Mulțimi pentru tehnologic: clienți și produse

Într-o firmă, clienții, produsele și biletele stau pe liste, iar greșelile apar unde două liste se suprapun: același om primește două plicuri, un document nu ajunge la cine trebuie. Limbajul mulțimilor spune exact ce faci cu listele: le unești, le intersectezi, le scazi. Legi aceste operații de „și”, „sau” și „nu” în clasa a IX-a a liceului tehnologic, iar legătura dintre ele se află în programa Bacalaureatului M3 (M_tehnologic).

Situația de pornire

Un birou de contabilitate din Ploiești are 14 clienți activi, fiecare cu un cod. Toți au în abonament contabilitatea curentă, trecută lunar pe factură; unii au, în plus, serviciile din tabel, iar în evidență fiecare serviciu în plus este o listă de coduri. La începutul lunii, contabilul-șef trimite două documente: raportul de salarizare, clienților cu salarizare, și calendarul fiscal, clienților cu declarații fiscale. Vrea să nu trimită nimănui același document de două ori și să pună în același plic cele două documente pentru cei care le primesc pe amândouă. Codurile celor 14 clienți sunt 204, 211, 217, 223, 229, 238, 245, 246, 251, 263, 267, 272, 284 și 291.

Întrebare: care este lista unică de expediere, cine primește ambele documente în același plic, cine primește numai raportul de salarizare și cine nu primește niciun document?

De la situație la model

Fiecare serviciu este o mulțime de coduri: o colecție de obiecte, numite elemente, în care fiecare element contează o singură dată și ordinea nu contează. Scrii $211\in S$ când codul 211 este în lista $S$ și $229\notin S$ când nu este. Biroul lucrează cu un univers: mulțimea totală $U$ este mulțimea tuturor clienților activi, adică cele 14 coduri.

Reuniunea $A\cup B$ conține elementele aflate în $A$ sau în $B$, fiecare scris o singură dată. Intersecția $A\cap B$ conține elementele aflate și în $A$, și în $B$. Diferența $A\setminus B$ conține elementele lui $A$ care nu sunt în $B$. Complementara ${\complement }_{U}A$ conține elementele lui $U$ care nu sunt în $A$, deci fără universul $U$ ea nu are sens. Incluziunea $A\subseteq B$ spune că fiecare element al lui $A$ este și în $B$, iar egalitatea $A=B$ spune că $A\subseteq B$ și $B\subseteq A$. Mulțimea fără elemente se numește mulțimea vidă și se notează $\varnothing$.

Cum se leagă „și”, „sau”, „nu” de operațiile cu mulțimi?

Un cod $x$ este în $S\cap D$ exact când $x\in S$ și $x\in D$: conjuncția „și” dă intersecția. Este în $S\cup D$ exact când $x\in S$ sau $x\in D$: disjuncția „sau” dă reuniunea, iar „sau” include și cazul în care ambele sunt adevărate. Este în ${\complement }_{U}S$ exact când nu este adevărat că $x\in S$: negația dă complementara. „Are salarizare, dar nu are declarații” înseamnă $S\setminus D$, adică $S\cap {\complement }_{U}D$. Despre propoziții și operații logice vezi operațiile logice și condițiile de garanție.

Ce spune incluziunea a două mulțimi?

$A\subseteq B$ înseamnă: pentru fiecare element $x$, dacă $x\in A$, atunci $x\in B$. Implicația „dacă… atunci” dă incluziunea. Un singur element care strică implicația respinge incluziunea: $K⊈S$, fiindcă $267\in K$, dar $267\notin S$. Incluziunea nu merge și invers: din $K\cap D\subseteq S$ nu rezultă $S\subseteq K\cap D$. Pe liste, $A\subseteq B$ este același lucru cu $A\setminus B=\varnothing$.

Când sunt egale două mulțimi?

$A=B$ înseamnă $A\subseteq B$ și $B\subseteq A$, adică $x\in A$ dacă și numai dacă $x\in B$: echivalența dă egalitatea. Ordinea și dublurile nu contează: $\{217,204\}$ și $\{204,217,204\}$ sunt aceeași mulțime.

Cum scrii „nici… nici” și „nu ambele”?

„Nici salarizare, nici declarații” înseamnă ${\complement }_U(S\cup D)={\complement }_{U}S\cap {\complement }_{U}D$. „Nu are ambele servicii” înseamnă ${\complement }_U(S\cap D)={\complement }_{U}S\cup {\complement }_{U}D$. Complementara schimbă „sau” în „și” și „și” în „sau”.

Metoda pas cu pas

1. Scrie universul $U$ și fiecare mulțime ca listă de elemente în ordine crescătoare, fără dubluri. În situația biroului, $U$ are cele 14 coduri, iar $S$ și $D$ au câte 7 elemente. Dacă mulțimea e dată printr-o condiție, scrie mai întâi elementele care o verifică, după ce ai adus datele în aceeași unitate. Nu repeta niciun element, chiar dacă apare în două locuri din evidență.
2. Tradu cerința în simboluri: „și” înseamnă $\cap$, „sau” înseamnă $\cup$, „dar nu” înseamnă $\setminus$, „nu” înseamnă complementara față de $U$, „nici… nici” înseamnă complementara reuniunii. Reține că „sau” include și cazul „ambele”.
3. Fă un tabel cu câte o coloană pentru fiecare mulțime (la trei mulțimi, trei coloane): pentru fiecare element al lui $U$ completezi „în $S$?” și „în $D$?”. Fiecare rezultat se citește pe rânduri, nu din memorie: pentru codul 238 ambele coloane sunt „da”, deci 238 este în $S\cap D$.
4. Scrie rezultatul ca listă, în ordine crescătoare, și numără elementele lui, ca să poți compara cu verificarea de la pasul 6. Controlează că niciun element de la capătul listelor n-a rămas pe dinafară.
5. Pentru „este inclusă” și „sunt egale”, caută un element care strică propoziția. Dacă nu găsești niciunul, ai verificat toate elementele mulțimii mai mici; pentru egalitate verifici ambele sensuri. Un singur contraexemplu respinge propoziția, dar un singur exemplu bun n-o dovedește.
6. Verifică: zonele $A\cap B$, $A\setminus B$, $B\setminus A$ și ${\complement }_U(A\cup B)$ nu se suprapun și numărul lor de elemente dă numărul de elemente al lui $U$. Apoi încearcă $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$. Dacă numerele nu se potrivesc, ai uitat un element sau l-ai numărat de două ori.

Fișa de buzunar

$${\complement }_U(A\cup B)={\complement }_{U}A\cap {\complement }_{U}B,{\complement }_U(A\cap B)={\complement }_{U}A\cup {\complement }_{U}B$$

$$A\setminus B=A\cap {\complement }_{U}B,A\subseteq B⟺A\setminus B=\varnothing ,A=B⟺A\subseteq B\text{ și }B\subseteq A$$

Regulile se aplică pentru mulțimi aflate în același univers $U$. Reuniunea și intersecția se pot scrie în orice ordine, dar diferența nu: $A\setminus B$ și $B\setminus A$ sunt, în general, mulțimi diferite. Verificare rapidă: cele patru zone nu se suprapun și au, împreună, $|U|$ elemente.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Lista de expediere a biroului

Domeniu: economic.

Enunț. Reia situația de pornire: $S$ și $D$ sunt listele clienților cu salarizare, respectiv cu declarații fiscale, iar $U$ are cei 14 clienți. a) Scrie lista unică de expediere. b) Scrie lista clienților care primesc ambele documente. c) Scrie lista clienților care primesc numai raportul de salarizare. d) Scrie lista clienților care nu primesc niciun document.

Rezolvare. a) Lista unică este reuniunea: $S\cup D=\{204,211,217,223,229,238,245,246,251,263\}$, cu 10 clienți. b) Ambele documente primesc clienții din intersecție: $S\cap D=\{211,223,238,251\}$, adică 4 clienți. c) Numai raportul de salarizare primesc clienții din $S$ care nu sunt în $D$: $S\setminus D=\{204,217,245\}$. d) Niciun document nu primesc clienții din afara reuniunii: ${\complement }_U(S\cup D)=\{267,272,284,291\}$.

Capcană. Cine pune cap la cap cele două liste obține 14 coduri și trimite 14 documente. Patru clienți, 211, 223, 238 și 251, apar în ambele liste, deci ar primi câte două plicuri, cu aceleași documente. Lista corectă are 10 clienți, nu 14.

Verificare. Cele patru zone nu se suprapun și acoperă tot universul: $4+3+3+4=14$, adică $|S\cap D|+|S\setminus D|+|D\setminus S|+|{\complement }_U(S\cup D)|=|U|$, cu $D\setminus S=\{229,246,263\}$. Pe alt drum: $|S\cup D|=7+7-4=10$.

Exemplul 2 — Porumb, irigații și tratamente

Domeniu: agricol.

Enunț. O fermă are 10 parcele, cu codurile 112, 118, 123, 131, 137, 144, 152, 158, 163 și 171. Sunt irigate parcelele din $I=\{112,123,131,144,158,171\}$, au porumb cele din $P=\{112,131,144,158\}$, iar cele din $T=\{112,131,137,158,163\}$ au primit un tratament. Fermierul susține: (1) „Orice parcelă cu porumb este irigată.” (2) „Orice parcelă irigată are porumb.” (3) „Parcelele cu porumb tratate sunt exact parcelele irigate tratate.” Scrie fiecare afirmație ca relație între mulțimi și spune dacă este adevărată; dacă nu este, dă un element care o strică.

Rezolvare. (1) înseamnă $P\subseteq I$. Cele patru elemente ale lui $P$, 112, 131, 144 și 158, sunt toate în $I$, deci afirmația este adevărată. (2) înseamnă $I\subseteq P$. Codul 123 este în $I$, dar nu în $P$, deci afirmația este falsă; la fel, 171. (3) înseamnă $P\cap T=I\cap T$. Avem $P\cap T=\{112,131,158\}$ și $I\cap T=\{112,131,158\}$, deci afirmația este adevărată, deși $P\ne I$.

Capcană. Cine tratează (3) ca și cum ar cere $P=I$ vede că 123 și 171 sunt în $I$, dar nu în $P$, și o declară falsă. Cele două parcele nu au primit tratament, deci nu intră în comparația dintre $P\cap T$ și $I\cap T$.

Verificare. Pe alt drum: $P\setminus I=\varnothing$, deci $P\subseteq I$. Parcelele irigate fără porumb sunt $I\setminus P=\{123,171\}$ și niciuna nu este în $T$, deci $(I\setminus P)\cap T=\varnothing$, ceea ce înseamnă tocmai $P\cap T=I\cap T$.

Exemplul 3 — Pachete pe rafturi, cu unități diferite

Domeniu: alimentar.

Enunț. Un depozit de produse ambalate are 11 pachete, cu codurile și datele din tabel. Masele sunt scrise când în kilograme, când în grame. Pachetele „familiale” formează mulțimea $A$: cele cu masa de cel puțin 500 g. Pachetele cu termen lung formează mulțimea $B$: cele cu cel puțin 30 de zile până la expirare. a) Scrie $A$ și $B$. b) Scrie $A\cap B$, $A\setminus B$ și $B\setminus A$. c) Scrie ponderea fiecărei zone din cele 11 pachete, în procente rotunjite la o zecimală, și spune de ce suma lor nu dă 100 %.

Rezolvare. a) Aduci masele în aceeași unitate, grame: 750, 400, 1200, 500, 300, 900, 1500, 650, 480, 1000 și 250. Cele cu cel puțin 500 g, inclusiv cel de exact 500 g, formează $A=\{301,312,317,331,336,342,354\}$. Termenul de cel puțin 30 de zile dă $B=\{301,312,317,331,342,349,361\}$.

b) $A\cap B=\{301,312,317,331,342\}$, cu 5 pachete. $A\setminus B=\{336,354\}$ și $B\setminus A=\{349,361\}$, fiecare cu 2 pachete. În afara reuniunii rămân 308 și 325, tot 2 pachete.

c) Ponderile sunt $\frac{5}{11}\approx 45,5$ % pentru intersecție și $\frac{2}{11}\approx 18,2$ % pentru fiecare dintre celelalte trei zone. Suma rotunjită este $45,5+18,2+18,2+18,2=100,1$ %, deoarece fiecare rotunjire adaugă o mică eroare, iar fracțiile exacte dau $\frac{5+2+2+2}{11}=1$.

Capcană. Cine compară numerele din tabel fără conversie, 0,75 sau 1,2 cu 500, pune în $A$ doar pachetele a căror masă e scrisă în grame și are cel puțin 500: 317, 331 și 342. Pachetele de 0,75 kg, 1,2 kg, 1,5 kg și 1 kg rămân pe nedrept în afara lui $A$, iar lista corectă are 7 pachete, nu 3.

Verificare. Cele patru zone dau $5+2+2+2=11$ pachete, iar formula $|A\cup B|=7+7-5=9$ se potrivește cu $11-2=9$, adică toate pachetele, mai puțin cele două din afara cercurilor.

Exemplul 4 — Problema inversă: regula din spatele unei liste

Domeniu: turism.

Enunț. Acum mergi invers: ai rezultatul unei operații și cauți operația. O agenție de turism organizează un circuit de weekend, iar fiecare participant are un cod. Agenția ține trei liste: $V=\{214,216,219,223,225,228\}$, participanții la excursia de vineri, $X=\{216,217,223,226,228,231\}$, participanții la excursia de sâmbătă, și $H=\{214,217,223,225,231\}$, cei cazați la hotel. O colegă a lăsat lista celor de sunat sâmbătă dimineață, $T=\{216,226,228\}$, fără să scrie regula după care a făcut-o. Ce operație între $V$, $X$ și $H$ dă exact $T$, ca agenția s-o folosească și la circuitul următor?

Rezolvare. Toate cele trei coduri din $T$ sunt în $X$, deci $T\subseteq X$. Din $X$ lipsesc în $T$ codurile 217, 223 și 231, iar toate trei sunt în $H$; niciun cod din $T$ nu este în $H$. Deci $T$ conține exact participanții de sâmbătă care nu sunt cazați la hotel: $T=X\setminus H$. Ei nu dorm la hotel, așa că trebuie anunțați unde și când îi ia autocarul.

Capcană. Cine se uită numai la 216 și 228, care au fost și vineri, și sâmbătă, propune $V\cap X$. Dar $V\cap X=\{216,223,228\}$: are în plus 223 și îi lipsește 226, deci colega nu a folosit această regulă.

Verificare. Calculezi $X\setminus H$ cod cu cod: din cele 6 coduri ale lui $X$ ies 217, 223 și 231, aflate în $H$, și rămân 216, 226 și 228, exact lista $T$. Numărând, 3 coduri ies și 3 rămân, adică toate cele 6 ale lui $X$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Fie $A=\{8,13,17,22,29,34\}$ și $B=\{13,22,26,34,41\}$. Scrie $A\cup B$, $A\cap B$, $A\setminus B$ și $B\setminus A$.

2. Fie $U=\{6,14,22,33,41,47,58,62,75,89\}$, $A=\{6,22,41,58\}$ și $B=\{14,22,47,58,75\}$. Scrie ${\complement }_{U}A$, ${\complement }_{U}B$ și ${\complement }_U(A\cup B)$.

3. Pentru două mulțimi $A$ și $B$ dintr-un univers $U$, scrie cu simboluri elementele: a) din $A$ sau din $B$; b) din $A$, dar nu din $B$; c) care nu sunt nici în $A$, nici în $B$; d) care nu sunt în ambele mulțimi.

4. Fie $A=\{16,29,37\}$, $B=\{9,16,29,37,44\}$ și $C=\{16,37,52\}$. Spune dacă sunt adevărate $A\subseteq B$, $B\subseteq A$ și $A\subseteq C$; la fiecare relație falsă dă un element care o strică.

Nivelul 2 — situații

5. Un magazin de electrocasnice are în ofertă produsele $U=\{4112,4127,4135,4149,4163,4178,4186,4192,4204\}$. Sunt în promoție produsele din $R=\{4112,4135,4163,4186\}$, iar stocul este epuizat la $E=\{4135,4186,4204\}$. a) Care produse sunt în promoție și au stoc? b) Care produse sunt în promoție sau epuizate? c) Este adevărat că orice produs epuizat este în promoție? d) Câte produse nu sunt nici în promoție, nici epuizate?

6. O fermă de păsări are halele $U=\{318,325,331,346,352,367,374,389,392,408\}$. În $O=\{318,331,352,374,392\}$ s-a schimbat apa, iar în $F=\{325,331,367,374,408\}$ s-a verificat ventilația. a) Scrie mulțimea halelor în care nu s-a făcut nici una, nici alta. b) Șeful fermei are doar listele ${\complement }_{U}O$ și ${\complement }_{U}F$, ale halelor rămase fără câte o lucrare. Ce operație între ele dă lista de la a)? c) Ce operație între aceleași liste dă halele în care lipsește cel puțin o lucrare? Scrie lista.

7. Trei echipe notează materialele livrate pe un șantier. Prima: ciment, var, nisip, ciment, pietriș, nisip, var. A doua: pietriș, nisip, var, ciment. A treia: var, ciment, nisip, pietriș, ipsos. a) Câte intrări are fiecare listă și câte elemente are mulțimea ei? b) Care dintre cele trei mulțimi sunt egale? c) Care este inclusă în care?

8. La o croitorie, clienții au codurile $U=\{18,23,27,31,35,42,46,53,58,64,69,75\}$. Au comandat tiv $M=\{18,27,35,46,58,69\}$, ajustări $P=\{27,31,46,53,69\}$ și reparații $C=\{23,27,46,64,75\}$. a) Scrie $(M\cap P)\setminus C$. b) Scrie $M\cap P\cap C$. c) Scrie $M\cup P\cup C$ și complementara ei.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Cu mulțimile $S$, $D$ și $K$ din situația de pornire, un coleg afirmă: „Un client are salarizare dacă și numai dacă are declarații fiscale sau consultanță.” a) Scrieți afirmația ca egalitate de mulțimi. b) Scrieți cele două implicații ca incluziuni și numiți, pentru fiecare, clienții care o strică. c) Verificați pe liste că $S\cap (D\cup K)=(S\cap D)\cup (S\cap K)$.

10. (Sinteză.) Cu mulțimile $K$ și $D$ din situația de pornire, fie propoziția $p$: „Orice client cu consultanță are și declarații fiscale.” a) Scrieți $p$ ca relație între mulțimi. b) Scrieți negația lui $p$ cu ajutorul unei diferențe și stabiliți care dintre $p$ și negația ei este adevărată. c) Numiți clienții pentru care implicația „dacă $x\in K$, atunci $x\in D$” este falsă.

11. (Sinteză.) Complementara depinde de universul ales. a) Scrieți ${\complement }_{U}S$ pentru universul $U$ al celor 14 clienți. b) Pentru lista de expediere $V=S\cup D$, scrieți ${\complement }_{V}S$ și arătați că este egală cu $D\setminus S$. c) Arătați că, pentru orice mulțimi $A\subseteq V\subseteq U$, ${\complement }_{V}A=V\cap {\complement }_{U}A$.

12. (Sinteză.) Din lista $S$ a clienților cu salarizare, un coleg scoate clienții care nu au declarații fiscale. a) Scrieți cu operații ce rămâne și calculați pe liste. b) Arătați prin dublă incluziune că $A\setminus (A\setminus B)=A\cap B$ pentru orice mulțimi $A$ și $B$.

Răspunsuri și verificări

1. $A\cup B=\{8,13,17,22,26,29,34,41\}$, $A\cap B=\{13,22,34\}$, $A\setminus B=\{8,17,29\}$, $B\setminus A=\{26,41\}$. Verificare: $3+3+2=8$, cât are $A\cup B$.

2. ${\complement }_{U}A=\{14,33,47,62,75,89\}$, ${\complement }_{U}B=\{6,33,41,62,89\}$, iar $A\cup B=\{6,14,22,41,47,58,75\}$, deci ${\complement }_U(A\cup B)=\{33,62,89\}$. Verificare: $4+6=10$ și $7+3=10$.

3. a) $A\cup B$; b) $A\setminus B$, adică $A\cap {\complement }_{U}B$; c) ${\complement }_U(A\cup B)$, adică ${\complement }_{U}A\cap {\complement }_{U}B$; d) ${\complement }_U(A\cap B)$, adică ${\complement }_{U}A\cup {\complement }_{U}B$. Verificare: complementara schimbă „sau” în „și”.

4. $A\subseteq B$ este adevărată: 16, 29 și 37 sunt în $B$. $B\subseteq A$ este falsă: $9\in B$, dar $9\notin A$. $A\subseteq C$ este falsă: $29\in A$, dar $29\notin C$. Verificare: $A\setminus B=\varnothing$, iar $B\setminus A=\{9,44\}$ și $A\setminus C=\{29\}$ nu sunt vide.

5. a) $R\setminus E=\{4112,4163\}$. b) $R\cup E=\{4112,4135,4163,4186,4204\}$. c) Nu: $E⊈R$, fiindcă $4204\in E$, dar $4204\notin R$. d) ${\complement }_U(R\cup E)=\{4127,4149,4178,4192\}$, adică 4 produse. Verificare: $5+4=9$.

6. a) $O\cup F=\{318,325,331,352,367,374,392,408\}$, deci ${\complement }_U(O\cup F)=\{346,389\}$. b) ${\complement }_{U}O=\{325,346,367,389,408\}$, ${\complement }_{U}F=\{318,346,352,389,392\}$; intersecția lor este tot $\{346,389\}$. c) Reuniunea ${\complement }_{U}O\cup {\complement }_{U}F=\{318,325,346,352,367,389,392,408\}$, adică ${\complement }_U(O\cap F)$, cu $O\cap F=\{331,374\}$. Verificare: $2+8=10$.

7. a) 7, 4 și 5 intrări; mulțimile au 4, 4 și 5 elemente. b) Prima și a doua: aceleași patru materiale. c) Prima și a doua sunt incluse una în alta și amândouă în a treia, care are în plus ipsosul. Verificare: ipsosul nu este în prima.

8. a) Din $M\cap P=\{27,46,69\}$ ies 27 și 46, aflate în $C$: rămâne $\{69\}$. b) $M\cap P\cap C=\{27,46\}$. c) $M\cup P\cup C=\{18,23,27,31,35,46,53,58,64,69,75\}$, cu 11 clienți; complementara ei este $\{42\}$. Verificare: $11+1=12$.

9. a) $S=D\cup K$. b) $S\subseteq D\cup K$ o strică 204 și 245, iar $D\cup K\subseteq S$ o strică 229, 246, 263, 267 și 284. Afirmația este falsă. c) Ambii membri sunt $\{211,217,223,238,251\}$, cu $S\cap D=\{211,223,238,251\}$ și $S\cap K=\{217,238,251\}$. Verificare: $|S|=7=5+2$, cu cei doi clienți de la b).

10. a) $p$ înseamnă $K\subseteq D$. b) Negația este $K\setminus D\ne \varnothing$. Cum $K\setminus D=\{217,267,284\}$ nu e vidă, $p$ este falsă, iar negația ei este adevărată. c) Implicația este falsă pentru 217, 267 și 284. Verificare: pentru 238 și 251 ea este adevărată.

11. a) ${\complement }_{U}S=\{229,246,263,267,272,284,291\}$, adică 7 clienți. b) ${\complement }_{V}S=\{229,246,263\}$: în $V$ sunt doar clienți din $S$ sau din $D$, deci cei din afara lui $S$ sunt cei din $D\setminus S$. c) $x\in {\complement }_{V}A$ înseamnă $x\in V$ și $x\notin A$, adică $x\in V$ și $x\in {\complement }_{U}A$, deci $x\in V\cap {\complement }_{U}A$; drumul merge și invers. Verificare: $V\cap {\complement }_{U}S=\{229,246,263\}$, ca la b).

12. a) Rămâne $S\setminus (S\setminus D)$. Cum $S\setminus D=\{204,217,245\}$, rămân $\{211,223,238,251\}$. b) Dacă $x\in A\setminus (A\setminus B)$, atunci $x\in A$ și $x\notin A\setminus B$; fiind în $A$, nu poate lipsi din $B$, deci $x\in A\cap B$. Invers, dacă $x\in A\cap B$, atunci $x\in A$ și, fiind în $B$, $x\notin A\setminus B$, deci $x\in A\setminus (A\setminus B)$. Cele două incluziuni dau egalitatea. Verificare: la a) a ieșit chiar $S\cap D$ din Exemplul 1.

Așa vine la Bac M3

Tema este în programa de examen, dar nu a apărut în probele 2013–2026. Al treilea punct al primului bloc de conținuturi al clasei a IX-a, în programa M_tehnologic, leagă operațiile logice elementare de operațiile și relațiile dintre mulțimi: complementară, intersecție, reuniune, incluziune, egalitate. Din cele 83 de probe oficiale, indexul cerințelor nu etichetează nicio cerință cu această temă. În enunțuri, mulțimile apar mai ales ca mulțimea în care se rezolvă o ecuație, apoi ca spațiu de alegere în cerințele de probabilitate și de numărare, ca mulțime a valorilor unei funcții sau a soluțiilor unei inecuații și ca mulțimea pe care se definește o lege de compoziție; nicio cerință nu cere reuniunea, intersecția sau complementara unor mulțimi și nici o incluziune.

Tema nu are cerințe reale, deci secțiunea nu indică nicio probă și nu propune modele de cerință. Exercițiile 9–12, marcate (Sinteză.), leagă mulțimile de echivalență, de implicație, de alegerea universului și de o demonstrație prin dublă incluziune. Tot traseul clasei a IX-a este pe pagina de traseu, filiera tehnologică. Propozițiile cu „orice” și negarea lor sunt în cuantificatori și negarea enunțurilor, iar punctul care încheie blocul la filiera tehnologică, în inducția matematică pas cu pas.

Greșeli care costă puncte

• Pui cap la cap două liste în loc să faci reuniunea → 14 coduri în loc de 10, iar patru clienți primesc dublu; cum o prinzi: numeri elementele distincte și verifici $7+7-4=10$.
• Iei „sau” ca „ori… ori” și scoți din listă clienții care au ambele servicii → lista unică pierde 211, 223, 238 și 251; cum o prinzi: „sau” include și cazul „ambele”, iar fiecare client cu ambele servicii trebuie să apară o dată.
• Scrii „nu amândouă” ca ${\complement }_{U}S\cap {\complement }_{U}D$ → obții 4 clienți, nu 10; cum o prinzi: „nu amândouă” este ${\complement }_U(S\cap D)$, adică ${\complement }_{U}S\cup {\complement }_{U}D$.
• Citești $K⊈D$ ca $D\subseteq K$ → $D$ are 211, care nu e în $K$, deci a doua relație nu ține; cum o prinzi: cauți un element care strică implicația în sensul cerut.
• Cauți complementara fără să spui în ce univers → „clienții fără salarizare” poate fi alt rezultat în altă listă; cum o prinzi: scrii $U$ înainte de orice complementară.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: legătura dintre operațiile cu mulțimi și operațiile logice face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a IX-a), deși programa nouă a clasei a IX-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. În programa Bacalaureatului din 2030 tema reapare, parțial, în unitatea IX.1 (elemente de logică matematică) la toate cele patru profiluri (MAT_P3–MAT_P6).

Întrebări frecvente

Cum aflu clienții cu consultanță, dar fără salarizare? „Cu consultanță, dar fără salarizare” înseamnă diferența $K\setminus S$. Din $K=\{217,238,251,267,284\}$ scoți clienții care sunt și în $S$, adică 217, 238 și 251. Rămân 267 și 284, cei doi clienți care nu au salarizare. Verifici prin numărare: $|K|=5$, iar $3+2=5$.

Ce se schimbă dacă mai apar doi clienți noi, 255 și 259, ambii cu salarizare? Clienții noi intră în universul $U$, care ajunge la 16 coduri, și în $S$. Nu au declarații, deci $S\setminus D$ crește de la 3 la 5 coduri, iar $S\cup D$ de la 10 la 12. Complementara lui $S\cup D$ față de $U$ rămâne cu aceiași 4 clienți, fiindcă cei noi sunt în $S$, iar încasarea lunară pentru salarizare crește cu $2\cdot 184=368$ lei.

Dacă un client nou, 257, are consultanță și declarații, dar nu salarizare, ce se întâmplă cu incluziunea $K\cap D\subseteq S$? Incluziunea cade. Acum $K\cap D=\{238,251,257\}$, iar 257 nu este în $S$, deci e un contraexemplu. Verifici pe client: 257 este în $K$ și în $D$, dar nu în $S$. Un singur client de acest fel respinge incluziunea, oricâți ceilalți ar respecta-o. Înainte, $K\cap D=\{238,251\}$ era inclusă în $S$.

Cum găsesc clienții care nu au niciunul dintre cele trei servicii? Faci reuniunea $S\cup D\cup K$, cu 12 coduri, și iei complementara ei față de $U$, adică $\{272,291\}$, cei doi clienți care au doar contabilitatea curentă. Verifici că $12+2=14$, adică toți clienții activi. Fără universul de 14 coduri, „clienții fără servicii” nu are un rezultat precis.

Unde așază programa M_tehnologic operațiile cu mulțimi și ce arată probele despre ele? În primul bloc de conținuturi al clasei a IX-a, legate de operațiile logice. În cele 83 de probe oficiale 2013–2026, după indexul cerințelor, nicio cerință nu cere reuniunea, intersecția sau complementara unor mulțimi. Tema este totuși în programă, deci poate fi cerută; exercițiile 9–12 o exersează.