Care este prima operație efectuată la calcularea expresiei $$E = \dfrac{2}{5} - \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 : \dfrac{1}{4}$$?

Nu contează ordinea, se calculează de la stânga la dreapta

Care este ultima operație efectuată la calcularea expresiei $$E = \dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{5} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^2$$?

Nu contează ordinea, se calculează de la stânga la dreapta

Care este ordinea operațiilor cu fracții?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Ordinea operațiilor cu numere raționale

Se lucrează pe trei trepte: mai întâi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile, iar la sfârșit adunările și scăderile, fiecare grup parcurs de la stânga spre dreapta. Parantezele trec înaintea tuturor și se desfac dinăuntru spre afară. Linia lungă de fracție ține loc de paranteză: calculezi separat sus și jos, apoi împarți. Pentru $\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}$ faci întâi produsul $\frac{1}{2}$ și obții $1$ .

Ordinea efectuării operațiilor cu numere raționale respectă trei trepte: 1) puteri, 2) înmulțiri și împărțiri (de la stânga la dreapta), 3) adunări și scăderi (de la stânga la dreapta). Parantezele au prioritate absolută și se rezolvă din interior spre exterior: rotunde $()$ → pătrate $[]$ → acolade ${}$ . Linia de fracție se comportă ca o paranteză invizibilă: se calculează separat numărătorul și numitorul, apoi se împarte. Înainte de calculul exact, e util să estimezi rezultatul rotunjind numerele, ca să prinzi greșelile mari, și să alegi metoda optimă (factor comun, grupări convenabile, perechi opuse sau inverse) pentru un calcul mai rapid.

Exemplu: $E = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}$ . Întâi înmulțirea: $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$ . Apoi adunarea: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ . Deci $E = 1$ .

De reținut

puteri, apoi înmulțiri și împărțiri, apoi adunări și scăderi
parantezele se desfac dinăuntru spre exterior
linia lungă de fracție se comportă ca o paranteză

Greșeala tipică

Se efectuează înmulțirile și împărțirile în ordinea în care par mai comode, nu de la stânga la dreapta; la $12 : 3 \cdot 2$ această abatere dă $2$ în loc de $8$ , fiindcă cele două operații au aceeași prioritate.

Exerciții din această mini-lecție

Care este prima operație efectuată la calcularea expresiei $E = \frac{2}{5} - (\frac{1}{2})^{2} : \frac{1}{4}$ ?
- a) Scăderea
- b) Ridicarea la putere
- c) Împărțirea
- d) Nu contează ordinea, se calculează de la stânga la dreapta
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Ridicarea la putere

Puterile se află pe treapta 1 și se calculează întotdeauna primele, înaintea înmulțirilor/împărțirilor (treapta 2) și a adunărilor/scăderilor (treapta 3): $(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ , abia apoi urmează împărțirea și scăderea.
Expresia $\frac{5 + 7}{3 \cdot 2 - 2}$ este echivalentă cu:
- a) $5 + 7 : 3 \cdot 2 - 2$
- b) $(5 + 7) : (3 \cdot 2 - 2)$
- c) $5 + 7 : (3 \cdot 2) - 2$
- d) $(5 + 7) : 3 \cdot (2 - 2)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(5 + 7) : (3 \cdot 2 - 2)$

Linia de fracție se comportă ca o pereche de paranteze: numărătorul $5 + 7$ și numitorul $3 \cdot 2 - 2$ se calculează complet, separat, iar abia la final se face împărțirea dintre ele: $(5 + 7) : (3 \cdot 2 - 2) = 12 : 4 = 3$ .
Care este ultima operație efectuată la calcularea expresiei $E = \frac{3}{4} + \frac{2}{5} \cdot (\frac{1}{2})^{2}$ ?
- a) Ridicarea la putere
- b) Înmulțirea
- c) Adunarea
- d) Nu contează ordinea, se calculează de la stânga la dreapta
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Adunarea

Respectăm cele trei trepte: întâi puterea, $(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ ; apoi înmulțirea, $\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{10}$ ; abia la final adunarea cu $\frac{3}{4}$ . Adunarea este pe ultima treaptă, deci se face ultima.

Întrebări conexe

Cum calculez o expresie cu fracții și puteri?

Ridici mai întâi la putere fiecare fracție, apoi treci la înmulțiri și împărțiri, iar la final aduni și scazi. La o fracție ridicată la putere se ridică și numărătorul, și numitorul. Semnul rezultatului îl dă paritatea exponentului atunci când baza este negativă.

Cum folosesc factorul comun ca să scurtez un calcul cu fracții?

Când același număr înmulțește mai mulți termeni, îl scoți în față și aduni ce rămâne. Din $\frac{2}{5} \cdot 7 + \frac{2}{5} \cdot 3$ obții $\frac{2}{5} \cdot 10 = 4$ . Metoda scurtează mult calculul și scade riscul de greșeală la numere mari.

Ce se întâmplă dacă fac adunarea înaintea înmulțirii?

Rezultatul iese greșit, fiindcă adunarea ar folosi un număr care încă nu a fost calculat. La $\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}$ adunarea făcută prima ar da $\frac{7}{6} \cdot \frac{3}{4}$ , cu totul altceva decât $1$ . Treptele de prioritate există tocmai ca toată lumea să obțină aceeași valoare.

Cum grupez fracțiile opuse ca să calculez mai repede?

Cauți perechile care se anulează și le scoți din calcul. Într-o sumă lungă, $\frac{3}{7}$ împreună cu $- \frac{3}{7}$ dau zero, deci pot fi tăiate. La fel se procedează cu perechile de numere inverse dintr-un produs, care dau $1$ .

În ce ordine calculez o expresie cu acolade și fracții?

Începi cu paranteza rotundă, cea mai dinăuntru, continui cu cea pătrată și închei cu acolada. În fiecare dintre ele respecți aceleași trepte de prioritate. Scrierea rezultatului fiecărui pas pe rândul lui face verificarea ușoară.

Cum scriu pe rânduri pașii unui calcul cu numere raționale?

Pui semnul egal la începutul fiecărui rând nou și copiezi tot ce nu s-a schimbat. Astfel se vede clar ce operație ai făcut la fiecare pas și unde a apărut o eroare. Calculele înghesuite pe un singur rând sunt greu de verificat.

Oamenii mai întreabă și: ordinea operațiilor cu numere raționale · ce se calculează întâi la fracții · prioritatea operațiilor cu fracții · exerciții cu fracții și paranteze