Cum aflu unghiurile unui triunghi?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Probleme cu unghiurile triunghiului

Pornești de la faptul că cele trei unghiuri interioare strâng împreună $180°$ , așa că al treilea se află scăzând din această valoare primele două. Când în figură apare o prelungire de latură, folosești unghiul din afara triunghiului: el adună măsurile celor două unghiuri interioare depărtate de el. Pentru un unghi exterior de $130°$ și un unghi interior de $55°$ , celelalte două măsoară $75°$ și $50°$ .

Ca să rezolvi probleme complete despre triunghiuri, combini mai multe instrumente cunoscute:

Suma unghiurilor: $m (∠ A) + m (∠ B) + m (∠ C) = 180°$ .
Teorema unghiului exterior: un unghi exterior este egal cu suma celor două unghiuri interioare neadiacente; iar unghiul exterior și cel interior din același vârf sunt suplementare (însumează $180°$ ).
Tipul triunghiului: după unghiuri (ascuțitunghic/dreptunghic/obtuzunghic — te uiți la cel mai mare unghi) și după laturi (scalen/isoscel/echilateral — te uiți la unghiuri egale).
Legătura latură–unghi: laturii mai mari i se opune unghiul mai mare.

Orice problemă de geometrie se scrie cu ipoteză (ce ai) și concluzie (ce cauți), apoi se verifică rezultatul (suma trebuie să dea $180°$ ).

Exemplu: unghi exterior în $C$ $= 130°$ , $m (∠ A) = 55°$ . Atunci $m (∠ B) = 130° - 55° = 75°$ , iar $m (∠ C) = 180° - 130° = 50°$ . Verificare: $55° + 75° + 50° = 180°$ . ✓

De reținut

$m (∠ A) + m (∠ B) + m (∠ C) = 180°$
unghiul din afara triunghiului adună cele două unghiuri interioare depărtate de el
împreună cu unghiul interior de lângă el, unghiul exterior strânge $180°$

Greșeala tipică

Se folosește unghiul exterior ca și cum ar fi unul interior și suma trece de $180°$ ; înainte de a aduna, se stabilește pentru fiecare unghi dacă se află înăuntrul triunghiului sau pe prelungirea unei laturi.

Exerciții din această mini-lecție

În triunghiul $D E F$ , la vârful $F$ latura $E F$ se prelungește și se formează un unghi exterior de $125°$ . Se știe că $m (∠ D) = 48°$ . Cât este $m (∠ E)$ ?
- a) $55°$
- b) $77°$
- c) $48°$
- d) $125°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $77°$

Unghiul exterior este egal cu suma unghiurilor neadiacente: $125° = m (∠ D) + m (∠ E) = 48° + m (∠ E)$ , deci $m (∠ E) = 125° - 48° = 77°$ .
Un triunghi are unghiurile de $35°$ , $35°$ și $110°$ . Ce fel de triunghi este, după unghiuri și după laturi?
- a) ascuțitunghic isoscel
- b) obtuzunghic scalen
- c) obtuzunghic isoscel
- d) dreptunghic isoscel
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) obtuzunghic isoscel

Cel mai mare unghi este $110° > 90°$ , deci triunghiul este obtuzunghic. Două unghiuri sunt egale ( $35°$ și $35°$ ), deci laturile opuse lor sunt egale, adică triunghiul este și isoscel. Răspuns: obtuzunghic isoscel.
În triunghiul $A B C$ , la vârful $B$ se formează un unghi exterior de $140°$ . Se știe că $m (∠ A) = 65°$ . Cât este $m (∠ C)$ ?
- a) $75°$
- b) $65°$
- c) $85°$
- d) $140°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $75°$

Unghiul exterior este egal cu suma unghiurilor neadiacente: $140° = m (∠ A) + m (∠ C) = 65° + m (∠ C)$ , deci $m (∠ C) = 140° - 65° = 75°$ .

Întrebări conexe

Cum aflu unghiurile unui triunghi isoscel dacă știu unul singur?

Depinde care este cunoscut. Dacă știi unghiul dintre laturile egale, scazi din $180°$ și împarți restul la doi, obținând cele două unghiuri de la bază. Dacă știi un unghi de la bază, îl dublezi și scazi rezultatul din $180°$ ca să afli vârful.

Cât este suma unghiurilor exterioare ale unui triunghi?

Este $360°$ , luând câte un unghi exterior la fiecare vârf. Fiecare pereche formată dintr-un unghi interior și unul exterior dă $180°$ , deci cele trei perechi dau $540°$ ; scăzând cele $180°$ ale unghiurilor interioare, rămân $360°$ .

Ce fac dacă un unghi al triunghiului este dat printr-o expresie cu literă?

Scrii ecuația sumei, adunând toate cele trei expresii și punând rezultatul egal cu $180°$ . Rezolvi ecuația, afli litera, apoi te întorci și înlocuiești în fiecare expresie ca să obții măsurile. La final verifici că suma lor chiar dă $180°$ .

Cum aflu unghiurile dacă știu raportul dintre ele?

Împarți cele $180°$ în atâtea părți egale câte arată suma numerelor din raport. Pentru raportul 1 : 2 : 3 ai șase părți, deci una are $30°$ , iar unghiurile ies $30°$ , $60°$ și $90°$ . Metoda merge la orice raport dat între cele trei unghiuri.

Cum aflu unghiurile unui triunghi dreptunghic dacă știu unul ascuțit?

Cele două unghiuri ascuțite se completează până la $9 0^{\circ}$ , fiindcă al treilea ocupă deja unghiul drept. Dacă unul are $3 5^{\circ}$ , celălalt are $5 5^{\circ}$ . Verificarea vine imediat: cele trei măsuri trebuie să adune $18 0^{\circ}$ .

Cum verific dacă unghiurile găsite pentru un triunghi sunt corecte?

Le aduni și trebuie să obții exact $180°$ . Verifici apoi și ordinea: unghiul cel mai mare stă în fața laturii celei mai lungi. Dacă suma nu se potrivește sau ordinea nu corespunde datelor, ai greșit undeva în calcul.

Oamenii mai întreabă și: suma unghiurilor unui triunghi · cât fac unghiurile unui triunghi · unghiul exterior al triunghiului · cum aflu al treilea unghi