Lecția pe scurt · clasa a X-a · Numere complexe: puteri P și Q

Cum adun puterea activă și cea reactivă?

Scrii fiecare receptor ca $S = P + Q i$ și aduni separat părțile reale și pe cele imaginare. Partea reală $P$ este puterea activă (kW), iar partea imaginară $Q$ este puterea reactivă (kvar). Exemplu: $(12, 5 + 3, 1 i) + (4, 6 + 3, 4 i) + (1, 9 - 0, 5 i) = 19 + 6 i$ , adică $P = 19$ kW și $Q = 6$ kvar. Proba: refaci fiecare coloană cu termenii în altă ordine și obții aceleași sume.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Numărul complex $z = a + bi$ are partea reală $a$ și partea imaginară $b$ , ambele reale, iar $i$ este numărul al cărui pătrat este $- 1$ . Dacă $b = 0$ , numărul este real. Îl folosești oricând o mărime vine în două componente care nu se amestecă, cum sunt puterea activă și cea reactivă a unui receptor, deplasarea spre est și spre nord sau cele două citiri ale unui analizor de vibrații.

La adunare și la scădere lucrezi separat cu părțile reale și separat cu cele imaginare. Un număr real înmulțește ambele părți. Produsul a două numere complexe se face ca produsul a două paranteze, apoi $i^{2}$ se înlocuiește cu $- 1$ : $(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i$ . La pătrat nu uita dublul produsului. Egalitatea a două numere complexe înseamnă coincidența părților reale și coincidența părților imaginare.

Șirul $i, i^{2}, i^{3}, i^{4}, \dots$ reia mereu aceleași patru valori: $i$ , $- 1$ , $- i$ , $1$ . Pentru $i^{n}$ împarți $n$ la 4 și iei în calcul numai restul. Trei greșeli revin des: aduni partea reală cu cea imaginară, pierzi semnul unei părți imaginare negative și scrii pătratul fără termenul cu $i$ .

Verifici pe alt drum: refaci suma cu termenii în altă ordine sau compari ordinul de mărime al produsului cu cel al factorilor. Rezultatul îl scrii cu partea reală prima, apoi cu cea imaginară, fiecare cu unitatea ei, dacă are una.

De reținut

$(a + bi) \pm (c + d i) = (a \pm c) + (b \pm d) i$
puterea activă este partea reală, iar cea reactivă este partea imaginară
$i^{4} = 1$ , deci exponentul lui $i$ se reduce la restul împărțirii la $4$

Greșeala tipică

Se adună partea reală cu cea imaginară, deci $10 + 4 i$ ajunge să fie scris $14$ . Corect, kW și kvar rămân în coloane separate, iar rezultatul se scrie sub forma $a + bi$ .

Exerciții din această mini-lecție

Pe o masă rotativă dintr-un atelier de prelucrări, fiecare comandă o rotește cu un sfert de tură, iar poziția reperului, scrisă ca număr complex, se înmulțește cu $i$ . La început reperul are poziția $1$ . Care este poziția lui după $38$ de comenzi?
- a) $- 1$
- b) $1$
- c) $i$
- d) $- i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- 1$

După $38$ de comenzi poziția este $i^{38}$ . Cum $38 = 4 \cdot 9 + 2$ , restul este $2$ , deci $i^{38} = i^{2} = - 1$ . Varianta $i$ ia câtul $9$ drept exponent ( $i^{9} = i$ ), varianta $- i$ împarte $38$ la $2$ ( $i^{19} = - i$ ), iar varianta $1$ tratează $38$ ca pe un multiplu de $4$ .
Un topograf notează fiecare deplasare ca număr complex: metrii spre est sunt partea reală, metrii spre nord partea imaginară. Parcurge pe rând deplasările $18 + 7 i$ , $- 5 + 12 i$ și $9 - 20 i$ . Ce număr descrie deplasarea totală față de punctul de plecare?
- a) $22 + 39 i$
- b) $22 - i$
- c) $4 + 39 i$
- d) $21$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $22 - i$

Părțile reale se adună între ele: $18 - 5 + 9 = 22$ . Părțile imaginare la fel: $7 + 12 - 20 = - 1$ . Deplasarea totală este $22 - i$ . Varianta $22 + 39 i$ pierde minusul din $- 20$ , varianta $4 + 39 i$ scade al treilea număr în loc să-l adune, iar varianta $21$ adună $22$ cu $- 1$ , adică părțile reală și imaginară.
Câștigul complex al amplificatorului din sistemul audio al unei mașini este $5 - 2 i$ , iar semnalul de intrare se scrie $3 + 4 i$ (mV). Ieșirea este produsul celor două numere. Care este ieșirea?
- a) $7 + 14 i$
- b) $15 - 8 i$
- c) $23 + 14 i$
- d) $15 + 14 i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $23 + 14 i$

$(5 - 2 i) (3 + 4 i) = 15 + 20 i - 6 i - 8 i^{2} = 15 + 8 + 14 i = 23 + 14 i$ . Varianta $7 + 14 i$ înlocuiește $i^{2}$ cu $1$ în loc de $- 1$ și scade $8$ în loc să-l adune. Varianta $15 - 8 i$ înmulțește parte reală cu parte reală și parte imaginară cu parte imaginară. Varianta $15 + 14 i$ uită produsul $(- 2 i) (4 i)$ .

Întrebări conexe

Cum trec în bilanț un receptor cu condensator?

Îi pui semnul minus la partea imaginară și îl aduni ca pe oricare altul. Un tablou cu $7, 2 + 2, 8 i$ kVA, la care se adaugă un corp de iluminat cu $1, 4 - 0, 6 i$ kVA, ajunge la $8, 6 + 2, 2 i$ kVA: partea reactivă scade, fiindcă $2, 8 - 0, 6 = 2, 2$ .

De ce nu pot aduna direct kW cu kvar?

Cele două puteri au unități și efecte diferite: $P$ face lucru util, iar $Q$ doar încarcă rețeaua. Pentru $10 + 4 i$ nu scrii $14$ , ci păstrezi cele două părți. Numărul complex le ține separate, iar un singur total ar amesteca două mărimi care nu se compară.

Cum înmulțesc un număr complex cu unul real?

Înmulțești ambele părți cu numărul real, fiecare separat. Pentru $1, 5 (8 + 6 i)$ obții $1, 5 \cdot 8 + 1, 5 \cdot 6 i = 12 + 9 i$ . Semnul numărului real se aplică la ambele părți: $- 2 (8 + 6 i) = - 16 - 12 i$ . Proba: împarți $12 + 9 i$ la $1, 5$ și regăsești $8 + 6 i$ .

Cum aplic un factor de simultaneitate?

Înmulțești tot numărul complex, adică ambele părți. Pentru patru receptoare identice cu $5, 5 + 2, 1 i$ kVA, la un factor de $0, 75$ , obții $4 \cdot 0, 75 \cdot (5, 5 + 2, 1 i) = 16, 5 + 6, 3 i$ . Dacă înmulțești numai partea reală, partea reactivă iese prea mare.

Ce fac dacă puterile sunt date în W și în var?

Le treci în kW și kvar înainte să aduni, împărțind la $1000$ . Valorile $3200$ W și $1800$ var devin $3, 2$ kW și $1, 8$ kvar, adică $3, 2 + 1, 8 i$ kVA. Dacă lași o putere în wați și alta în kilowați, una dintre părți iese de o mie de ori prea mare sau prea mică.

Cum ridic la pătrat un număr complex?

Folosești $(a + bi)^{2} = (a^{2} - b^{2}) + 2 abi$ , cu tot cu dublul produsului. Pentru $5 + 2 i$ obții $25 - 4 + 20 i = 21 + 20 i$ . Cine scrie numai $a^{2} + b^{2} i^{2}$ pierde partea imaginară $20 i$ , iar rezultatul $21$ rămâne incomplet, chiar dacă partea reală a ieșit corect.

Oamenii mai întreabă și: putere activă și reactivă ca număr complex · bilanț de puteri cu numere complexe · cum scriu P și Q într-un singur număr · calculul puterilor totale ale unui tablou