Permutări și aranjamente la tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Cuptorul unei brutării coace pe rând cinci sortimente, iar ordinea nu e indiferentă: pâinea cu susan, care conține un alergen, vine ultima. Câte ordini există și câte dintre ele respectă regula? Răspunsul vine din două formule, factorialul pentru ordinea tuturor sortimentelor și un produs de factori care scad pentru alegerea și așezarea doar a unora dintre ele. Sunt formulele din clasa a X-a de la filiera tehnologică, iar cerințe de acest fel au apărut în patru probe ale Bacalaureatului M3 (M_tehnologic).

Situația de pornire

O brutărie are un cuptor cu o singură cameră și coace dimineața, una după alta, cinci sortimente. Pâinea cu susan conține un alergen, iar regula de siguranță alimentară cere să fie coaptă ultima, ca semințele să nu ajungă pe celelalte produse. Cuptorul este încălzit și gata la ora 4:30. Lunea, când comenzile sunt mici, brutarul coace doar trei dintre cele cinci sortimente.

Sortiment	Temperatura (°C)	Durata coacerii (min)
pâine albă	232	38
chifle	226	17
pâine integrală	218	52
covrigi	241	16
pâine cu susan	228	47

Brutarul vrea să știe câte ordini de coacere are la dispoziție înainte să facă programul de lucru al săptămânii, iar înaintea lui trebuie să știe și cât durează în total coacerea celor cinci sortimente.

Întrebare: în câte ordini poate coace cele cinci sortimente și câte dintre ele respectă regula pentru pâinea cu susan?

De la situație la model

Brutarul alege ce sortiment urmează, apoi ce sortiment vine după acela, până le-a pus pe toate. Tabelul traduce situația.

În situație	În matematică
cele cinci sortimente de coapt	cele $n = 5$ elemente ale unei mulțimi
ordinea de coacere, de la primul la ultimul	o permutare a mulțimii: toate elementele, într-o ordine
numărul ordinilor posibile	$P_{5} = 5!$
pâinea cu susan, obligatoriu ultima	un element fixat pe ultima poziție
lunea, trei sortimente din cinci, coapte într-o ordine	aranjamente de 5 luate câte 3, notate $A_{5}^{3}$

Factorialul unui număr natural $n \geq 1$ este produsul $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$ , iar prin convenție $0! = 1$ . Permutările unei mulțimi cu $n$ elemente sunt toate ordinile în care se pot așeza cele $n$ elemente, iar numărul lor este $P_{n} = n!$ . Aranjamentele de $n$ elemente luate câte $k$ sunt șirurile ordonate de $k$ elemente distincte, alese din cele $n$ ; numărul lor este $A_{n}^{k}$ .

De unde vine $n!$ ?

Brutarul alege sortimentul care intră primul în cuptor și are 5 posibilități. Pentru locul al doilea nu mai poate lua același sortiment, deci are 4 posibilități, apoi 3, apoi 2, iar ultimul sortiment rămâne de la sine. Desenat ca arbore, șirul de alegeri are 5, apoi 4, 3, 2 și 1 ramuri la fiecare nivel, iar frunzele sunt produsul acestor numere, adică $5!$ . Pentru $n$ sortimente produsul are $n$ factori, de la $n$ până la 1. Factorialul crește repede: $7!$ are deja patru cifre. Notația $A_{n}^{k}$ este cea din cerințele de examen.

Când folosești permutări și când aranjamente?

Cu permutări așezi toate elementele, iar cu aranjamente doar $k$ dintre cele $n$ : întâi alegi, apoi ordonezi. Primul loc se completează în $n$ moduri, al doilea în $n - 1$ , iar al $k$ -lea în $n - k + 1$ , deci obții produsul a $k$ factori consecutivi care scad: $A_{n}^{k} = n (n - 1) \dots (n - k + 1)$ . Lunea, brutarul are $A_{5}^{3} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ de programe posibile. Pentru $k = n$ aranjamentele sunt chiar permutările, $A_{n}^{n} = n!$ .

Ce faci când o regulă fixează un element?

Fixezi întâi elementul, apoi așezi restul liber. Cu pâinea cu susan pe ultimul loc rămân patru sortimente pe patru locuri, deci $4! = 24$ ordini, nu $5!$ . Regula nu scoate o singură ordine, ci pe toate cele în care elementul fixat stă în altă parte. La aranjamente procedezi la fel: dacă oferta de ciment e impusă pe poziția 1, rămân 6 oferte pentru celelalte 3 poziții.

Metoda pas cu pas

Spune ce sunt obiectele și ce sunt pozițiile, apoi notează $n$ , numărul obiectelor, și $k$ , numărul pozițiilor ocupate. La brutărie obiectele sunt sortimentele, iar pozițiile sunt locurile din șirul de coacere; la panoul de oferte, obiectele sunt ofertele, iar pozițiile sunt cele patru locuri numerotate.
Verifică dacă ordinea contează și dacă obiectele sunt distincte și nu se repetă; la permutări și la aranjamente ordinea contează, iar fiecare obiect apare cel mult o dată. Dacă enunțul permite repetarea, nu mai este vorba de aranjamente. Citește enunțul de două ori: o regulă ascunsă într-un cuvânt mic, ca „ultima”, schimbă numărătoarea.
Fixează întâi restricțiile, adică obiectul sau poziția impusă, și numără apoi poziție cu poziție câte alegeri rămân libere la fiecare poziție. Restricția se tratează înaintea restului, altfel numeri ordini care o încalcă și trebuie să le scazi apoi.
Calculează: pentru $k = n$ folosești $P_{n} = n!$ , iar pentru $k < n$ înmulțești $k$ factori consecutivi care scad, începând de la $n$ . Scrie rezultatul și cu notația $P_{n}$ sau $A_{n}^{k}$ , apoi citește-l în cuvintele problemei, de pildă ca număr de ordini de coacere.
Verifică pe alt drum: împarte cazurile după un obiect anume, de pildă după faptul că apare sau nu apare, ori după locul pe care stă; părțile trebuie să dea împreună totalul. Pe un caz mic poți scrie chiar toate ordinile. Rezultatul trebuie să fie un număr întreg, iar cu o regulă în plus nu poate crește.

Alegerile care nu depind de ordine le numeri cu combinările dintr-o listă, iar când ai nevoie de desen te ajută arborele de variante. La filiera tehnologică, binomul până la puterea 5 încheie unitatea, iar traseul clasei a X-a, filiera tehnologică adună toate lecțiile.

Fișa de buzunar

$P_{n} = n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$

$A_{n}^{k} = n (n - 1) \dots (n - k + 1) = \frac{n !}{( n - k )!}$

Formulele se aplică numai dacă obiectele sunt distincte, nu se repetă, iar $0 \leq k \leq n$ . Produsul din $A_{n}^{k}$ are exact $k$ factori și nu se calculează factorialele întregi, fiindcă ele cresc foarte repede. Verificare rapidă: $A_{n}^{n} = P_{n}$ și $A_{n}^{1} = n$ ; notația $P_{n}$ înseamnă același lucru cu $n!$ , iar rezultatul este întotdeauna un număr natural.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Ordinea de coacere

Domeniu: alimentar.

Enunț. Reluăm brutăria din situația de pornire: cinci sortimente, în orice ordine, cu pâinea cu susan ultima. a) Câte ordini de coacere sunt, dacă nu există nicio regulă? b) Câte respectă regula alergenului? c) La ce oră se termină coacerea, dacă începe la 4:30 și cuptorul nu stă între sortimente?

Rezolvare. a) Toate cele cinci sortimente se așază în ordine, iar ordinea contează, fiindcă a coace chiflele înaintea covrigilor nu e același program cu a face invers. Rezultă $P_{5} = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$ ordini. b) Pâinea cu susan are locul fixat, ultimul. Celelalte patru sortimente se așază liber pe primele patru locuri: $P_{4} = 4! = 24$ ordini. c) Durata nu depinde de ordine, fiindcă fiecare sortiment se coace o singură dată: $38 + 17 + 52 + 16 + 47 = 170$ minute, adică 2 ore și 50 de minute. De la 4:30, coacerea se termină la 7:20.

Capcană. Cine citește regula ca pe o singură ordine interzisă scade 1 din 120 și obține 119 ordini permise. Regula interzice însă 96 de ordini, pe toate cele în care pâinea cu susan nu e ultima, și permite doar 24.

Verificare. Oricare dintre cele cinci sortimente poate fi ultimul, în câte 24 de ordini, deci $5 \cdot 24 = 120$ . Cele 24 de ordini cu susanul ultimul sunt a cincea parte din toate.

Exemplul 2 — Oferte pe panou

Domeniu: comert.

Enunț. Un magazin de materiale de construcții afișează la intrare patru dintre cele șapte oferte ale lunii (ciment, var, cărămidă, BCA, adeziv, vopsea, grund) pe un panou cu patru poziții numerotate; poziția 1 se vede cel mai bine. a) În câte moduri poate fi completat panoul, dacă o ofertă apare cel mult o dată? b) Dar dacă oferta de ciment trebuie să fie pe poziția 1?

Rezolvare. a) Se aleg 4 din 7 oferte și contează pe ce poziție stă fiecare, deci sunt aranjamente: prima poziție se completează în 7 moduri, a doua în 6, a treia în 5, a patra în 4. Rezultă $A_{7}^{4} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840$ moduri. b) Poziția 1 e ocupată de ciment. Pe celelalte trei poziții se așază 3 dintre cele 6 oferte rămase: $A_{6}^{3} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ moduri.

Capcană. Cine înmulțește $7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 2401$ permite aceeași ofertă pe două poziții. Panoul nu afișează o ofertă de două ori, deci după fiecare alegere rămâne cu o ofertă mai puțin.

Verificare. Împarte panourile după oferta de ciment. Cu ciment: cimentul stă pe una dintre cele 4 poziții, iar celelalte trei se completează din 6 oferte, $4 \cdot A_{6}^{3} = 4 \cdot 120 = 480$ . Fără ciment: $A_{6}^{4} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$ . Rezultă $480 + 360 = 840$ .

Exemplul 3 — Panouri pe o fațadă

Domeniu: constructii.

Enunț. Pe o fațadă lungă de 4,9 m se montează, într-un singur rând, panouri late de 1,2 m, fiecare în altă culoare, alese din 9 culori disponibile. a) Câte panouri încap? b) În câte moduri se pot alege și așeza culorile, de la stânga la dreapta? c) În câte moduri, dacă primul panou are culoarea firmei (una dintre cele 9)?

Rezolvare. a) Fațada are 4,9 m, adică 490 cm, iar un panou 120 cm: $490 : 120 = 4, 08 \dots$ . Un panou întreg nu încape în rest, deci rotunjești în jos: 4 panouri. b) Se aleg 4 culori din 9 și contează locul, deci $A_{9}^{4} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024$ moduri. c) Primul panou are culoarea fixată, iar celelalte trei se aleg dintre cele 8 culori rămase: $A_{8}^{3} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ moduri.

Capcană. Cine rotunjește în sus, 4,08 la 5, plănuiește 5 panouri, adică $5 \cdot 1, 2 = 6, 0$ m. Fațada are doar 4,9 m, iar al cincilea panou n-ar avea loc.

Verificare. Patru panouri ocupă $4 \cdot 1, 2 = 4, 8$ m, adică mai puțin de 4,9 m, iar cinci ocupă 6,0 m, mai mult. Fiecare dintre cele 9 culori poate fi prima în același număr de moduri, deci $3024 : 9 = 336$ .

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: cifre și numere

Domeniu: mecanica.

Enunț. Piesele turnate primesc un cod de lot de trei cifre. În probele 2013–2026, cerințele de acest fel au avut formele de mai jos; aici cifrele sunt altele. a) Determinați câte numere de trei cifre, cu cifrele diferite între ele, se pot scrie cu elementele mulțimii $A = {2, 3, 5, 7, 8, 9}$ . b) Determinați numerele naturale de trei cifre care au produsul cifrelor egal cu 28.

Rezolvare. a) Prima cifră se alege în 6 moduri, a doua în 5, a treia în 4: $A_{6}^{3} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ numere. b) O cifră care intră în produs trebuie să dividă 28, deci poate fi 1, 2, 4 sau 7. Din ele, 28 se scrie ca produs de trei cifre în două feluri: $1 \cdot 4 \cdot 7$ și $2 \cdot 2 \cdot 7$ . Cu cifrele distincte 1, 4, 7 se formează $P_{3} = 3! = 6$ numere: 147, 174, 417, 471, 714 și 741. Cu cifrele 2, 2 și 7 contează doar locul cifrei 7, în 3 moduri: 227, 272 și 722. În total sunt $6 + 3 = 9$ numere.

Capcană. Cine caută numai cifre distincte găsește cele 6 numere cu 1, 4 și 7 și le uită pe 227, 272 și 722. Produsul cifrelor este 28 și la ele.

Verificare. Produsele cifrelor sunt $1 \cdot 4 \cdot 7 = 28$ și $2 \cdot 2 \cdot 7 = 28$ , iar niciun alt produs de trei cifre nu dă 28: $1 \cdot 2 \cdot 14$ și $1 \cdot 1 \cdot 28$ au factori mai mari decât 9.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează $6!$ , $\frac{9 !}{7 !}$ , $A_{11}^{3}$ și $A_{10}^{2}$ .

2. Un laborator are 7 probe de lapte de analizat pe același aparat, una după alta. a) În câte ordini le poate trece? b) Dar dacă proba martor trebuie analizată prima?

3. Vitrina unui service are 3 locuri numerotate. Câte moduri există de a alege și a așeza pe ele 3 anvelope diferite, din 12 tipuri?

4. Într-un adăpost sunt 4 boxe numerotate și 4 viței; vițelul bolnav trebuie pus în boxa 4. a) În câte moduri se pot așeza toți? b) Câte dintre ele respectă regula?

Nivelul 2 — situații

5. Un atelier de tâmplărie are 6 plăci de stejar diferite și face un mozaic din 4 dintre ele, într-un rând. a) În câte moduri? b) Dar dacă placa cu nod, care strică marginea, nu are voie la niciunul dintre capete, dar poate lipsi din mozaic?

6. Un tablou electric are 6 aparate diferite, montate toate pe aceeași șină. a) În câte ordini, dacă disjunctorul general stă primul? b) Dar dacă, în plus, cele două siguranțe ale circuitelor de iluminat trebuie să stea una lângă alta?

7. Un fermier are 9 soiuri de porumb și le probează pe 3 parcele numerotate, câte un soi pe parcelă, soiuri diferite. a) În câte moduri? b) Dar dacă soiul cel nou trebuie să fie printre cele trei, pe oricare parcelă?

8. Un tehnician vizitează cele 5 stații de pompare ale unei localități, în orice ordine, dar stația cu defect trebuie vizitată prima. a) Câte ordini sunt? b) Vizita durează 35 de minute, iar fiecare deplasare între două stații 12 minute. Dacă prima vizită începe la 7:30, la ce oră termină?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Calculați $3 \cdot A_{6}^{2} - P_{4}$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Determinați câte numere naturale de trei cifre, cu cifrele diferite între ele, se pot scrie cu elementele mulțimii ${1, 2, 4, 5, 6, 8, 9}$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Determinați numerele naturale de trei cifre care au produsul cifrelor egal cu 12.

12. (Sinteză.) Un service are în tură 11 mecanici și 4 elevatoare numerotate, câte un mecanic la un elevator. a) În câte moduri se pot repartiza? b) Dar dacă mecanicul X lucrează obligatoriu la elevatorul 1? c) Fără condiția de la b), dar dacă mecanicul Y nu are voie la elevatorul 4?

Răspunsuri și verificări

1. $6! = 720$ , $\frac{9 !}{7 !} = 9 \cdot 8 = 72$ , $A_{11}^{3} = 11 \cdot 10 \cdot 9 = 990$ , $A_{10}^{2} = 10 \cdot 9 = 90$ . Verificare: $9! = 362880$ și $7! = 5040$ , iar $362880 : 5040 = 72$ .

2. a) $P_{7} = 7! = 5040$ ordini. b) $6! = 720$ ordini. Verificare: martorul poate fi primul în $5040 : 7 = 720$ ordini.

3. $A_{12}^{3} = 12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320$ moduri. Verificare: vitrinele cu un tip anume de anvelopă sunt $3 \cdot A_{11}^{2} = 330$ , cele fără el $A_{11}^{3} = 990$ ; $330 + 990 = 1320$ .

4. a) $P_{4} = 4! = 24$ moduri. b) Vițelul bolnav are boxa fixată, iar ceilalți 3 se așază liber: $3! = 6$ moduri. Verificare: oricare dintre cei 4 viței poate sta în boxa 4, în câte 6 moduri, iar $4 \cdot 6 = 24$ .

5. a) $A_{6}^{4} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$ de moduri. b) Se scad mozaicurile cu placa cu nod la un capăt, câte $A_{5}^{3} = 60$ la fiecare capăt: $360 - 120 = 240$ de moduri. Verificare: fără placa cu nod, $A_{5}^{4} = 120$ ; cu ea pe locul al doilea sau al treilea, $2 \cdot A_{5}^{3} = 120$ ; $120 + 120 = 240$ .

6. a) Rămân 5 aparate pe 5 locuri: $5! = 120$ de ordini. b) Cele două siguranțe formează un bloc, deci pe locurile 2–6 se așază 4 piese, în $4! = 24$ de ordini, iar în bloc siguranțele se pot inversa: $24 \cdot 2 = 48$ de ordini. Verificare: locurile vecine ale siguranțelor sunt 2–3, 3–4, 4–5 sau 5–6; cu 2 ordini ale siguranțelor și $3! = 6$ ale celorlalte aparate, $4 \cdot 2 \cdot 6 = 48$ .

7. a) $A_{9}^{3} = 9 \cdot 8 \cdot 7 = 504$ moduri. b) Soiul nou stă pe una dintre cele 3 parcele, iar celelalte două primesc soiuri diferite dintre cele 8 rămase: $3 \cdot A_{8}^{2} = 3 \cdot 56 = 168$ de moduri. Verificare: fără soiul nou sunt $A_{8}^{3} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ de moduri, iar $504 - 336 = 168$ .

8. a) Stația cu defect e prima, celelalte 4 vin în orice ordine: $4! = 24$ ordini. b) Sunt 5 vizite și 4 deplasări: $5 \cdot 35 + 4 \cdot 12 = 175 + 48 = 223$ de minute, adică 3 ore și 43 de minute. De la 7:30, termină la 11:13. Verificare: $223 = 3 \cdot 60 + 43$ și $7 : 30 + 3 : 43 = 11 : 13$ .

9. $A_{6}^{2} = 6 \cdot 5 = 30$ . $P_{4} = 4! = 24$ . $3 \cdot 30 - 24 = 90 - 24 = 66$ . Verificare: $A_{6}^{2} = \frac{6 !}{4 !} = 30$ .

10. Mulțimea are 7 elemente, iar prima cifră se alege în 7 moduri. A doua cifră se alege în 6 moduri, iar a treia în 5. Numărul căutat este $A_{7}^{3} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ . Verificare: cu cifra 9 sunt $3 \cdot A_{6}^{2} = 90$ de numere, fără ea $A_{6}^{3} = 120$ ; $90 + 120 = 210$ . Mulțimea nu conține 0, deci nicio cifră nu e interzisă pe primul loc.

11. Cifrele sunt de la 0 la 9, deci 12 este produsul a trei cifre în trei feluri: $1 \cdot 2 \cdot 6$ , $1 \cdot 3 \cdot 4$ și $2 \cdot 2 \cdot 3$ . Cu cifrele 1, 2, 6 sunt $3! = 6$ numere: 126, 162, 216, 261, 612, 621. Cu 1, 3, 4 sunt tot 6: 134, 143, 314, 341, 413, 431. Cu 2, 2, 3 sunt 3 numere: 223, 232, 322. În total $6 + 6 + 3 = 15$ numere. Verificare: $1 \cdot 1 \cdot 12$ nu convine, fiindcă 12 nu e cifră.

12. a) $A_{11}^{4} = 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 = 7920$ de moduri. b) Mecanicul X e la elevatorul 1, iar ceilalți trei elevatori se ocupă din cei 10 rămași: $A_{10}^{3} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ de moduri. c) Elevatorul 4 îl ia unul dintre ceilalți 10 mecanici, apoi elevatoarele 1, 2 și 3 se ocupă din cei 10 rămași: $10 \cdot A_{10}^{3} = 7200$ de moduri. Verificare: cazurile interzise, cu Y la elevatorul 4, sunt $A_{10}^{3} = 720$ , iar $7920 - 720 = 7200$ .

Așa vine la Bac M3

Permutările și aranjamentele au intrat în patru probe oficiale ale Bacalaureatului M3 (M_tehnologic), toate din anii 2013–2019; în probele din 2022–2026 nu mai apar. Toate patru au fost a patra cerință a Subiectului I. Cele patru cerințe reale au trei forme diferite.

Modelul din 2013, Subiectul I, exercițiul 4: se cere valoarea expresiei $5 C_{4}^{2} - A_{5}^{2}$ , deci pasul 4 din Metodă, aici partea cu aranjamente: baremul probei dă 2 puncte pentru $C_{4}^{2} = 6$ , 2 puncte pentru $A_{5}^{2} = 20$ și 1 punct pentru rezultatul 10.
Modelul din 2018, Subiectul I, exercițiul 4: se cere numărul numerelor de trei cifre distincte cu cifre din ${1, 2, 3, 4, 5}$ , deci pasul 3 din Metodă, poziție cu poziție: baremul probei dă 1 punct pentru prima cifră, 1 punct pentru a doua și 3 puncte pentru a treia cifră și produsul $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ .
Simularea din 2018, Subiectul I, exercițiul 4: se cer numerele de trei cifre cu produsul cifrelor 7, deci pasul 1 din Metodă, adică află cifrele, apoi locul cifrei 7: baremul probei dă 2 puncte pentru cifrele 1 sau 7 și 3 puncte pentru numerele 117, 171 și 711.
Simularea din 2019, Subiectul I, exercițiul 4: se cer numerele de trei cifre cu produsul cifrelor 15, deci pasul 4 din Metodă, cu $P_{3} = 6$ : baremul probei dă 3 puncte pentru cifrele 1, 3 și 5 și 2 puncte pentru cele șase numere.

Cea mai des întâlnită formă, în două dintre cele patru probe, este numărul de trei cifre cu produsul cifrelor dat; o exersezi la exercițiul 11.

Greșeli care costă puncte

Pui $7^{4}$ în loc de $A_{7}^{4}$ la panoul de oferte → cauți în rezultat o ofertă care apare de două ori; dacă panoul nu admite repetarea, după fiecare alegere rămâne un obiect mai puțin.
Pui soiul nou numai pe prima parcelă, deși enunțul cere doar să fie printre cele trei, și numeri 56 de moduri în loc de 168 → scazi din toate alegerile pe cele fără soiul nou: $504 - 336 = 168$ .
Scazi 1 din $5!$ pentru regula alergenului → numeri ordinile permise, 24, și pe cele interzise, 96; ele dau împreună 120.
La produsul cifrelor 28 iei numai cifre distincte → încerci toate scrierile ca produs de trei cifre, inclusiv $2 \cdot 2 \cdot 7$ , la care sunt 3 numere, nu 6.
Rotunjești în sus numărul de panouri, 4,08 la 5 → verifici lungimea: 5 panouri de 1,2 m depășesc fațada de 4,9 m.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, numărarea permutărilor și a aranjamentelor face parte din programa de examen (Subiectul I; programa de examen o așază în clasa a X-a). În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 4 probe.

Întrebări frecvente

Din ce ani sunt cerințele cu permutări de la Bacalaureatul M3 și ce au cerut?

Toate patru sunt din 2013–2019: modelul din 2013, modelul și simularea din 2018 și simularea din 2019, fiecare la a patra cerință a Subiectului I. Una a cerut un calcul cu $A_{5}^{2}$ și $C_{4}^{2}$ , una numărul numerelor de trei cifre distincte dintr-o mulțime, iar două numerele de trei cifre cu produsul cifrelor 7 și 15.

Cât ar dura ca brutarul să încerce toate cele 120 de ordini de coacere?

Fiecare ordine înseamnă 170 de minute de coacere, deci $120 \cdot 170 = 20400$ de minute, adică 340 de ore, peste 14 zile fără oprire. De aceea brutarul nu încearcă ordinile una câte una: le numără cu $5!$ , apoi alege dintre cele permise una care îi convine.

Cum crește numărul de panouri posibile dacă panoul primește o a cincea poziție?

Se înmulțește cu $7 - 4 = 3$ : $A_{7}^{5} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 2520$ , iar $840 \cdot 3 = 2520$ . Pentru fiecare dintre cele 840 de panouri cu patru oferte au rămas 3 oferte nefolosite, deci poziția a cincea se poate completa în 3 moduri, iar numărul panourilor se triplează.

Câte ordini ar fi dacă două dintre cele cinci coaceri ar fi loturi identice de chifle?

Doar 60. Cele 120 de ordini numără separat două ordini care diferă numai prin schimbarea celor două loturi identice, iar în cuptor ele arată la fel: $120 : 2 = 60$ . Același motiv face ca numerele formate cu cifrele 1, 1 și 7 să fie 3, nu 6.

Există o ordine în care cuptorul doar se răcește de la un sortiment la altul?

Nu, din cauza susanului. Primele patru sortimente coboară în temperatură numai în ordinea covrigi, pâine albă, chifle, pâine integrală, de la 241 la 218 °C, una singură dintre cele 24 de ordini permise. Pâinea cu susan cere apoi 228 °C, deci cuptorul se reîncălzește cu 10 °C înainte de ultimul sortiment.

Câte ordini rămân dacă pâinea integrală nu poate intra prima în cuptor?

Cu susanul ultimul, pâinea integrală poate sta pe locul al doilea, al treilea sau al patrulea, iar celelalte trei sortimente se așază pe locurile rămase în $3! = 6$ ordini. Rămân $3 \cdot 6 = 18$ ordini din cele 24, printre ele și ordinea cu răcire de la întrebarea de mai sus, unde pâinea integrală e a patra.