Care afirmație este corectă?

$$\sqrt{9+16}=\sqrt{9}+\sqrt{16}$$

$$\sqrt{9+16}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{16}$$

Care e ordinea operațiilor la numere reale?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Ordinea operațiilor la numere reale

Se lucrează pe patru trepte: întâi parantezele; urmează puterile împreună cu radicalii; apoi vin înmulțirile și împărțirile; la urmă rămân adunările și scăderile. Când două operații stau pe aceeași treaptă, mergi de la stânga spre dreapta. Bara de fracție și semnul radical adună sub ele un bloc întreg, care se calculează separat. La $3^{2} - 16 + 2 \cdot 5$ obții $9 - 4 + 10 = 15$ .

Când calculezi o expresie cu numere reale, nu lucrezi „la întâmplare", ci respecți patru niveluri de prioritate: 1) paranteze → 2) puteri și radicali → 3) înmulțiri și împărțiri → 4) adunări și scăderi. Parantezele se desfac de la interior spre exterior (rotunde → drepte → acolade). Bara de fracție și semnul radical se comportă ca niște „paranteze invizibile": tot ce e sus, tot ce e jos, respectiv tot ce e sub radical se calculează separat, ca un bloc, înainte de restul operațiilor. La aceeași prioritate ( $\times$ cu $:$ , sau $+$ cu $-$ ) lucrezi de la stânga la dreapta.

Exemplu: $E = 3^{2} - 16 + 2 \cdot 5$ . Întâi puterea și radicalul: $3^{2} = 9$ , $16 = 4$ , deci $E = 9 - 4 + 2 \cdot 5$ . Apoi înmulțirea: $2 \cdot 5 = 10$ , deci $E = 9 - 4 + 10$ . La final, de la stânga la dreapta: $9 - 4 = 5$ , apoi $5 + 10 = 15$ . Reține: $a + b \neq = a + b$ !

De reținut

paranteze, apoi puteri și radicali, apoi $\times$ și $:$ , apoi $+$ și $-$
pe aceeași treaptă se merge de la stânga la dreapta
$a + b \neq = a + b$

Greșeala tipică

Se sare peste treapta puterilor și se începe cu înmulțirea, așa că $2 \cdot 3^{2}$ ajunge $36$ în loc de $18$ . Ridicarea la putere se face înaintea oricărei înmulțiri.

Exerciții din această mini-lecție

Calculează: $E = 4 + 3 \cdot 2^{2}$ .
- a) $16$
- b) $28$
- c) $10$
- d) $22$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $16$

Întâi puterea: $2^{2} = 4$ . Apoi înmulțirea: $3 \cdot 4 = 12$ . La final adunarea: $4 + 12 = 16$ . Dacă aduni înainte de a înmulți (greșit), obții $28$ .
Care afirmație este corectă?
- a) $9 + 16 = 9 + 16$
- b) $9 + 16 = 5$
- c) $9 + 16 = 7$
- d) $9 + 16 = 9 \cdot 16$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $9 + 16 = 5$

Sub radical calculezi întâi suma: $9 + 16 = 25$ , apoi extragi rădăcina: $25 = 5$ . Radicalul nu se distribuie peste adunare, deci $9 + 16 = 3 + 4 = 7$ este greșit ca răspuns pentru $9 + 16$ .
Calculează: $E = 5 + 2 \cdot 3^{2}$ .
- a) $23$
- b) $13$
- c) $33$
- d) $17$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $23$

Întâi puterea: $3^{2} = 9$ . Apoi înmulțirea: $2 \cdot 9 = 18$ . La final adunarea: $5 + 18 = 23$ . Dacă uiți exponentul și calculezi $3^{2}$ ca $3 \cdot 2 = 6$ , obții greșit $5 + 2 \cdot 6 = 17$ .

Întrebări conexe

Cum calculez o expresie care are și paranteze, și radicali?

Începi cu ce e închis în paranteze, calculând dinăuntru spre afară. Radicalul se comportă la fel: aduni sau înmulțești mai întâi tot ce stă sub el, apoi extragi. Abia după aceea intri în restul expresiei cu înmulțiri, împărțiri și, la final, adunări. Astfel $(2 + 7) \cdot 4$ devine $36 = 6$ .

De ce minusul din fața unei paranteze schimbă semnele?

Minusul din față înseamnă înmulțire cu $- 1$ , iar acest factor ajunge la fiecare termen dinăuntru. Din $7 - (3 - 5)$ obții $7 - 3 + 5 = 9$ . Dacă păstrezi semnele neschimbate, îți iese $7 - 3 - 5 = - 1$ , adică alt rezultat. Regula se aplică oricărei paranteze, oricât de lungi.

Cât face 8 − 2 · 3 + 4 : 2?

Treci întâi peste treapta a treia: $2 \cdot 3 = 6$ și $4 : 2 = 2$ . Expresia devine $8 - 6 + 2$ , pe care o parcurgi de la stânga: $8 - 6 = 2$ , apoi $2 + 2 = 4$ . Rezultatul este $4$ . Dacă adunai de la început $8$ cu $2$ , ai fi obținut cu totul altceva.

Cum scriu pe pași rezolvarea unei expresii lungi?

Rescrii expresia pe rânduri, iar la fiecare rând schimbi o singură treaptă de prioritate, copiind neatins restul. Așa vezi imediat unde ai greșit, dacă rezultatul nu iese. Semnul egal se pune la începutul fiecărui rând nou, nu înșirat pe același rând, ca lanțul să rămână corect.

Contează ordinea operațiilor și la calculatorul de buzunar?

Da, și diferă de la un aparat la altul. Cele științifice respectă treptele de prioritate, așa că tastând $2 + 3 \times 4$ primești $14$ . Modelele simple calculează în ordinea apăsării tastelor și afișează $20$ . Verifică ce fel de aparat ai sau folosește paranteze, ca să fii sigur de rezultat.

Ce rol are semnul minus în fața unei puteri?

Contează dacă baza intră în paranteză. La $- 3^{2}$ ridici la pătrat doar pe $3$ și abia apoi pui minusul, deci rezultatul este $- 9$ . La $(- 3)^{2}$ baza este numărul negativ întreg, iar produsul a doi factori negativi dă $9$ . Notarea schimbă complet valoarea, nu doar aspectul.

Oamenii mai întreabă și: ordinea operațiilor matematică · ce se calculează primul într-o expresie · prioritatea operațiilor cu radicali · ordinea efectuării operațiilor exerciții · ce fac întâi înmulțirea sau adunarea