Se dă tabelul: $$x$$: 3, 6, 9 și $$y$$: 12, 24, 36. Sunt mărimile $$x$$ și $$y$$ direct proporționale?

Da, coeficientul de proporționalitate este $$4$$.

Da, coeficientul de proporționalitate este $$3$$.

Nu, deoarece rapoartele $$y/x$$ nu sunt egale.

Nu se poate stabili fără un grafic.

Un grafic arată o dreaptă care taie axa verticală (Oy) în punctul $$(0;7)$$, nu în origine. Ce putem spune despre cele două mărimi reprezentate?

Nu sunt direct proporționale, pentru că dreapta nu trece prin origine.

Sunt direct proporționale, pentru că punctele stau pe o dreaptă.

Sunt direct proporționale doar dacă panta dreptei este pozitivă.

Nu se poate stabili proporționalitatea niciodată dintr-un grafic.

Se dă tabelul: $$x$$: 5, 10, 20 și $$y$$: 15, 30, 60. Sunt mărimile $$x$$ și $$y$$ direct proporționale?

Da, coeficientul de proporționalitate este $$3$$.

Da, coeficientul de proporționalitate este $$5$$.

Nu, deoarece rapoartele $$y/x$$ nu sunt egale.

Nu se poate stabili fără un grafic.

Cum organizez datele dintr-o problemă?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Date, tabel, grafic și proporționalitate

Le sortezi, adică le așezi în ordine crescătoare sau descrescătoare, apoi le clasifici, grupându-le după un criteriu și numărând de câte ori apare fiecare grupă. Datele care vin în perechi se trec într-un tabel cu două rânduri și se verifică dacă raportul valorilor iese mereu același. La un bilet de $20$ de lei, rapoartele $20 : 1$ , $40 : 2$ și $60 : 3$ dau toate $20$ , deci mărimile sunt direct proporționale.

Datele brute devin utile doar dacă le organizăm: le sortăm (le ordonăm crescător/descrescător, fără să le schimbăm) și le clasificăm (le grupăm după un criteriu, numărând frecvențele). Când datele vin în perechi legate, verificăm dacă mărimile sunt direct proporționale: raportul valorilor corespunzătoare trebuie să fie constant, adică $\frac{y _{1}}{x _{1}} = \frac{y _{2}}{x _{2}} = \dots = k$ , unde $k$ este coeficientul de proporționalitate. Fiecare pereche $(x; y)$ devine un punct într-un sistem de axe. Dacă mărimile sunt direct proporționale, punctele stau pe o dreaptă care trece prin origine — ambele condiții deodată, nu doar aliniere.

Exemplu. Un bilet la cinema costă 20 lei. Tabel: 1 bilet → 20 lei, 2 bilete → 40 lei, 3 bilete → 60 lei. Rapoarte: $\frac{20}{1} = \frac{40}{2} = \frac{60}{3} = 20$ , constant, deci mărimile sunt direct proporționale, iar punctele $(1; 20), (2; 40), (3; 60)$ stau pe o dreaptă prin origine.

De reținut

sortarea ordonează datele, clasificarea le grupează după un criteriu
direct proporționale înseamnă rapoarte egale: $\frac{y _{1}}{x _{1}} = \frac{y _{2}}{x _{2}} = k$
punctele unor mărimi direct proporționale stau pe o dreaptă prin origine

Greșeala tipică

Se declară proporționale niște date doar pentru că punctele desenate par aliniate; alinierea singură nu ajunge, fiindcă dreapta trebuie să treacă și prin origine, iar rapoartele trebuie verificate în tabel.

Exerciții din această mini-lecție

Se dă tabelul: $x$ : 3, 6, 9 și $y$ : 12, 24, 36. Sunt mărimile $x$ și $y$ direct proporționale?
- a) Da, coeficientul de proporționalitate este $4$ .
- b) Da, coeficientul de proporționalitate este $3$ .
- c) Nu, deoarece rapoartele $y / x$ nu sunt egale.
- d) Nu se poate stabili fără un grafic.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Da, coeficientul de proporționalitate este $4$ .

Calculăm rapoartele $y / x$ : $\frac{12}{3} = 4$ , $\frac{24}{6} = 4$ , $\frac{36}{9} = 4$ . Toate rapoartele sunt egale cu $4$ , deci $x$ și $y$ sunt direct proporționale, iar coeficientul de proporționalitate este $4$ .
Un grafic arată o dreaptă care taie axa verticală (Oy) în punctul $(0; 7)$ , nu în origine. Ce putem spune despre cele două mărimi reprezentate?
- a) Sunt direct proporționale, pentru că punctele stau pe o dreaptă.
- b) Nu sunt direct proporționale, pentru că dreapta nu trece prin origine.
- c) Sunt direct proporționale doar dacă panta dreptei este pozitivă.
- d) Nu se poate stabili proporționalitatea niciodată dintr-un grafic.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Nu sunt direct proporționale, pentru că dreapta nu trece prin origine.

Pentru proporționalitate directă sunt necesare simultan două condiții: punctele să fie pe o dreaptă ȘI dreapta să treacă prin origine. Aici dreapta pornește din $(0; 7)$ , nu din $O (0; 0)$ , deci lipsește a doua condiție și mărimile nu sunt direct proporționale (există probabil o valoare fixă de 7, ca o taxă).
Se dă tabelul: $x$ : 5, 10, 20 și $y$ : 15, 30, 60. Sunt mărimile $x$ și $y$ direct proporționale?
- a) Da, coeficientul de proporționalitate este $3$ .
- b) Da, coeficientul de proporționalitate este $5$ .
- c) Nu, deoarece rapoartele $y / x$ nu sunt egale.
- d) Nu se poate stabili fără un grafic.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Da, coeficientul de proporționalitate este $3$ .

Calculăm rapoartele $y / x$ : $\frac{15}{5} = 3$ , $\frac{30}{10} = 3$ , $\frac{60}{20} = 3$ . Toate rapoartele sunt egale cu $3$ , deci $x$ și $y$ sunt direct proporționale, iar coeficientul de proporționalitate este $3$ .

Întrebări conexe

Ce este un tabel de frecvențe și cum se completează?

Are o coloană cu valorile întâlnite și una cu numărul de apariții al fiecăreia. Îl completezi parcurgând datele o singură dată și punând câte un semn în dreptul valorii găsite. La final aduni aparițiile: suma trebuie să dea numărul total de date.

Cum aleg criteriul după care grupez datele?

Pornești de la întrebarea la care vrei să răspunzi. Dacă te interesează preferințele, grupezi după categorie; dacă te interesează evoluția, grupezi după timp. Un criteriu potrivit împarte datele în grupe nici prea multe, nici prea puține, ca diferențele să se vadă.

Cum desenez punctele unei perechi de valori într-un sistem de axe?

Pentru fiecare pereche mergi pe axa orizontală până la prima valoare, apoi urci până la înălțimea celei de-a doua și marchezi punctul. Perechea $(2; 40)$ înseamnă doi pași la dreapta și patruzeci de unități în sus, pe scara aleasă pentru axa verticală.

Cum verific din tabel dacă rapoartele sunt egale?

Împarți, pentru fiecare coloană, valoarea de jos la cea de sus și compari rezultatele. Dacă toate ies la fel, mărimile sunt direct proporționale, iar numărul obținut este coeficientul. O singură coloană cu alt rezultat strică proporționalitatea.

La ce folosește sortarea datelor înainte de calcule?

Scoate imediat la iveală valoarea cea mai mică și pe cea mai mare, ușurează calculul amplitudinii și arată dacă unele valori se repetă. Sortarea nu schimbă datele și nici media lor, doar le așază într-o ordine în care se citesc mai ușor.

Cum prezint datele unei anchete făcute în clasă?

Le treci întâi într-un tabel cu valori și frecvențe, apoi alegi reprezentarea potrivită: bare pentru comparații între categorii și diagramă circulară pentru părți dintr-un întreg. Adaugi titlul, unitățile de măsură și numărul total de răspunsuri.

Oamenii mai întreabă și: organizarea datelor · sortarea și clasificarea datelor · tabel de valori și grafic · date organizate în tabel