Pe planul unei fundații de beton, doi pereți sunt drepte neverticale. Pantele lor sunt date în patru variante. În care variantă pereții sunt perpendiculari?

$$\dfrac{11}{17}$$ și $$-\dfrac{17}{11}$$

$$\dfrac{11}{17}$$ și $$\dfrac{17}{11}$$

$$\dfrac{11}{17}$$ și $$-\dfrac{11}{17}$$

$$\dfrac{11}{17}$$ și $$\dfrac{11}{17}$$

Pe planul unei ferme, gardul $$g$$ are ecuația $$y = \dfrac{3}{4}x - 2$$. Un al doilea gard, paralel cu el, trece prin $$M(8;\ 5)$$. Care este ecuația celui de-al doilea gard?

$$y = -\dfrac{4}{3}x + \dfrac{47}{3}$$

$$y = \dfrac{4}{3}x - \dfrac{17}{3}$$

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Paralele și perpendiculare, prin pante

Cum duc un drum perpendicular pe altul?

Calculezi panta drumului vechi, apoi iei opusul inversului ei și scrii ecuația dreptei care trece prin punctul dat, adică a noului drum. Exemplu: drumul vechi trece prin $(1; 2)$ și $(4; 7)$ , deci are panta $\frac{7 - 2}{4 - 1} = \frac{5}{3}$ . Drumul nou prin $(5; 11)$ are panta $- \frac{3}{5}$ : $y - 11 = - \frac{3}{5} (x - 5)$ , adică $y = - \frac{3}{5} x + 14$ . Proba: $\frac{5}{3} \cdot (- \frac{3}{5}) = - 1$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Două drepte din plan pot fi paralele, perpendiculare sau oblice, iar panta lor spune care caz este. Panta unei drepte neverticale este raportul dintre creșterea pe verticală și deplasarea pe orizontală între oricare două puncte ale ei.

Dreptele cu pante egale sunt paralele, dacă termenii lor liberi diferă, sau confundate, dacă termenii coincid. Dreptele al căror produs al pantelor este $- 1$ sunt perpendiculare; dacă pantele diferă și produsul nu este $- 1$ , dreptele sunt oblice. O dreaptă verticală nu are pantă și este perpendiculară numai pe o dreaptă orizontală.

Ecuația dreptei care trece prin punctul $(x_{0}; y_{0})$ și are panta $m$ este $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ . Pentru o paralelă păstrezi panta dreptei date, iar pentru o perpendiculară iei opusul inversului ei. Când dreapta cerută trece prin mijlocul unui segment dat, afli întâi acel mijloc, ca medie a coordonatelor capetelor.

Capcana cea mai frecventă este citirea pantei din forma $a x + b y + c = 0$ : panta nu este coeficientul lui $x$ , ci apare abia după ce aduci ecuația la forma $y = m x + n$ . Verifici cu punctele date, care trebuie să verifice ecuația scrisă, și cu produsul pantelor, luat cu tot cu semn.

De reținut

$m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ și $y - y_{0} = m (x - x_{0})$
paralele: $m_{1} = m_{2}$ ; perpendiculare: $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$
o dreaptă verticală nu are pantă; e perpendiculară doar pe o orizontală

Greșeala tipică

Se ia perpendiculara cu inversul pantei, dar fără schimbarea semnului: pentru $\frac{2}{3}$ se scrie $\frac{3}{2}$ , iar produsul este $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$ , nu $- 1$ . Perpendiculara are panta $- \frac{3}{2}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Pe planul unei fundații de beton, doi pereți sunt drepte neverticale. Pantele lor sunt date în patru variante. În care variantă pereții sunt perpendiculari?
- a) $\frac{11}{17}$ și $\frac{17}{11}$
- b) $\frac{11}{17}$ și $- \frac{11}{17}$
- c) $\frac{11}{17}$ și $- \frac{17}{11}$
- d) $\frac{11}{17}$ și $\frac{11}{17}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{11}{17}$ și $- \frac{17}{11}$

Dreptele sunt perpendiculare când produsul pantelor este $- 1$ : $\frac{11}{17} \cdot (- \frac{17}{11}) = - 1$ . Prima variantă inversează panta, dar nu-i schimbă semnul, deci produsul este $1$ . A doua schimbă semnul, dar nu inversează, iar ultima are pante egale, adică pereți paraleli.
Un drum de câmp trece prin $T (- 6; 11)$ și $U (14; - 4)$ , în kilometri. Care este panta drumului?
- a) $- \frac{3}{4}$
- b) $\frac{3}{4}$
- c) $- \frac{4}{3}$
- d) $\frac{4}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- \frac{3}{4}$

Panta este $\frac{- 4 - 11}{14 - ( - 6 )} = \frac{- 15}{20} = - \frac{3}{4}$ . Varianta $\frac{3}{4}$ pierde semnul, drumul fiind descrescător. Varianta $- \frac{4}{3}$ împarte abscisele la ordonate, nu invers, iar $\frac{4}{3}$ face ambele greșeli.
Pe planul unei ferme, gardul $g$ are ecuația $y = \frac{3}{4} x - 2$ . Un al doilea gard, paralel cu el, trece prin $M (8; 5)$ . Care este ecuația celui de-al doilea gard?
- a) $y = - \frac{4}{3} x + \frac{47}{3}$
- b) $y = \frac{3}{4} x + 11$
- c) $y = \frac{4}{3} x - \frac{17}{3}$
- d) $y = \frac{3}{4} x - 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $y = \frac{3}{4} x - 1$

Paralela păstrează panta $\frac{3}{4}$ și trece prin $M$ : $y - 5 = \frac{3}{4} (x - 8)$ , adică $y = \frac{3}{4} x - 1$ . Varianta cu panta $- \frac{4}{3}$ este perpendiculara prin $M$ , iar cea cu panta $\frac{4}{3}$ inversează panta fără să-i schimbe semnul. Varianta $y = \frac{3}{4} x + 11$ are panta bună, dar termenul liber se obține scăzând $\frac{3}{4} \cdot 8 = 6$ din $5$ , nu adunându-l.

Întrebări conexe

Ce dreaptă e perpendiculară pe una verticală?

O dreaptă orizontală, care are panta $0$ și ecuația $y = h$ . Dreapta verticală nu are pantă, deci regula produsului nu se aplică. Perpendiculara pe $x = 7$ prin punctul $(2; 3)$ este $y = 3$ , iar cele două drepte se întâlnesc în $(7; 3)$ .

Cum aflu unde se întâlnesc două drumuri?

Egalezi ecuațiile și rezolvi în $x$ , apoi afli $y$ . Pentru $y = \frac{1}{2} x + 4$ și $y = - 2 x + 14$ rezultă $\frac{1}{2} x + 4 = - 2 x + 14$ , deci $\frac{5}{2} x = 10$ și $x = 4$ . Atunci $y = \frac{1}{2} \cdot 4 + 4 = 6$ , iar intersecția este $(4; 6)$ .

Cum duc o paralelă prin mijlocul unui segment?

Afli mijlocul ca medie a coordonatelor capetelor, apoi scrii dreapta cu panta dreptei date. Pentru $M (2; 9)$ și $N (10; 3)$ , mijlocul este $(6; 6)$ . Paralela la dreapta $y = \frac{1}{3} x + 2$ este $y - 6 = \frac{1}{3} (x - 6)$ , adică $y = \frac{1}{3} x + 4$ .

Când două drumuri nu sunt nici paralele, nici perpendiculare?

Dacă pantele nu coincid și produsul lor este diferit de $- 1$ , dreptele sunt oblice. Pantele $\frac{3}{4}$ și $\frac{4}{3}$ par o pereche potrivită, dar $\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1$ , nu $- 1$ . Pentru unghi drept ar fi trebuit $- \frac{4}{3}$ .

Cum apare paralelismul la examen?

Paralelismul a apărut în 2 probe M_tehnologic din 2013–2026, la Subiectul I și la Subiectul al III-lea. În ambele cerințe contează egalitatea pantelor: o dreaptă prin mijlocul unui segment, paralelă cu o dreaptă dată, și o tangentă paralelă cu o dreaptă dată.

Oamenii mai întreabă și: panta perpendicularei prin produsul pantelor · drum în unghi drept pe un drum existent · opusul inversului pantei · drum nou perpendicular pe drumul național