Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Intervale și ordinea operațiilor

Care amestec are raportul apă:făină mai mare?

Compari rapoartele apă pe făină: le scrii ca zecimale sau le compari prin înmulțire în cruce. Exemplu: amestecul A are $7, 2$ kg apă la $12$ kg făină, iar B are $9, 3$ kg apă la $15$ kg făină. Rapoartele sunt $0, 6$ și $0, 62$ , deci B are mai multă apă raportat la făină. Proba în cruce: $7, 2 \cdot 15 = 108 < 111, 6 = 9, 3 \cdot 12$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Numerele reale se pot compara doar când sunt scrise la fel. Un procent se împarte la $100$ , o fracție se transformă în zecimal sau se compară cu alta prin înmulțire în cruce, iar două numere pozitive cu radical se compară prin numerele de sub radical. Mărimile cu unități diferite se aduc mai întâi la aceeași unitate.

Un interval are paranteză pătrată la capătul care face parte din el și paranteză rotundă la capătul exclus. Cuvintele «cel mult» și «cel puțin» includ capătul, iar «sub» și «peste» îl exclud. Intersecția pornește de la cel mai mare dintre capetele din stânga și se oprește la cel mai mic dintre capetele din dreapta; un capăt rămâne inclus doar dacă aparține ambelor intervale. Reuniunea unește intervalele, iar diferența păstrează ce este în primul interval și nu este în al doilea.

Într-un calcul rezolvi mai întâi parantezele; urmează produsele și câturile, parcurse de la stânga la dreapta, iar la urmă sumele și diferențele. Fracțiile și zecimalele se aduc la aceeași formă înainte de calcul.

Capcanele sunt procentul comparat ca atare cu un zecimal, capătul inclus scris cu paranteză rotundă și calculul făcut de la stânga la dreapta, fără prioritate. Verifici așezând numerele pe axă și refăcând calculul pe alt drum.

De reținut

rapoartele se compară, nu masele
înmulțirea în cruce compară fracții cu numitori pozitivi
proba: scrii rapoartele ca zecimale

Greșeala tipică

Se compară masele de apă, nu rapoartele: $8$ kg apă la $14$ kg făină pare mai mult decât $7, 2$ kg la $12$ kg, dar $8 : 14 \approx 0, 571$ este sub $7, 2 : 12 = 0, 6$ . Corect se compară rapoartele.

Exerciții din această mini-lecție

Patru panouri fotovoltaice (electric) au randamentele $0, 18$ , $19 %$ , $\frac{3}{16}$ și $\frac{4}{21}$ . Care panou are cel mai mare randament?
- a) $0, 18$
- b) $19 %$
- c) $\frac{3}{16}$
- d) $\frac{4}{21}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{4}{21}$

Aduse la zecimale, randamentele sunt $0, 18$ , $0, 19$ , $0, 1875$ și $\frac{4}{21} \approx 0, 1905$ ; prin înmulțire în cruce, $4 \cdot 100 = 400 > 399 = 19 \cdot 21$ , deci $\frac{4}{21} > 19 %$ . Cine compară $19$ cu $0, 18$ fără să împartă procentul la $100$ alege $19 %$ ; $\frac{3}{16}$ și $0, 18$ rămân sub celelalte două.
Doi reactivi se păstrează în același depozit: primul la temperaturi din intervalul $[- 6; 4)$ , al doilea la temperaturi din $(- 2; 9]$ , în grade Celsius. În ce interval se pot păstra amândoi?
- a) $[- 2; 4)$
- b) $(- 2; 4)$
- c) $(- 2; 4]$
- d) $[- 6; 9]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(- 2; 4)$

Capătul stâng cel mai mare este $- 2$ , exclus din al doilea interval, iar capătul drept cel mai mic este $4$ , exclus din primul: intersecția este $(- 2; 4)$ . Variantele cu $- 2$ sau cu $4$ inclus uită că aceste capete lipsesc dintr-un interval, iar $[- 6; 9]$ este reuniunea, nu intersecția.
Un antreprenor de construcții calculează într-o foaie de calcul $E = 20 - 2, 5 \cdot (\frac{9}{5} - \frac{3}{4}) \cdot 4$ , în mii de lei. Cât este $E$ ?
- a) $9, 5$
- b) $73, 5$
- c) $5$
- d) $12, 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $9, 5$

Paranteza dă $1, 8 - 0, 75 = 1, 05$ , apoi $2, 5 \cdot 1, 05 \cdot 4 = 10, 5$ și $E = 20 - 10, 5 = 9, 5$ . Varianta $12, 5$ ignoră paranteza: $20 - 2, 5 \cdot 1, 8 - 0, 75 \cdot 4$ ; $73, 5$ face scăderea $20 - 2, 5$ înaintea înmulțirilor; $5$ calculează $20 - (2, 5 \cdot 1, 8 - 0, 75) \cdot 4$ , adică scade $0, 75$ abia după înmulțirea cu $2, 5$ .

Întrebări conexe

Câte numere întregi sunt într-un interval cu capăt radical?

Încadrezi radicalul între două pătrate perfecte. Pentru $[30; 9)$ : $5^{2} = 25 < 30 < 36 = 6^{2}$ , deci $5 < 30 < 6$ , iar întregii din interval sunt $6$ , $7$ și $8$ . Capătul $9$ este exclus, deci nu se numără.

Ce paranteză pun la un capăt care nu e inclus?

Paranteza rotundă. Pentru «mai mult de $12$ și cel mult $20$ » scrii $(12; 20]$ : $12$ nu face parte din interval, iar $20$ face parte. Dacă valoarea de la capăt trebuie acceptată, paranteza este pătrată.

Cum scot din interval un număr izolat?

Folosești diferența cu o mulțime cu un singur element. Din $[0; 10]$ scoți $4$ și obții $[0; 4) \cup (4; 10]$ . Capătul $4$ este exclus din ambele părți, iar $0$ și $10$ rămân incluse.

Cum ordonez trei prețuri date pe unități diferite?

Aduci prețurile la aceeași unitate înainte de comparare. Pentru $7, 80$ lei pe $3$ kg, $2, 55$ lei pe kg și $8, 20$ lei pe $4$ kg, prețurile pe kilogram sunt $2, 60$ , $2, 55$ și $2, 05$ . Ordinea crescătoare este $2, 05 < 2, 55 < 2, 60$ .

Cum introduc o expresie cu paranteze într-un calculator?

Tastezi parantezele exact ca pe hârtie, fiindcă împărțirea se face înaintea scăderii. Expresia $(5, 6 - 1, 2) : 0, 8 + 2$ dă $4, 4 : 0, 8 + 2 = 7, 5$ , dar fără paranteze calculatorul face $5, 6 - 1, 2 : 0, 8 + 2 = 6, 1$ . Verifici refăcând calculul pe hârtie, cu fracții.

Ce cerințe despre numere reale apar în probele oficiale?

Un calcul cu numere reale, la prima cerință din Subiectul I, a apărut în 67 de probe M_tehnologic din 2013–2026, ca o egalitate numerică de arătat. Ordonarea și intervalele nu au cerințe proprii în aceste probe.

Oamenii mai întreabă și: care amestec are raportul mai mare · compararea a două rapoarte · apă pe făină în două rețete · rețeta cu mai multă apă