Cum calculez o expresie cu mulțimi?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Operații combinate cu mulțimi

Rezolvi întâi parantezele, dinăuntru spre exterior, apoi operațiile rămase, de la stânga la dreapta. Pentru $(A \cup B) ∖ C$ formezi mai întâi reuniunea și abia apoi scoți din ea elementele lui $C$ . Cu $A = {1, 2, 3}$ , $B = {2, 3, 4}$ și $C = {3}$ obții reuniunea ${1, 2, 3, 4}$ , din care rămâne ${1, 2, 4}$ . Mutarea parantezelor schimbă rezultatul, exact ca la calculul cu numere.

O operație combinată cu mulțimi conține mai multe operații deodată, de exemplu $(A \cup B) ∖ C$ . Regula de aur: rezolvăm întâi ce este în paranteze, dinăuntru spre afară, la fel ca la calculul cu numere — parantezele schimbă rezultatul. Pentru probleme practice (,,câți elevi fac și sport, și muzică''), folosim diagrama Venn cu două cercuri, care împarte totalul în patru zone: doar $A$ , doar $B$ , $A \cap B$ (mijlocul) și ,,niciuna''. Cele trei cuvinte-cheie traduc operațiile: și $= \cap$ , sau $= \cup$ , nu/dar nu $= ∖$ . Cea mai utilă formulă este formula reuniunii: $∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣$ , pentru că elementele din mijloc nu se numără de două ori. Exemplu: dacă $A = {1, 2, 3}$ , $B = {2, 3, 4}$ , atunci $A \cap B = {2, 3}$ , deci $∣ A \cup B ∣ = 3 + 3 - 2 = 4$ , adică ${1, 2, 3, 4}$ . Verifică mereu: suma celor patru zone = totalul.

De reținut

întâi parantezele, dinăuntru spre exterior
și $= \cap$ , sau $= \cup$ , dar nu $= ∖$
$∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣$

Greșeala tipică

Se adună numerele celor două grupe fără să se scadă partea comună, iar totalul iese mai mare decât numărul real de persoane; elementele din zona de mijloc trebuie numărate o singură dată.

Exerciții din această mini-lecție

Fie $A = {1, 2, 3, 4, 7}$ , $B = {2, 4, 5, 7}$ și $C = {1, 3, 5, 8}$ . Cât este $(A \cap B) \cup C$ ?
- a) ${1, 2, 3, 4, 7, 8}$
- b) ${1, 2, 3, 4, 5, 7, 8}$
- c) ${2, 4, 7}$
- d) ${1, 3, 5, 8}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) ${1, 2, 3, 4, 5, 7, 8}$

Mai întâi calculăm paranteza: $A \cap B = {2, 4, 7}$ (elementele comune lui $A$ și $B$ ). Apoi facem reuniunea cu $C$ : ${2, 4, 7} \cup {1, 3, 5, 8} = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8}$ , punând laolaltă toate elementele, fără repetare.
Într-un grup de elevi, notăm $X$ = ,,au cont pe Instagram'' și $Y$ = ,,au cont pe TikTok''. Care expresie descrie corect mulțimea elevilor care au cont pe cel puțin una dintre cele două platforme (eventual pe amândouă)?
- a) $X \cap Y$
- b) $X \cup Y$
- c) $X ∖ Y$
- d) $Y ∖ X$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $X \cup Y$

„Cel puțin una, eventual amândouă” este exact definiția reuniunii: $X \cup Y$ conține elementele din $X$ sau din $Y$ (sau din ambele). Intersecția $X \cap Y$ ar însemna „ambele platforme simultan”, iar diferențele $X ∖ Y$ sau $Y ∖ X$ ar descrie „doar una, fără cealaltă”.
Fie $A = {2, 3, 5, 8, 9}$ , $B = {3, 5, 6, 9}$ și $C = {2, 6, 7, 8}$ . Cât este $(A \cup B) ∖ C$ ?
- a) ${3, 5, 9}$
- b) ${2, 3, 5, 6, 8, 9}$
- c) ${2, 6, 8}$
- d) ${2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) ${3, 5, 9}$

Mai întâi calculăm paranteza: $A \cup B = {2, 3, 5, 6, 8, 9}$ (toate elementele din $A$ sau din $B$ , fără repetare). Apoi scădem $C = {2, 6, 7, 8}$ : eliminăm din listă elementele $2$ , $6$ și $8$ , iar $7$ nici nu era acolo. Rămâne ${3, 5, 9}$ .

Întrebări conexe

Cum verific rezultatul unei operații combinate cu mulțimi?

Iei fiecare element al rezultatului și urmărești dacă îndeplinește condiția scrisă în expresie. Apoi verifici și invers: cauți printre elementele de plecare pe cele care ar fi trebuit să intre și lipsesc. Un desen cu cercuri suprapuse arată repede unde s-a pierdut un element.

Câte zone are o diagramă cu două cercuri?

Are patru: partea din primul cerc rămasă în afara suprapunerii, partea din al doilea, zona comună din mijloc și restul dreptunghiului, pentru elementele care nu intră în niciuna. Suma numerelor din cele patru zone trebuie să dea totalul, iar aceasta este verificarea obișnuită.

Cum aflu câți elevi practică numai unul dintre cele două sporturi?

Scazi din numărul celor care practică un sport pe cei care le practică pe amândouă, apoi faci la fel pentru celălalt sport și aduni cele două rezultate. Dacă $20$ fac înot, $15$ fac fotbal și $6$ fac ambele, obții $14 + 9 = 23$ de elevi cu un singur sport.

Ce ordine urmez când apar reuniune și intersecție fără paranteze?

Se lucrează de la stânga la dreapta, fiindcă cele două operații nu au priorități diferite între ele. Tocmai de aceea enunțurile serioase folosesc paranteze: fără ele, rezultatul ar depinde de felul în care citește fiecare, iar exercițiul ar deveni nesigur.

Cum trec de la textul unei probleme la o expresie cu mulțimi?

Traduci cuvintele de legătură: și devine intersecție, sau devine reuniune, iar dar nu devine diferență. Formularea elevii care fac sport, dar nu muzică se scrie ca diferența dintre mulțimea sportivilor și cea a muzicienilor.

Cum calculez numărul elementelor unei reuniuni fără să le scriu?

Aduni cardinalele celor două mulțimi și scazi numărul elementelor comune, altfel acestea ar fi socotite de două ori. Pentru mulțimi cu $3$ și $3$ elemente, dintre care $2$ comune, reuniunea are $4$ elemente.

Oamenii mai întreabă și: operații combinate cu mulțimi · exerciții cu reuniune și intersecție · ordinea operațiilor la mulțimi · probleme cu mulțimi și diagrame