Lecția pe scurt · clasa a X-a · Permutări și aranjamente

Câte numere de 3 cifre au produsul cifrelor dat?

Cauți întâi mulțimile de cifre cu produsul cerut, apoi numeri ordinile fiecăreia. Pentru produsul 24, mulțimile sunt ${1, 3, 8}$ , ${1, 4, 6}$ , ${2, 3, 4}$ și ${2, 2, 6}$ . Primele trei dau câte $3! = 6$ numere, a patra dă 3 numere: 226, 262 și 622. În total $6 + 6 + 6 + 3 = 21$ de numere.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Dacă așezi $n$ obiecte distincte în toate ordinile posibile, obții permutările lor: $P_{n} = n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$ . Pentru primul loc ai $n$ alegeri, pentru al doilea $n - 1$ și tot așa, până la ultimul. Aranjamentele aleg numai $k$ dintre cele $n$ obiecte și le ordonează: $A_{n}^{k} = n (n - 1) \dots (n - k + 1) = \frac{n !}{( n - k )!}$ .

Formulele cer obiecte distincte, fără repetări, cu $0 \leq k \leq n$ . În $A_{n}^{k}$ produsul are exact $k$ factori, deci nu mai calculezi factorialele întregi, care cresc foarte repede. Pentru $k = n$ aranjamentele devin permutări, iar pentru $k = 1$ obții chiar $n$ .

Când o regulă fixează un obiect, îl pui întâi pe locul impus, apoi aranjezi restul pe locurile rămase. Restricția elimină toate ordinile în care obiectul stă în altă parte, nu doar una, deci nu scazi 1 din total. La numerele cu cifre, prima cifră nu poate fi 0, iar la cerințele cu produsul cifrelor cauți întâi mulțimile de cifre posibile.

Controlul rămâne simplu: rezultatul este un număr natural, $A_{n}^{k}$ nu depășește $n^{k}$ , iar o ordine cu restricții este mai puțină decât cea fără restricții. În meserii apare la programul de lucru, la ordinea de coacere, la repartizarea posturilor și la coduri de piese.

De reținut

$P_{n} = n!$ și $A_{n}^{k} = n (n - 1) \dots (n - k + 1)$ , cu $k$ factori
prima cifră a unui număr nu poate fi 0
un obiect fixat se așază întâi, restul liber

Greșeala tipică

Se scrie $n^{k}$ în loc de $A_{n}^{k}$ , deși obiectele nu se repetă. Corect, la fiecare pas lista obiectelor disponibile se micșorează cu unul, iar produsul scade de la $n$ cu câte un factor.

Exerciții din această mini-lecție

Un atelier de mobilă expune pe un raft cu 8 locuri 8 produse diferite, câte unul pe loc. În câte ordini poate fi completat raftul?
- a) 64
- b) 36
- c) 40320
- d) 5040
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) 40320

Toate cele 8 produse intră pe raft, deci numeri permutările: $P_{8} = 8! = 40320$ . Varianta 64 este $8 \cdot 8$ , adică permite același produs pe două locuri. Varianta 36 adună numerele de la 1 la 8, iar 5040 este $7!$ , care lasă un produs fără loc.
Un service are 13 tipuri de piese de schimb și le expune pe un stand cu 3 locuri numerotate, câte o piesă pe loc, fără repetări. În câte moduri poate fi completat standul?
- a) 1716
- b) 2197
- c) 286
- d) 39
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) 1716

Contează locul fiecărei piese, deci $A_{13}^{3} = 13 \cdot 12 \cdot 11 = 1716$ . Varianta 2197 este $1 3^{3}$ și admite aceeași piesă pe mai multe locuri. Varianta 286 este $C_{13}^{3}$ și ignoră ordinea de pe stand, iar 39 înmulțește $13 \cdot 3$ , adică nu scade nimic după fiecare alegere.
Un fermier are 14 comenzi de cereale. Alege 3 pentru livrarea de mâine, într-o ordine, iar comanda urgentă trebuie să fie prima livrată. În câte moduri poate alege și ordona cele 3 livrări?
- a) 2184
- b) 156
- c) 169
- d) 78
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) 156

Comanda urgentă ocupă primul loc, iar celelalte două se aleg ordonat din cele 13 rămase: $A_{13}^{2} = 13 \cdot 12 = 156$ . Varianta 2184 este $A_{14}^{3}$ , fără nicio restricție. Varianta 169 este $13 \cdot 13$ și repetă o comandă, iar 78 este $C_{13}^{2}$ și ignoră ordinea livrărilor.

Întrebări conexe

Cum găsesc cifrele din factorii primi ai produsului?

Descompui produsul în factori primi și îi grupezi în cifre de la 1 la 9. Pentru 40, adică $2^{3} \cdot 5$ , cifra 5 apare sigur, iar restul de 8 se scrie ca $1 \cdot 8$ sau $2 \cdot 4$ . Mulțimile sunt ${1, 5, 8}$ și ${2, 4, 5}$ , adică $6 + 6 = 12$ numere.

Cum număr numerele unei mulțimi cu două cifre egale?

Împarți $3! = 6$ la $2! = 2$ , pentru că cele două cifre egale nu dau numere diferite. Pentru produsul 18, mulțimea ${2, 3, 3}$ dă $\frac{6}{2} = 3$ numere: 233, 323 și 332. Mulțimile ${1, 2, 9}$ și ${1, 3, 6}$ dau câte 6, deci în total 15.

Ce cifre dau un produs prim?

Un produs prim se obține numai cu cifra 1 de două ori și cu numărul prim însuși, dacă acesta este cifră. Pentru produsul 5, mulțimea este ${1, 1, 5}$ , cu $\frac{3 !}{2 !} = 3$ numere: 115, 151 și 511. Pentru 13 nu există niciun număr, fiindcă 13 nu este cifră.

Câte numere de trei cifre au produsul cifrelor 0?

Numeri complementul: toate numerele de trei cifre sunt 900, iar cele fără cifra 0 sunt $9 \cdot 9 \cdot 9 = 729$ . Rămân $900 - 729 = 171$ de numere cu cel puțin un zero, deci cu produsul 0.

Cât de des a venit numărarea cu permutări și aranjamente în probele oficiale?

Permutările și aranjamentele au apărut în 4 probe M_tehnologic din 2013–2026. Cerința cere valoarea unei expresii cu aranjamente, numărul numerelor cu cifre distincte sau numerele cu produsul cifrelor dat. Scrii mai întâi câte locuri și câte cifre ai, apoi produsul de factori.

Oamenii mai întreabă și: numere cu produsul cifrelor egal cu un număr dat · cum aflu numerele de trei cifre cu produs dat · produsul cifrelor unui număr de trei cifre · câte numere au cifrele cu produsul 24