemente are produsul cartezian a două mulțimi cu patru și cu cinci elemente?"; „Ce figură obții când înmulțești cartezian două intervale închise?". Semn că elevul a înțeles: își verifică singur rezultatul cu un număr de probă, fără să i se ceară.

Programa și examenul. Suplimentul de examen al lecției este format din două rânduri ale programei de bacalaureat M2 în vigoare pentru sesiunile 2027–2029 (OMEN 4430/2014, clasa a IX-a): „operații cu intervale de numere reale", din capitolul „Mulțimi și elemente de logică matematică", și „reper cartezian, produs cartezian; reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulțimi numerice", din capitolul „Funcții; lecturi grafice". Ele nu mai apar în programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027. Restul noțiunilor folosite aici sunt deja pe traseul tău: legile lui De Morgan vin din capitolul de logică al anexei 28, iar cadranele, din geometria analitică a aceleiași programe — de aceea ele se citează, nu se predau din nou. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029. Acolo tema nu formează o cerință separată: în modelul oficial pentru sesiunea 2026, mulțimile apar ca limbaj de lucru — cerința a treia se rezolvă „în mulțimea numerelor reale", iar cerința a patra alege un număr „din mulțimea numerelor naturale de două cifre". Elevii care au intrat în clasa a IX-a în 2026 dau Bacalaureatul 2030, proba MAT_P2, unde mulțimile și intervalele rămân limbajul domeniului Algebră. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a IX-a în programa de examen din 2014.

Întrebări frecvente

Cum se face intersecția a două intervale? Le desenezi pe aceeași axă și păstrezi porțiunea acoperită de amândouă. Un capăt intră în rezultat numai dacă aparține fiecăruia dintre cele două intervale. De exemplu, $[-4,1)\cap (-2,5]=(-2,1)$: capătul $-2$ lipsește, fiindcă nu e în al doilea interval, iar $1$ lipsește, fiindcă nu e în primul.

Ce este complementara unei mulțimi? Este mulțimea elementelor din mulțimea totală care nu aparțin mulțimii date, notată ${\complement }_{E}A$ și egală cu $E\setminus A$. Mulțimea totală trebuie precizată de fiecare dată; la clasa a IX-a ea este de obicei $\mathbb{R}$. Capetele se inversează: cele incluse devin excluse și invers.

Care sunt legile lui De Morgan pentru mulțimi? Sunt două: complementara unei reuniuni este intersecția complementarelor, iar complementara unei intersecții este reuniunea complementarelor. Ele sunt aceleași reguli de negare a lui „sau" și a lui „și" pe care le ai din logica matematică, scrise cu mulțimi. La intervale se folosesc ca scurtătură: complementezi o singură dată, la capătul calculului.

Se învață operațiile cu mulțimi și la M1, și la M2? Ce diferă? La științe ale naturii (M2), operațiile cu intervale de numere reale și produsul cartezian sunt materie de clasa a IX-a, cerută de programa de bacalaureat M2 pentru sesiunile 2027–2029. La matematică-informatică (M1), programa insistă pe partea de logică — propoziții, cuantificatori, negări — iar mulțimile de numere reale revin abia în clasa a 11-a, cu marginea superioară și cea inferioară.

La ce subiect apar mulțimile și intervalele la bacalaureatul M2? La Subiectul I, dar nu ca cerință de sine stătătoare, ci ca limbaj. În modelul oficial pentru sesiunea 2026, cerința a treia cere rezolvarea unei ecuații „în mulțimea numerelor reale", iar cerința a patra alege un număr „din mulțimea numerelor naturale de două cifre". Mulțimile apar deci în enunț și în scrierea răspunsului, nu ca temă separată.

Cum arată produsul cartezian a două intervale? Ca un dreptunghi plin din plan. Produsul $[1,3]\times [2,4]$ este mulțimea punctelor cu abscisa între $1$ și $3$ și ordonata între $2$ și $4$, adică dreptunghiul cu vârfurile $(1,2)$, $(3,2)$, $(3,4)$ și $(1,4)$. Capetele închise înseamnă laturi incluse; un capăt deschis lasă latura respectivă în afară.

Cum se numără elementele unui produs cartezian? Se înmulțesc numerele de elemente ale celor două mulțimi: $\mathrm{card}(A\times B)=\mathrm{card}(A)\cdot \mathrm{card}(B)$. Motivul este că fiecare alegere a primei componente se poate combina cu oricare alegere a celei de-a doua. Pentru $A$ cu trei elemente și $B$ cu două rezultă șase perechi ordonate.

Cum scriu un cadran ca produs cartezian? Ca produsul a două intervale nemărginite: cadranul I este $(0,+\infty )\times (0,+\infty )$, al II-lea $(-\infty ,0)\times (0,+\infty )$, al III-lea $(-\infty ,0)\times (-\infty ,0)$, al IV-lea $(0,+\infty )\times (-\infty ,0)$. Condițiile algebrice pe coordonate sunt chiar capetele acestor intervale și le găsești în lecția despre reperul cartezian, axe, origine și cadrane.