Paralele și perpendiculare prin pante, tehnologic

Pe harta unei zone, două drumuri drepte pot merge paralel, se pot întâlni în unghi drept sau se pot tăia pieziș, iar pantele lor spun, din calcul, care dintre cele trei cazuri e. Aici, cu pantele calculate pe hartă, hotărăști ce fel de drepte ai în față și scrii ecuația dreptei cerute; e materie de clasa a X-a pentru liceele tehnologice. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), paralelismul a venit în două cerințe din probele 2013–2026.

Situația de pornire

O firmă de transport are depozitul în satul $D$. Singurul drum care iese din sat spre est, R1, merge pe lângă drumul național DN fără să-l întâlnească, așa că autocamioanele ajung la DN printr-un ocol. Pe harta zonei, cu unitatea de un kilometru, consiliul județean a trasat două variante de drum nou prin $D$, R2 și R3; pe hartă se vede și drumul județean DJ, care merge exact de la sud la nord. Firma vrea varianta care întâlnește DN în unghi drept: e cea mai scurtă legătură, deci cea mai puțină motorină, iar autocamioanele virează mai ușor la intersecție.

Întrebare: cum se așază R1, R2, R3 și DJ față de DN, care variantă nouă întâlnește DN în unghi drept și ce ecuații au dreptele prin $D$ paralelă și perpendiculară pe DN?

De la situație la model

Fiecare drum drept este o dreaptă în planul hărții. Tabelul traduce cuvintele de pe hartă în cuvinte din matematică.

Panta este creșterea pe verticală împărțită la deplasarea pe orizontală între două puncte ale unei drepte neverticale, ca la panta unei drepte, la rampe și drumuri. Din pantă și dintr-un punct scrii ecuația dreptei, cum ai făcut în lecția despre ecuația dreptei, la tarife și costuri. Două drepte sunt paralele dacă nu se întâlnesc, perpendiculare dacă se taie în unghi drept și oblice dacă se taie fără să fie în unghi drept. Dreptele se prelungesc de ambele părți fără sfârșit, deci o relație ține și dincolo de punctele date pe hartă.

De ce paralelele au aceeași pantă?

Două drumuri care urcă la fel de repede pe fiecare kilometru nu se apropie și nu se depărtează niciodată. Cu pante egale, dreptele sunt paralele dacă diferă prin termenul liber (adică prin punctul în care taie axa verticală) și confundate dacă și termenii liberi coincid.

De ce perpendicularele au produsul pantelor $-1$?

Panta $m=\frac{b}{a}$ spune că pe $a$ kilometri mergi pe orizontală și urci $b$ pe verticală. Dacă rotești harta cu un sfert de tură, cei $a$ kilometri de pe orizontală devin o urcare de $a$, iar urcarea $b$ devine o deplasare de $-b$ pe orizontală. Panta dreptei rotite este $\frac{a}{-b}=-\frac{1}{m}$. De aceea perpendiculara pe o dreaptă de pantă $\frac{1}{2}$ are panta $-2$, iar produsul lor este $-1$.

Ce faci când un drum merge exact spre nord?

Un drum vertical, $x=k$, nu are pantă, fiindcă orizontala dintre două puncte ale lui este zero și împărțirea nu se poate face. Regula $m_1\cdot m_2=-1$ nu se aplică lui. Un drum vertical este perpendicular doar pe unul orizontal, $y=h$, care nu are nevoie de regula pantelor. Față de orice dreaptă cu pantă diferită de zero, o verticală este oblică.

Metoda pas cu pas

1. Pentru fiecare dreaptă dată prin două puncte, calculează panta $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$. Dacă $x_A=x_B$, dreapta este verticală și nu are pantă. Dacă dreapta e dată prin ecuație, adu-o la forma $y=mx+n$.
2. Pune pantele față în față și citește verdictul din tabelul de mai jos. Dacă una dintre drepte este orizontală, panta ei este 0, iar dacă una este verticală, nu are pantă și te uiți direct la rândurile speciale ale tabelului.
3. Dacă ți se cere ecuația unei paralele, păstrează aceeași pantă; la o perpendiculară, ia opusul inversului, $-\frac{1}{m}$. Apoi scrie $y-y_0=m(x-x_0)$ cu punctul $(x_0;y_0)$ prin care trece dreapta.
4. Dacă dreapta trebuie să treacă prin mijlocul unui segment, calculează întâi mijlocul, făcând media coordonatelor capetelor, ca la distanța și mijlocul pe planul de șantier. Coordonatele capetelor se scad pentru pantă, dar se adună pentru mijloc: nu le amesteca.
5. Dacă ai nevoie de punctul de întâlnire a două drepte, egalează ecuațiile lor și rezolvă ecuația rezultată.
6. Verifică pe alt drum: înlocuiește punctele date în ecuația scrisă și controlează egalitatea pantelor sau produsul lor. Scrie răspunsul cu relația cerută, paralele, perpendiculare sau oblice, nu doar cu numerele.

Fișa de buzunar

$$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$

$$y-y_0=m(x-x_0)$$

$$d_1\parallel d_2⟺m_1=m_2,d_1\perp d_2⟺m_1\cdot m_2=-1$$

Condițiile sunt valabile numai pentru drepte neverticale; verticalele se tratează aparte, ca în tabelul din Metodă. Pentru paralele distincte, termenii liberi trebuie să difere. Verificare rapidă: punctul prin care ai dus dreapta trebuie să verifice ecuația scrisă, iar produsul pantelor se calculează cu semn.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Drumurile de acces ale depozitului

Domeniu: auto.

Enunț. Reia harta din situația de pornire. a) Care sunt pantele lui DN, R1, R2 și R3? b) Cum se așază fiecare dintre R1, R2, R3 și DJ față de DN? c) Ce ecuații au dreptele prin $D$ paralelă și perpendiculară pe DN și coincid ele cu R1 și R2?

Rezolvare. a) Panta lui DN este $\frac{66-48}{62-26}=\frac{1}{2}$, iar ecuația ei, $y-48=\frac{1}{2}(x-26)$, se reduce la $y=\frac{1}{2}x+35$. Pentru R1: $\frac{88-76}{76-52}=\frac{1}{2}$; pentru R2: $\frac{68-76}{56-52}=-2$; pentru R3: $\frac{84-76}{84-52}=\frac{1}{4}$. b) R1 are aceeași pantă ca DN, deci e paralel cu el sau confundat cu el. Punctul $D(52;76)$ nu stă pe DN, fiindcă $\frac{1}{2}\cdot 52+35=61\ne 76$, așa că dreptele nu sunt confundate. La R2, $\frac{1}{2}\cdot (-2)=-1$, deci R2 este perpendicular pe DN. La R3, pantele diferă și $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{8}\ne -1$, deci R3 taie DN oblic. DJ are punctele $(73;31)$ și $(73;94)$ cu aceeași abscisă, deci e verticală și nu are pantă; DN are panta $\frac{1}{2}\ne 0$, deci DJ taie DN oblic. c) Paralela prin $D$ are panta $\frac{1}{2}$: $y-76=\frac{1}{2}(x-52)$, adică $y=\frac{1}{2}x+50$. Perpendiculara are panta $-2$: $y-76=-2(x-52)$, adică $y=-2x+180$. Prima este R1, a doua este R2, deci firma alege varianta R2.

Capcană. Cine ia drept pantă a perpendicularei doar inversul, fără să schimbe semnul, adică 2, duce prin $D$ un drum care urcă spre nord-est în loc să coboare spre DN. Produsul pantelor este atunci $\frac{1}{2}\cdot 2=1$, nu $-1$: drumul acesta taie DN oblic, iar firma ar cere consiliului o variantă greșită. Inversul se ia cu semn schimbat, $-2$.

Verificare. Pe alt drum, cu puncte: $F(56;68)$ verifică $y=-2x+180$, fiindcă $-2\cdot 56+180=68$, iar $E(76;88)$ verifică $y=\frac{1}{2}x+50$, fiindcă $\frac{76}{2}+50=88$. Perpendiculara și DN (ecuația ei este $y=\frac{1}{2}x+35$) se întâlnesc în $(58;64)$: $-2\cdot 58+180=64$ și $\frac{1}{2}\cdot 58+35=64$.

Exemplul 2 — Jgheaburi de cabluri pe tavanul unei hale

Domeniu: electric.

Enunț. Pe planul tavanului unei hale, jgheaburile de cabluri sunt trasate prin ecuațiile lor. Electricianul verifică cinci perechi. Perechea 1: $y=\frac{7}{9}x+19$ și $y=\frac{7}{9}x-6$. Perechea 2: $y=\frac{7}{9}x+19$ și $y=-\frac{9}{7}x+22$. Perechea 3: $y=\frac{7}{9}x+19$ și $9y-7x=171$. Perechea 4: $x=29$ și $y=-23$. Perechea 5: $y=\frac{13}{5}x+4$ și $y=\frac{5}{13}x-21$. Pentru fiecare pereche, spune dacă jgheaburile sunt paralele, confundate, perpendiculare sau oblice.

Rezolvare. Perechea 1: pantele sunt egale, $\frac{7}{9}$, iar termenii liberi diferă, 19 și $-6$, deci jgheaburile sunt paralele. Perechea 2: $\frac{7}{9}\cdot \left(-\frac{9}{7}\right)=-1$, deci sunt perpendiculare. Perechea 3: din $9y-7x=171$ rezultă $y=\frac{7}{9}x+19$, aceeași ecuație, deci sunt confundate. Perechea 4: $x=29$ este verticală, iar $y=-23$ orizontală, deci sunt perpendiculare. Perechea 5: $\frac{13}{5}\cdot \frac{5}{13}=1\ne -1$ și pantele diferă, deci sunt oblice.

Capcană. La perechea 3, cine citește panta direct din $9y-7x=171$, ca fiind coeficientul lui $x$, adică $-7$, găsește pantele $\frac{7}{9}$ și $-7$ și declară jgheaburile oblice. Panta se citește abia după ce scrii ecuația sub forma $y=mx+n$: aici ea este $\frac{7}{9}$, deci jgheaburile sunt confundate, adică același jgheab desenat de două ori.

Verificare. Pe alt drum, la perechea 1, scazi ecuațiile și obții $0=19-(-6)=25$, fals: nu au niciun punct comun, deci sunt paralele. La perechea 3, punctul $(0;19)$ verifică ambele ecuații, iar $(9;26)$ la fel: $9\cdot 26-7\cdot 9=171$. Două puncte comune dau aceeași dreaptă.

Exemplul 3 — O tablă cu muchie înclinată

Domeniu: mecanica.

Enunț. O placă de tablă are o muchie înclinată care trece prin $P(100;40)$ și $Q(600;340)$, coordonate în milimetri. Un punct de prindere $R$ are coordonatele 24 cm și 30 cm. Lăcătușul trasează prin $R$ o nervură paralelă cu muchia și o linie de găurire perpendiculară pe muchie. a) Ce ecuație are muchia? b) Ce ecuație are nervura? c) Ce ecuație are linia de găurire?

Rezolvare. Convertești: 24 cm înseamnă 240 mm și 30 cm înseamnă 300 mm, deci $R(240;300)$. a) Panta muchiei este $\frac{340-40}{600-100}=\frac{3}{5}$, iar ecuația ei este $y-40=\frac{3}{5}(x-100)$, adică $y=\frac{3}{5}x-20$. b) Nervura are aceeași pantă: $y-300=\frac{3}{5}(x-240)$, adică $y=\frac{3}{5}x+156$. c) Linia de găurire are panta $-\frac{5}{3}$: $y-300=-\frac{5}{3}(x-240)$, adică $y=-\frac{5}{3}x+700$.

Capcană. Cine lasă coordonatele lui $R$ în centimetri scrie nervura prin $(24;30)$, adică $y=\frac{3}{5}x+15,6$. Ea trece cu 140,4 mm mai jos decât trebuie, aproape de colțul plăcii, nu prin punctul de prindere.

Verificare. Pe alt drum, cu puncte: $Q(600;340)$ verifică $y=\frac{3}{5}x-20$, fiindcă $360-20=340$. Punctul $R(240;300)$ verifică nervura, $144+156=300$, și linia de găurire, $-400+700=300$. Produsul $\frac{3}{5}\cdot \left(-\frac{5}{3}\right)=-1$.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: dreapta prin mijloc, paralelă cu o dreaptă dată

Domeniu: comert.

Enunț. Refăcută cu alte puncte, o astfel de cerință se citește așa: „Punctele $A(8,6)$ și $B(14,2)$ sunt date în reperul cartezian $xOy$. Scrieți ecuația dreptei $d$ care, trecând prin mijlocul segmentului $AO$, este paralelă cu dreapta $AB$.” Pe planul unui depozit, $d$ ar putea fi linia unui culoar paralel cu raftul $AB$.

Rezolvare. Așa scrii pe lucrare. Panta dreptei $AB$ este $\frac{2-6}{14-8}=-\frac{2}{3}$, deci $d$ are aceeași pantă. Mijlocul segmentului $AO$, cu $O(0,0)$, este $M\left(\frac{8+0}{2},\frac{6+0}{2}\right)=(4,3)$. Ecuația lui $d$ este $y-3=-\frac{2}{3}(x-4)$, adică $y=-\frac{2}{3}x+\frac{17}{3}$.

Capcană. Cine ia mijlocul lui $AB$ în loc de mijlocul lui $AO$ calculează $\left(\frac{8+14}{2},\frac{6+2}{2}\right)=(11,4)$ și obține altă dreaptă, $y=-\frac{2}{3}x+\frac{34}{3}$. Cerința vorbește despre segmentul $AO$, cu capătul în origine.

Verificare. Mijlocul $M(4,3)$ verifică ecuația: $-\frac{2}{3}\cdot 4+\frac{17}{3}=3$. Pentru $x=10$ rezultă $y=-1$, iar panta dintre $M(4,3)$ și $(10,-1)$ este $\frac{-1-3}{10-4}=-\frac{2}{3}$, aceeași cu a lui $AB$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează panta dreptei care trece prin $A(-4;7)$ și $B(8;-2)$. Ce poți spune despre dreapta prin $C(1;5)$ și $D(1;12)$?

2. Pentru fiecare pereche de pante, spune dacă dreptele sunt paralele, perpendiculare sau oblice: a) $\frac{7}{2}$ și $\frac{14}{4}$; b) $\frac{5}{4}$ și $-\frac{4}{5}$; c) $3$ și $\frac{1}{3}$; d) $\frac{13}{8}$ și $-\frac{13}{8}$.

3. Dreapta $d$ are panta $-\frac{3}{5}$. Care este panta unei drepte paralele cu $d$ și a uneia perpendiculare pe $d$?

4. Scrie ecuația dreptei care trece prin $P(14;-6)$ și are panta $\frac{5}{7}$.

Nivelul 2 — situații

5. Zidarii trasează pe planul unei fundații zidul $Z_1$, care trece prin $A(0;2)$ și $B(10;8)$, iar zidul $Z_2$ prin $C(3;9)$ și $D(9;-1)$, coordonate în metri. a) Calculează pantele celor două ziduri. b) Sunt zidurile perpendiculare? c) Ce ecuație are un zid $Z_3$, paralel cu $Z_1$, care trece prin $E(3;1)$?

6. Pe un teren agricol, un canal de desecare trece prin $K(2;10)$ și $L(14;4)$, coordonate în kilometri. Fermierul vrea un drum de acces paralel cu canalul, care să treacă prin $S(5;1)$. a) Ce ecuație are drumul? b) Trece el prin $T(11;0,5)$?

7. Într-un depozit, raftul $R_1$ stă pe dreapta $x=8$, iar raftul $R_2$ pe dreapta $y=5$. O cameră de supraveghere din colțul $O(0;0)$ este îndreptată spre colțul $M(8;5)$, unde se întâlnesc rafturile. Cum se așază $R_1$ față de $R_2$ și linia de vizare $OM$ față de fiecare raft? Ce ecuație are linia de vizare?

8. La o fabrică de detergenți, pe planul halei, două conducte de reactiv merg pe dreptele $y=\frac{6}{11}x+4$ și $y=-\frac{11}{6}x+161$. a) Arată că sunt perpendiculare. b) Află punctul în care se întâlnesc, unde se montează racordul dintre ele.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) În reperul cartezian $xOy$ sunt date punctele $A(-2,5)$, $B(6,1)$ și $C(4,3)$. Determinați ecuația dreptei care, trecând prin punctul $C$, este paralelă cu dreapta $AB$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Punctele $M(2,7)$, $N(8,1)$, $P(1,1)$ și $Q(7,5)$ sunt date în reperul cartezian $xOy$. Determinați ecuația dreptei $d$ care, trecând prin mijlocul segmentului $MN$, este paralelă cu dreapta $PQ$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-27x^2+142x-20$. Panta tangentei la graficul lui $f$ în punctul de abscisă $x$ este $f^{\prime }(x)=3x^2-54x+142$ (derivata lui $f$, noțiune din clasa a XI-a). Determinați abscisele punctelor de pe graficul lui $f$ în care tangenta este paralelă cu dreapta $y=7x+46$.

12. (Sinteză.) În planul unei hale, în metri, dreapta $d$ de ecuație $y=\frac{7}{11}x+5$ este un culoar, iar $P(29,8)$ este un stâlp. a) Arătați că dreapta prin $P$ perpendiculară pe $d$ are ecuația $y=-\frac{11}{7}x+\frac{375}{7}$. b) Determinați punctul $H$ în care această dreaptă taie $d$. c) Arătați că $PH<PM$, unde $M(0,5)$ este alt punct al lui $d$.

Răspunsuri și verificări

1. Panta este $\frac{-2-7}{8-(-4)}=\frac{-9}{12}=-\frac{3}{4}$. Punctele $C$ și $D$ au aceeași abscisă, 1, deci dreapta CD este verticală și nu are pantă. Verificare: de la $A$ la $B$ mergi 12 spre dreapta și cobori 9, adică $\frac{-9}{12}$.

2. a) Pantele sunt egale, $\frac{14}{4}=\frac{7}{2}$: paralele. b) $\frac{5}{4}\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)=-1$: perpendiculare. c) $3\cdot \frac{1}{3}=1\ne -1$: oblice. d) $\frac{13}{8}\cdot \left(-\frac{13}{8}\right)=-\frac{169}{64}\ne -1$ și pantele diferă: oblice. Verificare: la b) produsul este $-1$, iar la c) și d) nu.

3. O dreaptă paralelă cu $d$ are aceeași pantă, $-\frac{3}{5}$, iar una perpendiculară are panta $-\frac{1}{-3/5}=\frac{5}{3}$. Verificare: $-\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{3}=-1$.

4. $y-(-6)=\frac{5}{7}(x-14)$, deci $y+6=\frac{5}{7}x-10$ și $y=\frac{5}{7}x-16$. Verificare: pentru $x=14$ obții $10-16=-6$.

5. a) Panta lui $Z_1$ este $\frac{8-2}{10-0}=\frac{3}{5}$, iar a lui $Z_2$ este $\frac{-1-9}{9-3}=-\frac{5}{3}$. b) Produsul $\frac{3}{5}\cdot \left(-\frac{5}{3}\right)=-1$, deci zidurile sunt perpendiculare. c) $Z_3$ are panta $\frac{3}{5}$: $y-1=\frac{3}{5}(x-3)$, adică $y=\frac{3}{5}x-\frac{4}{5}$. Verificare: pentru $x=3$ obții $y=1$.

6. a) Panta canalului este $\frac{4-10}{14-2}=-\frac{1}{2}$, deci drumul are aceeași pantă: $y-1=-\frac{1}{2}(x-5)$, adică $y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$. b) Pentru $x=11$ obții $y=-\frac{11}{2}+\frac{7}{2}=-2$, nu $0,5$, deci nu trece prin $T$. Verificare: pentru $x=5$ obții $-\frac{5}{2}+\frac{7}{2}=1$.

7. $R_1$ este verticală, iar $R_2$ orizontală, deci sunt perpendiculare. Linia de vizare are panta $\frac{5-0}{8-0}=\frac{5}{8}$, nenulă, deci este oblică și față de $R_1$, și față de $R_2$. Ecuația ei este $y=\frac{5}{8}x$. Verificare: pentru $x=8$ obții $y=5$, punctul $M$.

8. a) Pantele sunt $\frac{6}{11}$ și $-\frac{11}{6}$, iar $\frac{6}{11}\cdot \left(-\frac{11}{6}\right)=-1$, deci conductele sunt perpendiculare. b) Din $\frac{6}{11}x+4=-\frac{11}{6}x+161$ rezultă $\frac{157}{66}x=157$, deci $x=66$ și $y=\frac{6}{11}\cdot 66+4=40$. Racordul se montează în $(66;40)$. Verificare: $-\frac{11}{6}\cdot 66+161=40$.

9. Panta dreptei $AB$ este $\frac{1-5}{6-(-2)}=-\frac{1}{2}$. Dreapta cerută are aceeași pantă și trece prin $C(4,3)$, deci $y-3=-\frac{1}{2}(x-4)$. Ecuația ei este $y=-\frac{1}{2}x+5$. Verificare: pentru $x=4$ obții $-2+5=3$.

10. Mijlocul lui $MN$ este $\left(\frac{2+8}{2},\frac{7+1}{2}\right)=(5,4)$, iar panta lui $PQ$ este $\frac{5-1}{7-1}=\frac{2}{3}$. Dreapta $d$ are aceeași pantă ca $PQ$ și trece prin $(5,4)$, deci $y-4=\frac{2}{3}(x-5)$. Ecuația ei este $y=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}$. Verificare: pentru $x=5$ obții $\frac{10}{3}+\frac{2}{3}=4$.

11. Tangenta este paralelă cu dreapta dată dacă are aceeași pantă, $7$, deci $f^{\prime }(x)=7$. Rezultă $3x^2-54x+142=7$, adică $3x^2-54x+135=0$, deci $x^2-18x+45=0$. Abscisele sunt $x=3$ și $x=15$. Verificare: $f^{\prime }(3)=27-162+142=7$ și $f^{\prime }(15)=675-810+142=7$.

12. a) Panta lui $d$ este $\frac{7}{11}$, deci perpendiculara are panta $-\frac{11}{7}$: $y-8=-\frac{11}{7}(x-29)$, adică $y=-\frac{11}{7}x+\frac{375}{7}$. b) Din $\frac{7}{11}x+5=-\frac{11}{7}x+\frac{375}{7}$ rezultă $\frac{170}{77}x=\frac{340}{7}$, deci $x=22$ și $y=19$. Punctul este $H(22,19)$. c) $PH=\sqrt{(22-29{)}^2+(19-8{)}^2}=\sqrt{170}\approx 13,0$ m, iar $PM=\sqrt{(0-29{)}^2+(5-8{)}^2}=\sqrt{850}\approx 29,2$ m, deci $PH<PM$. Verificare: $H$ verifică ambele ecuații, $\frac{7}{11}\cdot 22+5=19$ și $-\frac{11}{7}\cdot 22+\frac{375}{7}=19$.

Așa vine la Bac M3

Paralelismul a venit în două cerințe din probe diferite. Nicio cerință nu a cerut perpendicularitatea a două drepte: cuvântul „perpendicular” lipsește din toate enunțurile celor 83 de probe din 2013–2026. Cele două cerințe, citate mai jos, folosesc de fapt aceeași idee, pantele egale:

• Modelul din 2018, Subiectul I, exercițiul 5: se dau punctele $A$ și $B$, iar cerința este ecuația dreptei care trece prin mijlocul segmentului $AO$ și e paralelă cu $AB$; pasul 3 din Metodă păstrează panta lui $AB$, pasul 4 dă mijlocul, iar baremul acordă 2 puncte pentru panta lui $AB$, egală cu a dreptei cerute, și 3 puncte pentru mijloc și ecuație.
• Proba specială din 2016, Subiectul al III-lea, exercițiul 1c: Subiectul al III-lea, problema 1, punctul c: se cer abscisele punctelor în care tangenta la graficul unei funcții este paralelă cu o dreaptă dată; derivata este din clasa a XI-a, iar din lecția de față folosești doar egalitatea pantelor, pasul 3 din Metodă; baremul dă 2 puncte pentru egalarea derivatei cu panta dreptei și 3 puncte pentru ecuația rezultată și soluțiile ei.

Tema nu e deci o poveste cu drumuri, ci o egalitate de pante pe care o folosești într-o cerință mai mare. Exercițiile 9–11 repetă ambele forme cu alte numere: o dreaptă paralelă printr-un punct, o dreaptă prin mijloc și o tangentă cu panta dată. Exercițiul 12 leagă perpendicularitatea de minimul distanței, pe care nicio cerință oficială nu îl cere. Diferențele de coordonate din vectorii în coordonate revin la panta dintre două puncte. Celelalte teme ale blocului sunt pe pagina clasei a X-a la tehnologic.

Greșeli care costă puncte

• Iei drept pantă a perpendicularei doar inversul, 2, fără să schimbi semnul → drumul prin $D$ urcă în loc să coboare spre DN și îl taie oblic; cum o prinzi: produsul pantelor trebuie să fie $-1$, cu tot cu semn, nu $1$.
• Citești panta din $9y-7x=171$ fără să aduci ecuația la forma $y=mx+n$ → iei $-7$ în loc de $\frac{7}{9}$ și declari oblice două jgheaburi confundate; cum o prinzi: împarți ecuația la coeficientul lui $y$ înainte să citești panta.
• Lași coordonatele unui punct în centimetri, când restul planului e în milimetri → nervura trece cu 140,4 mm mai jos; cum o prinzi: convertești toate coordonatele în aceeași unitate înainte să scrii ecuația.
• Calculezi mijlocul segmentului $AB$ în loc de mijlocul segmentului $AO$ → dreapta obținută are alt termen liber, $\frac{34}{3}$ în loc de $\frac{17}{3}$; cum o prinzi: recitești ce capete are segmentul din enunț și verifici că mijlocul verifică ecuația.
• La exercițiul 10 scazi coordonatele capetelor în loc să le aduni → mijlocul lui $MN$ iese $(3;-3)$, în afara segmentului, iar dreapta trece prin alt punct; cum o prinzi: mijlocul trebuie să aibă abscisa între 2 și 8 și ordonata între 1 și 7.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: verificarea paralelismului și a perpendicularității, pe baza pantelor, face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a X-a), deși programa nouă a clasei a X-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 2 probe, la Subiectul I și Subiectul al III-lea. În programa Bacalaureatului din 2030 tema reapare, parțial, în unitatea XI.3 (geometrie analitică) la profilul MAT_P3 și în unitatea XII.2 (geometrie analitică) la profilul MAT_P4.

Întrebări frecvente

Cât de lung ar fi drumul nou până la DN pe R2 și cât pe R3? R2 întâlnește DN în $(58;64)$, deci are $\sqrt{6^2+12^2}=\sqrt{180}\approx 13,4$ km. R3, cu ecuația $y=\frac{1}{4}x+63$, întâlnește DN abia în $(112;91)$, în afara hărții, după $\sqrt{60^2+15^2}=\sqrt{3825}\approx 61,8$ km. Perpendiculara din $D$ pe DN este cea mai scurtă legătură, de aceea firma o preferă.

Cum se așază R2 față de R1? Perpendicular. R1 are panta $\frac{1}{2}$, ca DN, iar R2 are panta $-2$, deci produsul lor este tot $\frac{1}{2}\cdot (-2)=-1$. O dreaptă perpendiculară pe una dintre două paralele este perpendiculară și pe cealaltă, fiindcă paralelele au aceeași pantă.

Ce pantă ar avea un drum perpendicular pe R3? R3 are panta $\frac{1}{4}$, deci perpendiculara pe ea are panta $-\frac{1}{1/4}=-4$. Produsul este $\frac{1}{4}\cdot (-4)=-1$. Dacă drumul ar trece prin $D(52;76)$, ecuația lui ar fi $y-76=-4(x-52)$, adică $y=-4x+284$. Și el ar fi un drum cu o înclinare abruptă: pentru fiecare kilometru spre est, ar merge patru kilometri spre sud.

Ar putea drumul nou să plece din D direct spre punctul B al lui DN? Ar putea, dar nu în unghi drept. Dreapta $DB$ are panta $\frac{66-76}{62-52}=-1$, iar produsul cu panta lui DN este $-\frac{1}{2}$, nu $-1$, deci $DB$ taie DN oblic. Lungimea ei, $\sqrt{10^2+10^2}=\sqrt{200}\approx 14,1$ km, trece și de cei 13,4 km ai lui R2.

Ce aveau în comun cele două cerințe de Bacalaureat M3 (M_tehnologic) cu drepte paralele? Amândouă cereau o dreaptă cu aceeași pantă ca o dreaptă dată: în 2018, la cerința 5 din Subiectul I, o dreaptă prin mijlocul unui segment, iar în 2016, la Subiectul al III-lea, o tangentă la un grafic. Perpendicularitatea nu a apărut în cele 83 de probe. Fiind în programă, poate fi cerută.