Numere complexe: forma algebrică, liceu tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Un electrician care compensează energia reactivă a unei hale ține socoteala a două puteri pentru fiecare receptor, cea activă și cea reactivă, și le scrie împreună ca un singur număr complex. Bilanțul acesta e punctul de plecare: în clasa a X-a, ca elev de tehnologic, înveți de aici forma algebrică, adunarea, scăderea și înmulțirea numerelor complexe. Numerele complexe au fost cerute în trei dintre probele Bacalaureatului M3 (M_tehnologic) din 2013–2026 și figurează în programa de examen.

Situația de pornire

Hala de ambalare a unei fabrici de conserve are un tablou electric general. Contractul cu furnizorul prevede o penalizare când raportul dintre puterea reactivă și cea activă trece de 0,4 (valoare din exemplu). Electricianul preia instalația și vrea să știe dacă hala plătește energie reactivă. La fiecare plecare din tablou, el măsoară cu un analizor de rețea puterea activă $P$ , în kW, care produce lucru util, și puterea reactivă $Q$ , în kvar, care doar încarcă rețeaua. Un receptor cu rezistențe încălzește fără putere reactivă, iar un corp de iluminat cu condensator poate avea putere reactivă negativă. Bateria de condensatoare se comandă în trepte de 2,5 kvar.

Receptor	Putere activă P (kW)	Putere reactivă Q (kvar)
compresor de aer	7,4	6,9
bandă transportoare	3,1	2,9
mașină de sigilat folie, cu rezistențe	4,2	0
iluminat LED	2,2	−0,3

Întrebare: care sunt puterile totale ale halei, ce raport dintre puterea reactivă și cea activă rezultă și câte trepte de condensatoare îl coboară sub 0,4?

De la situație la model

Fiecare receptor are două puteri, deci îl scrii ca număr complex $S = P + Q i$ , în kVA: numărul $P$ e partea reală, iar $Q$ partea imaginară. Compresorul este $7, 4 + 6, 9 i$ , iar iluminatul LED este $2, 2 - 0, 3 i$ . Tabelul traduce restul.

În situație	În matematică
un receptor, cu puterea activă și cea reactivă	numărul complex $S = P + Q i$ , în kVA
puterea activă $P$ , în kW	partea reală a lui $S$
puterea reactivă $Q$ , în kvar	partea imaginară a lui $S$ (negativă la un receptor capacitiv)
toate receptoarele pornite	suma numerelor complexe
o baterie de $q$ kvar	numărul $- q i$ , cu partea reală zero
„raportul $Q / P$ nu depășește 0,4”	partea imaginară cel mult $0, 4$ ori partea reală

Unitatea imaginară $i$ este numărul care verifică $i^{2} = - 1$ ; nu e un număr real, fiindcă pătratul unui număr real nu e niciodată negativ. Un număr complex în forma algebrică se scrie $z = a + bi$ , cu $a$ și $b$ numere reale: $a$ este partea reală, iar $b$ partea imaginară. Dacă $b = 0$ , numărul e real. Electricienii scriu $j$ în loc de $i$ , fiindcă $i$ e simbolul curentului; enunțurile din probele 2013–2026 au folosit $i$ .

Când sunt egale două numere complexe?

Egalitatea a două numere complexe cere ca ambele părți să coincidă, partea reală cu partea reală și partea imaginară cu partea imaginară: $a + bi = c + d i$ înseamnă $a = c$ și $b = d$ . O egalitate între numere complexe dă deci două egalități între numere reale, pe care le rezolvi separat, ca la sistemele de două ecuații cu două necunoscute.

Cum aduni și cum scazi?

Adunarea și scăderea se fac pe părți: $(a + bi) \pm (c + d i) = (a \pm c) + (b \pm d) i$ . În bilanțul halei aduni coloana puterilor active și coloana celor reactive, separat, fiindcă kW și kvar nu se adună între ele. O baterie de $q$ kvar este numărul $- q i$ și scade doar partea imaginară.

Cum înmulțești două numere complexe?

Înmulțești ca doi binoame, cu distributivitatea, apoi aplici $i^{2} = - 1$ : $(a + bi) (c + d i) = a c + a d i + b c i + b d i^{2} = (a c - b d) + (a d + b c) i$ . De pildă $(2 + 9 i) (5 - 3 i) = 10 - 6 i + 45 i - 27 i^{2} = 37 + 39 i$ . La pătrat apare dublul produsului: $(a + bi)^{2} = (a^{2} - b^{2}) + 2 abi$ . Pătratele de acest fel revin la ecuațiile de gradul II fără soluții reale. Un număr real se înmulțește cu un număr complex pe părți, ca $3 (4 + 5 i) = 12 + 15 i$ . Înmulțirea nu apare în bilanțul de puteri, dar au cerut-o două dintre cerințele din probele 2013–2026, cele cu pătrate.

Cât face $i^{n}$ ?

Puterile lui $i$ se repetă din patru în patru: $i$ , $- 1$ , $- i$ , $1$ . Împarți $n$ la 4 și te uiți la rest: restul 0 dă 1, restul 1 dă $i$ , restul 2 dă $- 1$ , restul 3 dă $- i$ . De pildă $i^{47} = i^{3} = - i$ , fiindcă 47 dă restul 3 la împărțirea cu 4.

Metoda pas cu pas

Scrie fiecare mărime ca număr complex $a + bi$ , cu unitatea ei. Citește semnele: un receptor capacitiv are $b < 0$ , iar o mărime reală are $b = 0$ . Dacă o valoare e trecută în W sau în var, o treci în kW sau în kvar înainte să aduni, ca toate părțile să fie în aceeași unitate.
La adunare sau scădere, lucrează pe două coloane: părțile reale între ele, părțile imaginare între ele. Un număr complex înmulțit cu un număr real se înmulțește pe părți. Scrie fiecare coloană pe un rând separat, ca să poți verifica fiecare sumă în parte.
La produs, scrie fiecare produs parțial pe un rând și desfă parantezele cu distributivitatea, înlocuiește $i^{2}$ cu $- 1$ și grupează apoi termenii cu $i$ și pe cei fără $i$ . La pătrat, nu uita dublul produsului.
Scrie rezultatul sub forma $a + bi$ , cu partea reală prima, apoi citește din el ce ți se cere: o parte, un raport, o egalitate. Un raport între două părți se calculează între numere reale, deci cu părțile separate, nu cu numărul complex întreg.
Dacă o condiție cere un număr întreg de trepte sau de piese, rotunjești în sensul care respectă condiția, nu cel mai apropiat întreg.
Verifică pe alt drum: refă calculul cu termenii în altă ordine sau pe alt grup de receptoare, apoi compară ordinul de mărime cu situația.

De pildă, pentru două receptoare cu $4, 6 + 3, 8 i$ și $2, 3 - 0, 4 i$ , aduni $4, 6 + 2, 3 = 6, 9$ și $3, 8 - 0, 4 = 3, 4$ , deci $6, 9 + 3, 4 i$ . La un produs, ca $(18 - 13 i) (5 + i)$ , ai $90 + 18 i - 65 i - 13 i^{2} = 103 - 47 i$ . Pașii se aplică la fel, indiferent de ce înseamnă numerele.

Fișa de buzunar

$(a + bi) \pm (c + d i) = (a \pm c) + (b \pm d) i$

$(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i, (a + bi)^{2} = (a^{2} - b^{2}) + 2 abi$

$i^{2} = - 1, i^{3} = - i, i^{4} = 1$

Prima linie se aplică pe părți, a doua e produsul și pătratul, a treia dă puterile lui $i$ . Literele $a$ , $b$ , $c$ și $d$ sunt numere reale oarecare, iar formulele merg și când vreuna este 0. Verificare rapidă: cu $b = 0$ și $d = 0$ obții regulile numerelor reale.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Bilanțul de puteri al halei

Domeniu: electric.

Enunț. Reia hala din situația de pornire: compresor $7, 4 + 6, 9 i$ , bandă $3, 1 + 2, 9 i$ , mașină de sigilat $4, 2$ și iluminat $2, 2 - 0, 3 i$ , toate în kVA, cu penalizare la un raport peste 0,4 și cu baterie în trepte de 2,5 kvar. Află puterea totală, raportul $Q / P$ și numărul minim de trepte care îl aduc la cel mult 0,4.

Rezolvare. Aduni separat părțile reale și părțile imaginare: $S = (7, 4 + 3, 1 + 4, 2 + 2, 2) + (6, 9 + 2, 9 + 0 - 0, 3) i = 16, 9 + 9, 5 i$ . Partea reală arată cât lucru util face hala, iar partea imaginară cât încarcă ea rețeaua fără folos. Raportul este $\frac{9 , 5}{16 , 9} \approx 0, 562$ , deci hala plătește energie reactivă. Condiția cere $Q \leq 0, 4 \cdot 16, 9 = 6, 76$ kvar, deci bateria trebuie să scadă partea imaginară cu cel puțin $9, 5 - 6, 76 = 2, 74$ kvar. Treptele sunt de 2,5 kvar, iar $2, 74 : 2, 5 \approx 1, 1$ se rotunjește în sus, deci o treaptă nu ajunge, iar două trepte dau $5$ kvar. Bateria nu atinge partea reală, fiindcă $- 5 i$ are partea reală zero. Cu ea, $S^{'} = (16, 9 + 9, 5 i) - 5 i = 16, 9 + 4, 5 i$ .

Capcană. După o treaptă, $Q = 9, 5 - 2, 5 = 7$ kvar, iar raportul este $\frac{7}{16 , 9} \approx 0, 414$ . Rotunjit la zecimi, 0,414 pare 0,4 și o treaptă pare suficientă. Dar $7 > 0, 4 \cdot 16, 9 = 6, 76$ , deci raportul rămâne peste prag și hala ar plăti în continuare.

Verificare. După două trepte, $\frac{4 , 5}{16 , 9} \approx 0, 266$ , sub 0,4, iar $0, 4 \cdot 16, 9 = 6, 76 \geq 4, 5$ . Pe alt drum, coloana $Q$ a tabelului se adună în alt ordin: $2, 9 + 6, 9 - 0, 3 = 9, 5$ kvar, iar suma $P$ dă 16,9 kW. Trei trepte, adică 7,5 kvar, ar lăsa $9, 5 - 7, 5 = 2$ kvar, dar ar plăti o treaptă în plus fără folos, de aceea alegi numărul minim.

Exemplul 2 — A patra pompă a stației de irigații

Domeniu: agricol.

Enunț. La stația de irigații a unei ferme de legume, contorul general arată, cu toate pompele pornite, $31, 6 + 22, 8 i$ kVA. Fișele de punere în funcțiune dau pentru cele trei pompe vechi $11, 4 + 8, 9 i$ , $9, 8 + 7, 1 i$ și $2, 6 + 1, 2 i$ kVA. A patra pompă, montată de curând, nu a fost încă măsurată separat; puterea ei complexă este $x + y i$ , cu $x$ și $y$ numere reale. Fermierul vrea să o compare cu oferta furnizorului. Află $x$ și $y$ .

Rezolvare. Contorul măsoară tot ce trece prin tablou, deci suma celor patru puteri este cea de la contor: $(11, 4 + 8, 9 i) + (9, 8 + 7, 1 i) + (2, 6 + 1, 2 i) + (x + y i) = 31, 6 + 22, 8 i$ . Egalezi părțile reale: $11, 4 + 9, 8 + 2, 6 + x = 31, 6$ , deci $x = 7, 8$ . Egalezi părțile imaginare: $8, 9 + 7, 1 + 1, 2 + y = 22, 8$ , deci $y = 5, 6$ . Din egalitatea unui număr complex ai obținut două ecuații între numere reale, rezolvate separat, fiecare cu câte o necunoscută. Așadar a patra pompă are $7, 8 + 5, 6 i$ kVA, adică 7,8 kW activi și 5,6 kvar reactivi.

Capcană. Dacă schimbi semnul ultimului termen la partea imaginară, scrii $y = 22, 8 - 8, 9 - 7, 1 + 1, 2 = 8$ . Cu acest $y$ , suma părților imaginare ar fi $8, 9 + 7, 1 + 1, 2 + 8 = 25, 2$ , nu cei $22, 8$ de la contor, deci partea imaginară ar ieși cu $2, 4$ kvar prea mare.

Verificare. Pe alt drum, aduni toate cele patru puteri: $11, 4 + 9, 8 + 2, 6 + 7, 8 = 31, 6$ și $8, 9 + 7, 1 + 1, 2 + 5, 6 = 22, 8$ , adică exact numărul de la contor.

Exemplul 3 — Trei puncte de încărcare la un service auto

Domeniu: auto.

Enunț. Patronul unui service auto montează trei puncte de încărcare pentru autoturisme electrice, fiecare cu $P = 7400$ W și $Q = 1100$ var în fișa tehnică. Nu toate încarcă în același timp, deci proiectantul ia un factor de simultaneitate de 0,8, adică presupune că funcționează simultan, în medie, 80 % din puterea totală. Tabloul service-ului are deja $21, 6 + 11, 8 i$ kVA. Află puterea complexă totală, cu părțile rotunjite la 0,1, și spune dacă raportul $Q / P$ rămâne cel mult 0,4.

Rezolvare. Treci în kVA, fiindcă 7 400 W înseamnă 7,4 kW și 1 100 var înseamnă 1,1 kvar: un punct are $7, 4 + 1, 1 i$ kVA. Factorul se aplică numărului complex întreg, la trei puncte: $3 \cdot 0, 8 \cdot (7, 4 + 1, 1 i) = 2, 4 (7, 4 + 1, 1 i) = 17, 76 + 2, 64 i$ . Adaugi puterea existentă: $S = (21, 6 + 11, 8 i) + (17, 76 + 2, 64 i) = 39, 36 + 14, 44 i$ , adică $39, 4 + 14, 4 i$ kVA după rotunjire. Rotunjirea dă $17, 76 \approx 17, 8$ și $2, 64 \approx 2, 6$ . Raportul este $\frac{14 , 4}{39 , 4} \approx 0, 365$ , deci rămâne sub 0,4.

Capcană. Dacă aplici factorul numai la partea reală, obții $P = 17, 76$ și $Q = 3 \cdot 1, 1 = 3, 3$ , deci $Q$ total de $11, 8 + 3, 3 = 15, 1$ kvar în loc de $14, 44$ . Factorul 0,8 se aplică la putere activă și reactivă, adică la tot numărul complex.

Verificare. Rotunjirea se face abia la sfârșit: dacă rotunjești întâi 17,76 și 2,64 la 17,8 și 2,6, obții tot $39, 4 + 14, 4 i$ . Raportul exact, $\frac{14 , 44}{39 , 36} \approx 0, 367$ , e tot sub 0,4.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: un pătrat cu un termen care se reduce

Domeniu: mecanica.

Enunț. Un exercițiu de felul celor din Subiectul I, cu numere alese de noi, cere: „Arătați că $(9 + 11 i)^{2} - 198 i = - 40$ , unde $i^{2} = - 1$ .” Numerele pot fi, de pildă, componentele unei vibrații măsurate pe două direcții, în micrometri.

Rezolvare. Așa scrii pe lucrare, urmând pasul 3 din Metodă. Dezvolți pătratul: $(9 + 11 i)^{2} = 81 + 198 i + 121 i^{2} = 81 + 198 i - 121 = - 40 + 198 i$ . Scazi $198 i$ : $- 40 + 198 i - 198 i = - 40$ . Egalitatea e adevărată.

Capcană. Cine scrie $i^{2} = 1$ obține $81 + 198 i + 121 = 202 + 198 i$ , apoi $202$ după scădere, nu $- 40$ . Cu $i^{2} = - 1$ , termenul $121 i^{2}$ devine $- 121$ .

Verificare. Dublul produsului, $2 \cdot 9 \cdot 11 = 198$ , e chiar coeficientul scăzut, de aceea partea imaginară se anulează. Partea reală este $9^{2} - 1 1^{2} = 81 - 121 = - 40$ . Rezultatul nu mai conține pe $i$ , deci este un număr real, cum cere enunțul. Dacă în loc de $- 198 i$ ar fi fost alt coeficient, partea imaginară nu s-ar mai fi anulat.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Scrie fiecare număr sub forma $a + bi$ și spune partea reală și partea imaginară a lui: a) $13 - 6 i^{2}$ ; b) $\frac{22 - 9 i}{2}$ ; c) $- 17 i + 8$ ; d) $15 i^{2}$ .

2. Calculează și scrie fiecare rezultat sub forma $a + bi$ : a) $(25 - 9 i) + (- 8 + 24 i)$ ; b) $(2, 4 + 3, 6 i) - (1, 7 - 1, 4 i)$ ; c) $(31 - 22 i) - (31 - 22 i)$ .

3. Calculează, cu formulele din fișă: a) $(5 + 2 i) (3 - 7 i)$ ; b) $(11 - 4 i)^{2}$ ; c) $i (13 - 6 i)$ .

4. Calculează, cu restul împărțirii exponentului la 4: $i^{47}$ , $i^{2030}$ și $i^{88} + i^{89}$ .

Nivelul 2 — situații

5. Din tabloul electric al unei hale pleacă două compresoare identice, cu $6, 8 + 5, 1 i$ kVA fiecare, și un uscător cu $2, 9 + 0, 7 i$ kVA. Calculează puterea complexă totală și spune dacă raportul dintre puterea reactivă și cea activă depășește pragul de 0,4 din situația de pornire.

6. Pe un banc de încercare din atelier, semnalul unui traductor trece printr-un filtru și apoi printr-un amplificator, legate în lanț. La frecvența de lucru, câștigul complex al filtrului este $0, 8 + 0, 6 i$ , iar al amplificatorului este $24 - 11 i$ . Câștigul lanțului este produsul lor. Calculează-l, scris sub forma $a + bi$ , și află ieșirea pentru un semnal de 40 mV la intrarea filtrului.

7. La o fermă de vaci de lapte, cu instalație de mulgere, contorul arăta înainte de montarea unei baterii de condensatoare $24, 6 + 18, 2 i$ kVA, iar după montare arată $24, 6 + 5, 7 i$ kVA. Scrie întâi numărul complex adăugat de baterie, apoi numărul de trepte de 2,5 kvar pe care îl are.

8. Contorul unei hale a înregistrat în patru săptămâni energia activă, în kWh, și energia reactivă, în kvarh. Scrise ca numere complexe, ele sunt $412 + 268 i$ , $389 + 247 i$ , $455 + 311 i$ și $398 + 251 i$ . Calculează totalul lunii și penalizarea, știind că se plătesc 0,20 lei (valoare din exemplu) pe fiecare kvarh peste 0,4 din energia activă.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Arătați că numărul $N = (7 + 13 i)^{2} + (13 - 7 i)^{2}$ este natural, unde $i^{2} = - 1$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care $(14 - 16 i) (3 + 2 i) = a + ib$ , unde $i^{2} = - 1$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Arătați că $(8 + 5 i)^{2} - (8 - 5 i)^{2} = 160 i$ , unde $i^{2} = - 1$ .

12. (Sinteză.) Arătați că, pentru orice numere reale $a$ și $b$ , $(a + bi)^{2} + (b - ai)^{2} = 0$ , unde $i^{2} = - 1$ . Ce valori au $a$ și $b$ la exercițiul 9?

Răspunsuri și verificări

1. a) $13 + 6 = 19$ , adică $19 + 0 i$ ; partea reală 19, partea imaginară 0. b) $11 - 4, 5 i$ ; partea reală 11, partea imaginară $- 4, 5$ . c) $8 - 17 i$ ; partea reală 8, partea imaginară $- 17$ . d) $- 15$ , adică $- 15 + 0 i$ ; partea reală $- 15$ , partea imaginară 0. Verificare: $i^{2} = - 1$ transformă a) și d) în numere reale.

2. a) $(25 - 8) + (- 9 + 24) i = 17 + 15 i$ . b) $(2, 4 - 1, 7) + (3, 6 + 1, 4) i = 0, 7 + 5 i$ . c) $0$ . Verificare: $(17 + 15 i) - (25 - 9 i) = - 8 + 24 i$ .

3. a) $15 - 35 i + 6 i - 14 i^{2} = 29 - 29 i$ . b) $121 - 88 i + 16 i^{2} = 105 - 88 i$ . c) $13 i - 6 i^{2} = 6 + 13 i$ . Verificare: la b), $(a^{2} - b^{2}) + 2 abi$ cu $a = 11$ , $b = - 4$ dă $105 - 88 i$ .

4. $i^{47} = i^{3} = - i$ , deoarece 47 dă restul 3 la împărțirea cu 4. $i^{2030} = i^{2} = - 1$ , deoarece 2030 dă restul 2. $i^{88} + i^{89} = 1 + i$ , deoarece 88 dă restul 0 și 89 restul 1. Verificare: $i^{88} = (i^{4})^{22} = 1$ .

5. Două compresoare dau $2 (6, 8 + 5, 1 i) = 13, 6 + 10, 2 i$ , iar cu uscătorul $S = 16, 5 + 10, 9 i$ kVA. Raportul este $\frac{10 , 9}{16 , 5} \approx 0, 661$ , deci depășește 0,4. Verificare: $0, 4 \cdot 16, 5 = 6, 6$ și $10, 9 > 6, 6$ .

6. $G = (0, 8 + 0, 6 i) (24 - 11 i) = 19, 2 - 8, 8 i + 14, 4 i - 6, 6 i^{2} = 25, 8 + 5, 6 i$ . Pentru 40 mV: $40 (25, 8 + 5, 6 i) = 1032 + 224 i$ mV. Verificare: cu formula din fișă, partea reală $0, 8 \cdot 24 - 0, 6 \cdot (- 11) = 25, 8$ , iar partea imaginară $0, 8 \cdot (- 11) + 0, 6 \cdot 24 = 5, 6$ .

7. Bateria a adăugat $(24, 6 + 5, 7 i) - (24, 6 + 18, 2 i) = - 12, 5 i$ , adică 12,5 kvar. Are $12, 5 : 2, 5 = 5$ trepte. Verificare: $18, 2 - 12, 5 = 5, 7$ .

8. Totalul este $(412 + 389 + 455 + 398) + (268 + 247 + 311 + 251) i = 1654 + 1077 i$ . Energia reactivă gratuită este $0, 4 \cdot 1654 = 661, 6$ kvarh, deci se penalizează $1077 - 661, 6 = 415, 4$ kvarh, adică $415, 4 \cdot 0, 20 = 83, 08$ lei. Verificare: raportul este $\frac{1077}{1654} \approx 0, 651$ , deasupra pragului de 0,4.

9. Dezvolți: $(7 + 13 i)^{2} = 49 + 182 i + 169 i^{2}$ și $(13 - 7 i)^{2} = 169 - 182 i + 49 i^{2}$ . Cu $i^{2} = - 1$ , suma este $(49 - 169) + (169 - 49) = 0$ , iar partea imaginară $182 i - 182 i$ se anulează. Așadar $N = 0$ , număr natural. Verificare: $(7 + 13 i)^{2} = - 120 + 182 i$ și $(13 - 7 i)^{2} = 120 - 182 i$ .

10. Înmulțești: $(14 - 16 i) (3 + 2 i) = 42 + 28 i - 48 i - 32 i^{2}$ . Cu $i^{2} = - 1$ obții $42 + 32 + (28 - 48) i = 74 - 20 i$ . Rezultă $a = 74$ și $b = - 20$ . Verificare: partea reală $14 \cdot 3 + 16 \cdot 2 = 74$ , partea imaginară $14 \cdot 2 - 16 \cdot 3 = - 20$ .

11. Dezvolți primul pătrat: $(8 + 5 i)^{2} = 64 + 80 i + 25 i^{2} = 39 + 80 i$ . Al doilea diferă doar prin semnul lui $i$ : $(8 - 5 i)^{2} = 39 - 80 i$ . Diferența este $39 + 80 i - 39 + 80 i = 160 i$ , adică egalitatea cerută. Verificare: ca diferență de pătrate, $[(8 + 5 i) - (8 - 5 i)] \cdot [(8 + 5 i) + (8 - 5 i)] = 10 i \cdot 16 = 160 i$ .

12. Dezvolți: $(a + bi)^{2} = a^{2} + 2 abi + b^{2} i^{2}$ și $(b - ai)^{2} = b^{2} - 2 abi + a^{2} i^{2}$ , cu $i^{2} = - 1$ . Părțile reale dau $a^{2} - b^{2} + b^{2} - a^{2} = 0$ , iar cele imaginare $2 ab - 2 ab = 0$ , deci suma este 0. La exercițiul 9, $a = 7$ și $b = 13$ . Verificare: $b - ai = - i (a + bi)$ , deci $(b - ai)^{2} = i^{2} (a + bi)^{2} = - (a + bi)^{2}$ , iar suma dă 0.

Așa vine la Bac M3

Numerele complexe au fost cerute în trei probe din 2013–2026. În indexul celor 83 de probe sunt trei cerințe cu numere complexe, toate cerința 1 din Subiectul I. Două cer pătrate, ca aici; cea cu un cât este în împărțirea numerelor în forma algebrică. Cele două cu pătrate sunt:

Modelul din 2019, Subiectul I, exercițiul 1: se cere să arăți că suma pătratelor a două numere complexe, de forma $a + bi$ și $b - ai$ , este un număr natural; baremul acordă 2 puncte pentru dezvoltarea pătratelor și 3 puncte pentru reducerea termenilor, care dă 0. Aplici pasul 3 din Metodă.
Simularea din 2021, Subiectul I, exercițiul 1: se cere să arăți o egalitate cu pătratul unui număr complex din care se scade un termen imaginar; baremul acordă 3 puncte pentru dezvoltarea pătratului și 2 puncte pentru rezultatul $- 8$ . Folosești tot pasul 3 din Metodă.

În ambele, enunțul spune că $i^{2} = - 1$ , iar calculul e scurt dacă ții minte dublul produsului. Fără el, partea imaginară nu se mai reduce. Pe foaia de examen scrii pătratul dezvoltat, înlocuiești $i^{2}$ cu $- 1$ , reduci termenii asemenea și scrii rezultatul pe un rând separat. Exercițiul 9 repetă forma din 2019, exercițiul 11 duce pătratele într-o diferență, iar exercițiul 10 cere un produs în loc de un pătrat; exercițiul 12 arată de ce forma din 2019 dă de fiecare dată 0. Următoarea temă o alegi de pe pagina cu lecțiile de clasa a X-a de la tehnologic.

Greșeli care costă puncte

Aduni partea reală cu partea imaginară: $16, 9 + 9, 5 = 26, 4$ → cum o prinzi: kW și kvar sunt unități diferite, deci păstrezi două coloane și scrii $16, 9 + 9, 5 i$ .
Treci receptorul capacitiv cu semn pozitiv: iluminatul LED cu $+ 0, 3$ în loc de $- 0, 3$ → obții $Q = 10, 1$ kvar, nu $9, 5$ ; cum o prinzi: refaci suma pe coloană și te uiți la semnul din tabel.
Rotunjești raportul $0, 414$ la $0, 4$ și hotărăști că o treaptă ajunge → cum o prinzi: compari cantitățile, $7 > 6, 76$ , nu rapoartele rotunjite.
La a patra pompă aduni puterile celor trei pompe la citirea contorului, în loc să le scazi → obții $55, 4 + 40 i$ kVA, mai mult decât arată tot contorul; cum o prinzi: o pompă nu poate avea o putere mai mare decât a întregii stații.
Aplici factorul de simultaneitate numai la puterea activă → $Q$ iese cu $0, 66$ kvar prea mare; cum o prinzi: factorul înmulțește tot numărul complex, adică ambele părți.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: noțiunea de număr complex în forma algebrică, cu operațiile ei, face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a X-a), deși programa nouă a clasei a X-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 3 probe, la Subiectul I. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6) tema nu este în programa de examen.

Întrebări frecvente

Ce se întâmplă cu bilanțul dacă iluminatul LED este oprit? Scazi numărul complex al iluminatului: $(16, 9 + 9, 5 i) - (2, 2 - 0, 3 i) = 14, 7 + 9, 8 i$ kVA. Partea imaginară crește, fiindcă scazi un număr cu partea imaginară negativă, iar raportul urcă de la $0, 562$ la $\frac{9 , 8}{14 , 7} \approx 0, 667$ . Limita $0, 4 \cdot 14, 7 = 5, 88$ cere scăderea cu cel puțin $3, 92$ kvar, adică tot două trepte.

Ce se schimbă dacă hala adaugă un al doilea compresor identic? Puterea totală devine $(16, 9 + 9, 5 i) + (7, 4 + 6, 9 i) = 24, 3 + 16, 4 i$ kVA. Cu al doilea compresor, raportul crește de la $0, 562$ la $\frac{16 , 4}{24 , 3} \approx 0, 675$ , deci situația se înrăutățește. Limita $0, 4 \cdot 24, 3 = 9, 72$ cere scăderea cu cel puțin $6, 68$ kvar, adică trei trepte de 2,5 kvar, nu două. Un compresor în plus costă deci o treaptă în plus.

Cum verifică electricianul, după montaj, că bateria lucrează cum a calculat? Citește contorul general cu aceleași receptoare pornite. Partea reală trebuie să rămână $16, 9$ kW, fiindcă bateria nu schimbă puterea activă, iar partea imaginară trebuie să scadă de la $9, 5$ la $4, 5$ kvar. Dacă partea reală s-a schimbat, s-a oprit sau s-a pornit un receptor; dacă e aceeași, dar partea imaginară scade cu mai puțin de 5 kvar, o treaptă nu lucrează.

Câte trepte trebuie dacă banda transportoare stă oprită? Scazi puterea benzii: $(16, 9 + 9, 5 i) - (3, 1 + 2, 9 i) = 13, 8 + 6, 6 i$ . Limita este $0, 4 \cdot 13, 8 = 5, 52$ , deci trebuie scăzute cel puțin $1, 08$ kvar. O treaptă de 2,5 kvar ajunge și lasă $6, 6 - 2, 5 = 4, 1$ kvar, sub limita de $5, 52$ kvar. Deci oprirea benzii reduce numărul de trepte necesare de la două la una.

Ce fel de calcule cu numere complexe a cerut Bacalaureatul M3 în probele din 2013–2026? În cele trei probe, toate cu enunțul „unde $i^{2} = - 1$ ”: două pătrate de numere complexe, dintre care unul cu un termen care se reduce, și un cât de numere complexe. Cerințele nu au cerut ecuații sau puteri mari ale lui $i$ .

Cum scriu mașina de sigilat, care nu are putere reactivă? Cu partea imaginară zero: $4, 2 + 0 i = 4, 2$ , un număr real. Numerele reale sunt numere complexe cu partea imaginară zero, deci intră în adunare ca oricare altul. Mașina de sigilat mărește doar partea reală a totalului, adică puterea activă, și nu cere condensatoare.