Piesele unui atelier de mobilă au codurile din $$U=\{21,\,24,\,27,\,30,\,33,\,36,\,39,\,42\}$$. Au fost șlefuite piesele din $$A=\{21,\,27,\,33,\,39\}$$ și lăcuite cele din $$B=\{24,\,27,\,36,\,39,\,42\}$$. Care este complementara față de $$U$$ a intersecției $$A\cap B$$?

$$\{21,\,24,\,30,\,33,\,36,\,42\}$$

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Complementara și numărarea

Cum aflu ce nu e în niciuna din două liste?

Elementele care nu apar în niciuna dintre două liste formează complementara reuniunii: din universul $U$ scoți tot ce apare în cel puțin o listă. Exemplu: $U = {4, 7, 11, 14, 19, 23}$ , $A = {4, 11, 19}$ , $B = {7, 11}$ . Reuniunea este ${4, 7, 11, 19}$ , deci rămân ${14, 23}$ . Proba: $4 + 2 = 6$ , adică toate elementele lui $U$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

O mulțime este o listă fără repetări: un element nu apare de două ori. Reuniunea a două mulțimi adună elementele din cel puțin una, intersecția păstrează elementele comune, diferența păstrează ce este în prima și nu este în a doua, iar complementara se calculează numai față de un univers $U$ ales dinainte.

Cuvintele din enunț se traduc simplu: «sau» înseamnă reuniune și include cazul «ambele», «și» înseamnă intersecție, «dar nu» înseamnă diferență, «nu» înseamnă complementară, iar «nici… nici» înseamnă complementara reuniunii. Complementara intersecției este reuniunea complementarelor.

Pentru incluziune verifici fiecare element al mulțimii mai mici; un singur element care lipsește respinge afirmația, iar sensul contează. Pentru numărare, elementele comune se scad o dată din suma cardinalelor, ca să nu fie numărate de două ori.

Verifici împărțind universul în zone care nu se suprapun și adunând numărul lor de elemente. Capcanele sunt listele lipite cap la cap, «sau» citit ca «unul singur» și complementara scrisă fără univers.

De reținut

complementara reuniunii: ce din univers nu apare în nicio listă
incluziunea se verifică element cu element, cu sensul corect
fără univers, complementara nu are sens

Greșeala tipică

Se scrie complementara fără să se spună universul. Pentru $A = {5, 8}$ complementara este ${13, 17}$ în $U = {5, 8, 13, 17}$ , dar doar ${13}$ în $U = {5, 8, 13}$ , deci rezultatul se schimbă odată cu universul.

Exerciții din această mini-lecție

La un service auto, $M$ este mulțimea mașinilor la care s-a schimbat uleiul luna aceasta, iar $F$ este mulțimea mașinilor cu plăcuțele de frână schimbate. Care mulțime conține mașinile la care s-a schimbat uleiul, dar nu și plăcuțele?
- a) $M \cap F$
- b) $M \cup F$
- c) $M ∖ F$
- d) $F ∖ M$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $M ∖ F$

«Dar nu» înseamnă diferență: rămân elementele lui $M$ care nu sunt în $F$ , adică $M ∖ F$ . Varianta $M \cap F$ conține mașinile cu ambele lucrări; $M \cup F$ conține mașinile cu cel puțin una; $F ∖ M$ inversează rolurile și conține plăcuțele schimbate fără ulei.
Piesele unui atelier de mobilă au codurile din $U = {21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42}$ . Au fost șlefuite piesele din $A = {21, 27, 33, 39}$ și lăcuite cele din $B = {24, 27, 36, 39, 42}$ . Care este complementara față de $U$ a intersecției $A \cap B$ ?
- a) ${21, 24, 30, 33, 36, 42}$
- b) ${30}$
- c) ${21, 33}$
- d) ${27, 39}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) ${21, 24, 30, 33, 36, 42}$

Intersecția este $A \cap B = {27, 39}$ , iar complementara ei conține celelalte șase coduri din $U$ . Varianta ${30}$ este complementara reuniunii, adică piesele fără nicio lucrare; ${21, 33}$ este $A ∖ B$ ; ${27, 39}$ este chiar intersecția.
Un laborator ține trei liste de reactivi: corozivii $C = {R 2, R 5, R 7}$ , inflamabilii $I = {R 1, R 2, R 5, R 7, R 9}$ și toxicii $T = {R 2, R 7, R 9}$ . Care afirmație este adevărată?
- a) $C \subseteq T$
- b) $I \subseteq C$
- c) $T \cap I \subseteq C$
- d) $C \subseteq I$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $C \subseteq I$

Fiecare element al lui $C$ , adică $R 2$ , $R 5$ și $R 7$ , se află în $I$ , deci $C \subseteq I$ . Varianta $C \subseteq T$ cade la $R 5$ , care nu este în $T$ ; $I \subseteq C$ inversează sensul, iar $R 1$ este în $I$ , nu în $C$ ; $T \cap I = {R 2, R 7, R 9}$ nu este inclusă în $C$ , fiindcă $R 9 \in / C$ .

Întrebări conexe

Cum aflu elementele din exact una dintre două liste?

Unești cele două diferențe: $(A ∖ B) \cup (B ∖ A)$ . Pentru $A = {19, 24, 37, 46}$ și $B = {24, 46, 61}$ avem $A ∖ B = {19, 37}$ și $B ∖ A = {61}$ , deci elementele din exact una dintre liste sunt ${19, 37, 61}$ . Elementele comune, $24$ și $46$ , nu intră.

Cum arăt că o listă nu este inclusă în alta?

Găsești un singur element al primei liste care lipsește din a doua. Pentru $A = {14, 19, 23, 28}$ și $B = {14, 23, 28, 31}$ , elementul $19$ este în $A$ și nu este în $B$ , deci $A$ nu este inclusă în $B$ . Un exemplu bun nu ar fi dovedit incluziunea.

De ce complementara depinde de universul ales?

Pentru că ea conține elementele universului care nu sunt în mulțime. Pentru $A = {7, 9}$ , în $U_{1} = {4, 7, 9, 12}$ complementara este ${4, 12}$ , iar în $U_{2} = {4, 7, 9, 12, 15, 18}$ este ${4, 12, 15, 18}$ . Fără univers nu se poate calcula.

Cum scriu cu simboluri «și A, și B, dar nu C»?

Scrii $(A \cap B) ∖ C$ : întâi elementele comune lui $A$ și $B$ , apoi scoți pe cele din $C$ . Pentru $A = {16, 25, 31, 38}$ , $B = {25, 31, 38, 52}$ și $C = {31}$ , intersecția este ${25, 31, 38}$ , iar rezultatul este ${25, 38}$ .

Exclude «sau» elementele aflate în ambele liste?

Nu, în matematică «sau» include și cazul «ambele». Pentru $A = {6, 13, 18}$ și $B = {13, 25}$ avem $A \cup B = {6, 13, 18, 25}$ , iar $13$ , care este în ambele liste, apare în reuniune o singură dată, nu de două ori.

Oamenii mai întreabă și: elementele care nu sunt în nicio listă · complementara reuniunii a două mulțimi · nici în prima, nici în a doua listă · ce rămâne din univers după reuniune