Compari numere și intervale: liceu tehnologic

Un brutar trebuie să afle dacă un singur aluat merge și la pâine, și la chifle, iar rețetele îi vin scrise în moduri diferite: ca fracție, ca zecimal, ca procent. Ca să le compare, le aduce la aceeași formă și apoi caută ce au în comun două intervale. Asemenea comparații faci la clasa a IX-a de liceu tehnologic, iar aducerea numerelor la aceeași formă îți folosește și la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic): prima cerință a Subiectului I, un calcul cu numere reale, a apărut în 67 de probe.

Situația de pornire

O brutărie de cartier vrea să facă dintr-un singur aluat atât pâine de casă, cât și chifle, ca să nu mai frământe de două ori. Brutarul măsoară hidratarea unui aluat, adică raportul dintre masa apei și masa făinii: o hidratare de 0,62 înseamnă 62 kg de apă la 100 kg de făină. Fiecare sortiment are o fișă cu limitele hidratării, capetele incluse, scrise în moduri diferite, fiindcă fișele vin de la trei furnizori de rețete.

Brutarul are trei variante de rețetă și vrea să știe ce hidratare are fiecare.

Întrebare: în ce ordine cresc hidratările celor trei variante, între ce valori trebuie să fie hidratarea ca aluatul să meargă și la pâinea de casă, și la chifle, și care variantă se potrivește?

De la situație la model

Tabelul traduce cuvintele brutarului în cuvinte din matematică.

Intervalul închis $[a;b]$ este mulțimea numerelor reale $x$ pentru care $a\le x\le b$, deci capetele fac parte din interval. La intervalul deschis $(a;b)$ capetele lipsesc, iar la cele semideschise, $[a;b)$ și $(a;b]$, un singur capăt e inclus. Intersecția a două mulțimi este mulțimea elementelor din ambele, reuniunea este mulțimea elementelor din cel puțin una, iar diferența $A\setminus B$ conține elementele lui $A$ care nu sunt în $B$.

Cum compari numere scrise în forme diferite?

Le aduci la aceeași formă. Un procent se împarte la 100: 58 % înseamnă 0,58. O fracție se transformă în zecimal prin împărțire: $\frac{3}{5}=0,6$. Dacă nu vrei zecimale, compari două fracții cu numitori pozitivi prin înmulțire încrucișată: $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ exact când $ad<bc$. Pentru $\frac{5}{8}$ și $\frac{31}{50}$ (adică 0,62): $5\cdot 50=250$ și $31\cdot 8=248$, deci $\frac{5}{8}$ e mai mare. Numerele cu radical, pozitive, se compară prin pătratele lor: $\sqrt{p}<\sqrt{q}$ exact când $p<q$. Valorile apropiate ale radicalilor, cu rotunjirea lor, sunt în lecția aproximări prin lipsă și prin adaos.

Ce înseamnă „capetele incluse”?

Înseamnă că valorile de la capete sunt bune. La o fișă care spune „de la 0,55 la 0,62” aluatul cu hidratarea 0,62 e acceptat; la una care spune „sub 0,62” nu. În scris, paranteza pătrată include capătul, iar cea rotundă îl exclude. Greșeala de paranteză schimbă răspunsul exact la valorile de capăt, care sunt cele mai ușor de uitat. Când limitele vin sub forma „o valoare nominală și o abatere”, ca la piesele strunjite, le scrii ca interval cu ajutorul modulului, din lecția modulul unui număr real: toleranțe.

Cum afli ce au două intervale în comun?

Pentru intersecție iei capătul din stânga cel mai mare și capătul din dreapta cel mai mic; un capăt rămâne inclus numai dacă e inclus în ambele intervale. Pentru pâine, $[0,58;0,66]$, și chifle, $[0,55;0,62]$, capetele sunt 0,58 și 0,62, ambele incluse în cele două intervale, deci $A\cap B=[0,58;0,62]$. Reuniunea a două intervale care se suprapun e un singur interval, de la cel mai mic capăt stâng la cel mai mare capăt drept: $[0,55;0,66]$. Diferența $A\setminus B$ păstrează ce e la pâine și nu e la chifle, adică $(0,62;0,66]$: 0,62 iese, fiindcă e bun și la chifle. Aceleași operații, la mulțimi de oricare fel, sunt în lecția operații cu mulțimi: liste de clienți.

În ce ordine faci operațiile dintr-un calcul?

Prioritatea e aceasta: mai întâi ce e în paranteze; apoi, la același nivel, înmulțirile și împărțirile, în ordinea în care apar; la urmă adunările și scăderile, tot în ordinea în care apar. De exemplu, $12-2\cdot (5-3,5)=12-2\cdot 1,5=12-3=9$. Într-o expresie cu fracții și zecimale, transformi toate numerele în aceeași formă înainte să calculezi.

Metoda pas cu pas

1. Aduci numerele la aceeași formă. Procentele se împart la 100, deci 58 % înseamnă 0,58; fracțiile se transformă în zecimale prin împărțire sau se compară prin înmulțire încrucișată; mărimile cu unități diferite se aduc la una singură, de pildă toate lungimile în centimetri. La o rețetă, hidratarea e apa împărțită la făină, în aceeași unitate de masă.
2. Compari. La zecimale începi cu partea întreagă și mergi cifră cu cifră spre dreapta; la fracții cu numitori pozitivi folosești înmulțirea încrucișată; la numere pozitive cu radical compari numerele de sub radical. Dacă două numere par egale, ca 0,35 și $\frac{7}{20}$, le scrii în aceeași formă și vezi dacă sunt chiar egale; la valori apropiate, ca 0,62 și 0,625, nu te grăbi să le consideri egale. Apoi le așezi pe axă, de la stânga la dreapta, și verifici că fiecare stă între vecinii lui.
3. Scrii condiția ca interval. Paranteza pătrată include capătul, cea rotundă îl exclude: „capetele incluse” și „cel mult” cer paranteză pătrată, iar „sub” și „peste” cer paranteză rotundă. Apoi faci intersecția, cu capătul stâng cel mai mare și capătul drept cel mai mic, reuniunea sau diferența. Dacă intervalele nu se suprapun, intersecția e mulțimea vidă, iar reuniunea nu mai e un singur interval.
4. La un calcul respecți prioritatea operațiilor: paranteza, apoi înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea. La o expresie lungă calculezi întâi fiecare paranteză separat. Verifici pe alt drum, de pildă transformând zecimalele în fracții sau invers, și scrii fiecare pas pe un rând.

Fișa de buzunar

$$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}⟺ad<bc(b>0,d>0)$$

$$x\in [a;b]⟺a\le x\le b$$

$$\sqrt{p}<\sqrt{q}⟺p<q(p\ge 0,q\ge 0)$$

Se aplică numai numerelor reale scrise în aceeași formă. Verificare rapidă: un număr de pe lista ordonată trebuie să stea între vecinii lui, iar un capăt inclus trebuie să verifice inegalitatea cu „$\le$”.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Hidratările de la brutărie

Domeniu: alimentar.

Enunț. Reia brutăria din situația de pornire. Pâinea de casă are hidratarea admisă între 58 % și 66 %, chifle între 0,55 și 0,62, capetele fiind incluse, iar variantele de rețetă sunt: A cu 5 kg de făină și 3,1 kg de apă, B cu 8 kg de făină și 5 kg de apă, C cu 12 kg de făină și 7,6 kg de apă. a) Ordonați crescător hidratările variantelor. b) Determinați intervalul hidratărilor bune și pentru pâine, și pentru chifle. c) Care variantă se potrivește? d) Ce hidratări sunt bune la pâine, dar nu la chifle?

Rezolvare. a) Hidratarea e apa împărțită la făină: A are $\frac{3,1}{5}=0,62$, B are $\frac{5}{8}=0,625$, iar C are $\frac{7,6}{12}=\frac{19}{30}$. Pentru B și C: $5\cdot 30=150$ și $19\cdot 8=152$, deci $\frac{5}{8}<\frac{19}{30}$. Ordinea este $0,62<\frac{5}{8}<\frac{19}{30}$, adică A, B, C.

b) Pâinea: 58 % = 0,58 și 66 % = 0,66, deci $A=[0,58;0,66]$; chiflele: $B=[0,55;0,62]$. Capătul din stânga cel mai mare e 0,58, iar capătul din dreapta cel mai mic e 0,62, amândouă incluse în ambele intervale: $A\cap B=[0,58;0,62]$.

c) Varianta A are 0,62, care e în $[0,58;0,62]$. Varianta B are 0,625, peste capătul din dreapta, iar varianta C are $\frac{19}{30}=0,6333\dots$, tot peste el. Se potrivește numai varianta A.

d) Pentru pâine, dar nu pentru chifle: valorile din $[0,58;0,66]$ care nu sunt în $[0,55;0,62]$, adică $(0,62;0,66]$.

Capcană. Cine scrie intersecția cu paranteze rotunde, $(0,58;0,62)$, scoate exact hidratarea 0,62 și ar spune că nicio variantă nu se potrivește. Fișele spun „capetele incluse”, deci parantezele trebuie să fie pătrate.

Verificare. Pe alt drum, cu capetele puse în inecuații: $0,58\le 0,58\le 0,62$ și $0,55\le 0,58\le 0,62$, deci 0,58 e bun pentru ambele; 0,579 iese din pâine, iar 0,621 iese din chifle. Pentru A, $3,1:5=0,62$ și $0,62\cdot 5=3,1$ kg.

Exemplul 2 — Compoziția unui aliaj

Domeniu: chimie.

Enunț. Un atelier de turnătorie pregătește 75 kg de aliaj: cupru $\frac{3}{5}$ din masă, zinc 0,27 din masă, staniu 9 % din masă, iar restul plumb. a) Ordonați crescător părțile de cupru, zinc și staniu. b) Calculați partea de plumb și masa fiecărui component.

Rezolvare. a) Aduci totul la zecimale: $\frac{3}{5}=0,6$, zincul are 0,27, iar staniul 9 % = 0,09. Ordinea este $0,09<0,27<0,6$: staniu, zinc, cupru.

b) Părțile adunate sunt $0,6+0,27+0,09=0,96$, deci plumbul are $1-0,96=0,04$ din masă. Masele sunt: cupru $0,6\cdot 75=45$ kg, zinc $0,27\cdot 75=20,25$ kg, staniu $0,09\cdot 75=6,75$ kg, plumb $0,04\cdot 75=3$ kg.

Capcană. Cine adună $\frac{3}{5}+0,27+9$ fără să transforme procentul obține 9,87, un număr peste 1, și ar ajunge la o parte negativă de plumb. Procentul se împarte mai întâi la 100.

Verificare. Masele se adună la masa totală: $45+20,25+6,75+3=75$ kg, la fel ca la început.

Exemplul 3 — Tubulatura de ventilație a unei hale

Domeniu: constructii.

Enunț. Proiectul de ventilație al unei hale cere, pe trei tronsoane, secțiunile interioare minime de 0,125 m², 0,128 m² și 0,1296 m². Instalatorul montează tubulatură pătrată, iar în atelier are tubulatură cu latura interioară de 35,5 cm, rămasă de la altă lucrare. a) Scrieți secțiunile în cm². b) Ordonați crescător laturile minime ale celor trei tubulaturi. c) Pe ce tronson poate folosi tubulatura rămasă fără să coboare sub secțiunea cerută?

Rezolvare. a) Un metru pătrat are 10 000 cm², deci secțiunile sunt 1 250 cm², 1 280 cm² și 1 296 cm².

b) Latura minimă e rădăcina pătrată a secțiunii: $\sqrt{1250}=25\sqrt{2}$, $\sqrt{1280}=16\sqrt{5}$, $\sqrt{1296}=36$. Numerele sunt pozitive, deci le compari prin pătratele lor, adică prin secțiuni: $1250<1280<1296$. Ordinea laturilor minime este $25\sqrt{2}<16\sqrt{5}<36$.

c) Compari 35,5 cu fiecare latură minimă prin pătrate: $35,5^2=1260,25$. Primul tronson cere 1 250 cm², mai puțin, deci $25\sqrt{2}<35,5$ și tubulatura rămasă ajunge. Celelalte două cer 1 280 cm² și 1 296 cm², mai mult decât 1 260,25 cm², deci latura de 35,5 cm le-ar micșora secțiunea. Tubulatura rămasă merge numai pe primul tronson.

Capcană. Cine transformă metrii pătrați în centimetri pătrați înmulțind cu 100, ca la lungimi, obține 12,5 cm², adică o latură de circa 3,5 cm: o tubulatură cât un deget. Un metru pătrat e un pătrat de 100 cm pe 100 cm, deci are 10 000 cm².

Verificare. Prin aproximări: $25\sqrt{2}\approx 35,36$, $16\sqrt{5}\approx 35,78$ și $36$, în aceeași ordine ca mai sus; 35,36 e singura latură minimă sub 35,5.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: o egalitate de arătat

Domeniu: comert.

Enunț. La examen apare, cu alte valori, o egalitate de arătat, de felul: „Arătați că $\left(2,4-\frac{3}{4}\right):\frac{11}{10}+\frac{1}{2}=2$.” Numerele pot fi, de pildă, prețuri unitare în lei.

Rezolvare. Așa scrii pe lucrare. Calculezi întâi paranteza: $2,4-\frac{3}{4}=2,4-0,75=1,65$, adică $\frac{33}{20}$. Apoi împarți: $\frac{33}{20}:\frac{11}{10}=\frac{33}{20}\cdot \frac{10}{11}=\frac{3}{2}$. La urmă adaugi: $\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2$. Ai ajuns la valoarea din dreapta, deci egalitatea e adevărată.

Capcană. Cine nu ține seama de paranteză face împărțirea înaintea scăderii: $2,4-\frac{3}{4}:\frac{11}{10}=2,4-\frac{15}{22}$, o valoare diferită de $1,65$. Paranteza spune ce se calculează întâi.

Verificare. Pe alt drum, cu toate numerele ca fracții: $\frac{12}{5}-\frac{3}{4}=\frac{48-15}{20}=\frac{33}{20}$; apoi $\frac{33}{20}\cdot \frac{10}{11}=\frac{3}{2}$ și $\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Ordonează crescător numerele: 0,72; $\frac{3}{4}$; 71 %; $\frac{8}{11}$.

2. Se consideră intervalele $A=[-13;9)$ și $B=(4;22]$. Determină $A\cap B$, $A\cup B$, $A\setminus B$ și $B\setminus A$.

3. Calculează $\frac{2}{3}+\frac{7}{9}:\frac{14}{15}$.

4. Compară $\frac{17}{24}$ și $\frac{13}{18}$ prin înmulțire încrucișată și scrie valorile lor zecimale, rotunjite la trei zecimale.

Nivelul 2 — situații

5. În foaia de calcul a unei agenții de turism, orele se trec ca numere zecimale (11,25 h înseamnă 11:15): muzeul e deschis între 9,5 h și 17 h, un restaurant din apropiere între 11,25 h și 22 h, iar ghidul poate prelua grupul între 10 h și 13,75 h. a) Între ce ore sunt deschise și muzeul, și restaurantul? b) Între ce ore sunt disponibili toți trei? c) Un grup anunță că sosește la 13:48: mai e liber ghidul?

6. Un comerciant primește trei oferte de ulei pentru fritură: A, 5 l la 38,5 lei; B, 3 l la 22,5 lei; C, $2\frac{1}{2}$ l la 19 lei. Calculează prețul pe litru la fiecare ofertă și ordonează ofertele crescător după acest preț.

7. Un tâmplar are patru scânduri cu lungimile 2,35 m; $2\frac{7}{20}$ m; 2 m 36 cm și 234 cm. Scrie lungimile în centimetri, ordonează-le crescător și spune care două sunt egale.

8. La un motor diesel, cuplul maxim se obține între 1 750 și 2 800 rot/min, capetele fiind incluse, iar consumul minim între 1 900 rot/min, exclusiv, și 3 100 rot/min, inclusiv. a) Determină turațiile la care motorul are cuplul maxim și consumul minim. b) Determină turațiile la care are cel puțin una dintre cele două proprietăți. c) Are motorul ambele proprietăți la 1 900 rot/min?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Pentru $a=4$ arătați că $\frac{a}{3}-\frac{3}{a}=\frac{7}{12}$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Arătați că $(3,7-1,2)\cdot 6-4\cdot 0,75=12$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Arătați că $\left(2+\frac{3}{8}\right):5+\frac{3}{40}=\frac{11}{20}$.

12. (Sinteză.) Se consideră intervalele $A=[m;9]$ și $B=(4;22]$, cu $m$ număr real. a) Pentru $m=6$ determinați $A\cap B$ și $A\cup B$. b) Determinați mulțimea numerelor reale $m$ pentru care $A\cap B=(4;9]$. c) Pentru $m=4$ determinați $A\setminus B$.

Răspunsuri și verificări

1. Cu zecimale: $\frac{3}{4}=0,75$, 71 % = 0,71 și $\frac{8}{11}=0,7272\dots$. Ordinea este $71\%<0,72<\frac{8}{11}<\frac{3}{4}$. Verificare: $8\cdot 4=32<33=3\cdot 11$, deci $\frac{8}{11}<\frac{3}{4}$.

2. $A\cap B=(4;9)$, $A\cup B=[-13;22]$, $A\setminus B=[-13;4]$ și $B\setminus A=[9;22]$. Verificare: 4 e în $A$, nu în $B$, deci rămâne în $A\setminus B$, iar 9 e în $B$, nu în $A$.

3. $\frac{7}{9}:\frac{14}{15}=\frac{7}{9}\cdot \frac{15}{14}=\frac{5}{6}$, apoi $\frac{2}{3}+\frac{5}{6}=\frac{4}{6}+\frac{5}{6}=\frac{3}{2}$. Verificare: în zecimale, $0,7778:0,9333\approx 0,8333$ și $0,6667+0,8333=1,5$.

4. $17\cdot 18=306$ și $13\cdot 24=312$, deci $\frac{17}{24}<\frac{13}{18}$. Valorile sunt 0,708 și 0,722. Verificare: 0,708 < 0,722.

5. a) $[11,25;17]$ h. b) $[11,25;13,75]$ h. c) Nu: 13:48 înseamnă $13+\frac{48}{60}=13,8$ h, iar 13,8 > 13,75, deci ghidul nu mai e liber. Verificare: invers, 13,75 h înseamnă 13:45, adică trei minute înainte de 13:48.

6. A: $38,5:5=7,7$ lei/l; B: $22,5:3=7,5$ lei/l; C: $19:2,5=7,6$ lei/l. Ordinea crescătoare este B, C, A. Verificare: $7,6\cdot 2,5=19$ lei.

7. 235 cm, 235 cm, 236 cm și 234 cm. Ordinea este 234 cm < 235 cm = 235 cm < 236 cm: scândurile de 2,35 m și $2\frac{7}{20}$ m sunt egale. Verificare: $\frac{7}{20}=0,35$.

8. a) $[1750;2800]\cap (1900;3100]=(1900;2800]$ rot/min. b) $[1750;3100]$ rot/min. c) Nu: 1 900 e în primul interval, dar nu în al doilea, fiindcă acolo e exclus. Verificare: 1 900 > 1 900 e fals.

9. Înlocuiești: $\frac{4}{3}-\frac{3}{4}$. Aduci la numitorul 12: $\frac{16}{12}-\frac{9}{12}$. Rezultă $\frac{7}{12}$. Verificare: $\frac{4}{3}=1,333\dots$ și $\frac{3}{4}=0,75$, iar $1,333\dots -0,75=0,5833\dots =\frac{7}{12}$.

10. Paranteza: $3,7-1,2=2,5$. Apoi $2,5\cdot 6=15$ și $4\cdot 0,75=3$. Rezultă $15-3=12$. Verificare: cu fracții, $\frac{5}{2}\cdot 6-4\cdot \frac{3}{4}=15-3=12$.

11. Paranteza: $2+\frac{3}{8}=\frac{19}{8}$. Apoi $\frac{19}{8}:5=\frac{19}{40}$. Rezultă $\frac{19}{40}+\frac{3}{40}=\frac{22}{40}=\frac{11}{20}$. Verificare: $2,375:5=0,475$, iar $0,475+0,075=0,55=\frac{11}{20}$.

12. a) Pentru $m=6$, $A=[6;9]$, deci $A\cap B=[6;9]$ și $A\cup B=(4;22]$. b) Capătul 4 e exclus din $B$, deci $(4;9]$ apare cât timp $A$ conține tot intervalul $(4;9]$, adică pentru $m\le 4$: $m\in (-\infty ;4]$. c) Pentru $m=4$, $A=[4;9]$, iar $A\setminus B=\{4\}$, fiindcă 4 e în $A$ și nu e în $B$. Verificare: la $m=4$, $A\cap B=(4;9]$, deci rămâne doar 4.

Așa vine la Bac M3

Calculul cu numere reale apare în probele oficiale 2013–2026 în 67 de probe din cele 83, de fiecare dată la prima cerință a Subiectului I, ca o egalitate numerică de arătat, cu fracții, zecimale sau paranteze, iar în 20 dintre ele și cu radicali. Ordonarea numerelor și intervalele nu au cerințe proprii în indexul făcut din cele 83 de probe; ele fac parte din programa de examen și le exersezi în exercițiile 1–8. Patru cerințe reale, din probe diferite, arată formele:

• August 2014, Subiectul I, exercițiul 1: după înlocuirea lui $a=3$ trebuie arătat că o diferență de fracții cu numitori diferiți este $\frac{5}{6}$, deci pasul 1 din Metodă aduce fracțiile la același numitor, iar baremul probei acordă 2 puncte pentru $\frac{3}{2}-\frac{2}{3}$ și 3 puncte pentru valoarea $\frac{5}{6}$.
• Modelul din 2020, Subiectul I, exercițiul 1: se cere un produs de două paranteze cu numere întregi, deci pasul 4 fixează ordinea, parantezele întâi, iar baremul probei acordă 2 puncte pentru prima paranteză, 4, și 3 puncte pentru a doua paranteză, 16, și produsul 64.
• Proba specială din 2022, Subiectul I, exercițiul 1: expresia are zecimale, o paranteză și două înmulțiri, deci pasul 4 dă ordinea, iar baremul probei acordă 3 puncte pentru $1\cdot 3-1$ și 2 puncte pentru rezultatul 2.
• Simularea din 2026, Subiectul I, exercițiul 1: o paranteză cu un întreg și o fracție, împărțită la 4, și o fracție adunată la urmă, deci pasul 4 calculează întâi paranteza, ca fracție, iar baremul probei acordă 3 puncte pentru $\frac{18}{5}\cdot \frac{1}{4}$ și 2 puncte pentru $\frac{9}{10}+\frac{1}{10}=1$.

La examen, calculezi membrul din stânga pe pași, fiecare pe rândul lui, și ajungi la valoarea din dreapta; nu pornești de la rezultat. Exercițiile 9–11 repetă trei dintre aceste forme. Celelalte teme ale clasei sunt în traseul de matematică pentru clasa a IX-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

• Compari numere din forme diferite fără să le convertești, de exemplu spui că 66 % e mai mare decât 0,7 fiindcă 66 > 0,7 → cum o prinzi: scrii 66 % = 0,66, un număr sub 0,7.
• Citești „cel mult 0,62” ca „sub 0,62” și pui paranteză rotundă la capătul de sus → cum o prinzi: te întrebi dacă valoarea de la capăt e bună; la „cel mult” este, deci capătul rămâne inclus.
• Aduni un procent ca atare, fără să-l împarți la 100 → cum o prinzi: un procent din întreg e un număr între 0 și 1; dacă ai obținut un total peste 1, ai uitat o conversie.
• Calculezi de la stânga la dreapta, fără să respecți prioritatea înmulțirii → cum o prinzi: la $(2,5-0,5)\cdot 4-3\cdot 0,5$ corect e $8-1,5=6,5$, dar dacă scazi 3 din 8 și apoi înmulțești cu 0,5 obții 2,5, o valoare alta.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: efectuarea operațiilor cu numere reale, împreună cu ordonarea lor și cu operațiile cu intervale, face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a IX-a), deși programa nouă a clasei a IX-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 67 de probe, la Subiectul I. În programa Bacalaureatului din 2030 tema reapare, parțial, în unitatea XI.1 (calcul numeric și algebric aplicat) la unele profiluri (MAT_P3 și MAT_P4).

Întrebări frecvente

Poate fi folosit pentru ambele sortimente un aluat cu hidratarea exact 0,62? Da. Fișa pentru chifle include capătul de sus, deci hidratarea 0,62 e acceptată, iar la pâinea de casă ea stă în interiorul intervalului. De aceea 0,62 face parte din intersecția celor două fișe. Dacă fișa ar fi spus „sub 0,62”, aluatul nu s-ar fi potrivit.

Cum compar $\frac{5}{8}$ cu 0,62, fără să împart? Scrii 0,62 ca $\frac{62}{100}$ și înmulțești în cruce: $5\cdot 100=500$ și $62\cdot 8=496$. Cum 500 > 496 și numitorii sunt pozitivi, $\frac{5}{8}$ e mai mare decât 0,62, cu foarte puțin. Aceeași metodă merge pentru orice două fracții cu numitori pozitivi, fără calculator.

Ce hidratări sunt bune la pâinea de casă, dar nu la chifle? Cele din $[0,58;0,66]$ care nu sunt în $[0,55;0,62]$, adică $(0,62;0,66]$. Capătul de 0,62 iese, fiindcă e bun și la chifle, iar 0,66 rămâne, pentru că fișa de la pâine îl include. Răspunsul e un interval semideschis, cu o paranteză rotundă și una pătrată.

Ce se schimbă dacă adaug și pâinea cu secară? Faci intersecția a trei intervale. Cel mai mare capăt stâng e $\frac{3}{5}=0,6$, de la secară (care merge până la $\frac{7}{10}$), iar cel mai mic capăt drept e 0,62, de la chifle; ambele sunt incluse în toate fișele în care apar. Rezultă $[0,6;0,62]$. Varianta A, cu 0,62, se potrivește în continuare, iar 0,6 e cea mai uscată hidratare bună pentru toate trei sortimentele.

Ce fel de cerință pe această temă vine la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic)? În indexul celor 83 de probe oficiale, 67 au la prima cerință a Subiectului I un calcul numeric cu numere reale, de forma „Arătați că …”. Ordonarea și intervalele sunt în programa de examen, dar în aceste probe nu au cerințe proprii. De aceea exercițiile 9–11 repetă forma „Arătați că”.

Ce scriu pe lucrare la o cerință „Arătați că”? Pornești de la membrul din stânga și îl calculezi pe pași, cu parantezele întâi, până ajungi la numărul din dreapta. Fiecare calcul stă pe un rând, ca să se vadă ordinea. Nu pornești de la rezultat și nu scrii doar răspunsul: cerința e să arăți drumul.