O florăreasă are 35 de trandafiri și 56 de crini. Vrea să facă buchete identice, folosind toate florile, astfel încât numărul de buchete să fie cât mai mare. Ce metodă se folosește și câte buchete rezultă?

$$\text{c.m.m.d.c.}(35,56)$$, deci 7 buchete

$$\text{c.m.m.m.c.}(35,56)$$, deci 280 de buchete

$$\text{c.m.m.d.c.}(35,56)$$, deci 5 buchete

$$\text{c.m.m.m.c.}(35,56)$$, deci 91 de buchete

Cum știu dacă problema cere cmmdc sau cmmmc?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Probleme practice cu c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.

Când împarți ceva în grupe egale, fără rest, cauți divizorul comun cel mai mare; când urmărești momentul în care două lucruri care se repetă se întâlnesc din nou, cauți multiplul comun cel mai mic. Două cronometre care sună din $4$ în $4$ secunde și din $6$ în $6$ secunde se potrivesc iar după $12$ secunde. Un control rapid: divizorul iese cel mult cât numărul mic, iar multiplul cel puțin cât numărul mare.

Multe probleme practice ascund, de fapt, un calcul de $c.m.m.d.c.$ sau de $c.m.m.m.c.$ , iar cheia este să recunoști tipul înainte de a calcula.

Împarți o cantitate în grupe egale (cele mai multe grupe, cea mai mare bucată, fără rest) → folosești $c.m.m.d.c.$ , luând factorii comuni la puterea cea mai mică.
Mai multe evenimente ciclice se repetă și cauți când coincid din nou → folosești $c.m.m.m.c.$ , luând toți factorii la puterea cea mai mare.

Test rapid: $c.m.m.d.c. (a, b) \leq min (a, b)$ , iar $c.m.m.m.c. (a, b) \geq max (a, b)$ .

Exemplu minimal: Două cronometre sună din 4 în 4 s și din 6 în 6 s. Cum se repetă simultan, calculăm $c.m.m.m.c. (4, 6)$ : $4 = 2^{2}$ , $6 = 2 \cdot 3$ , deci $c.m.m.m.c. = 2^{2} \cdot 3 = 12$ . Vor suna din nou împreună peste 12 secunde.

Reține: uneori $c.m.m.d.c.$ dă numărul de grupe, alteori mărimea unei grupe — citește cu atenție întrebarea.

De reținut

grupe egale, fără rest: divizorul comun cel mai mare
evenimente care se repetă și coincid: multiplul comun cel mai mic
control: $(a, b) \leq min (a, b)$ și $[a, b] \geq max (a, b)$

Greșeala tipică

Se calculează multiplul comun acolo unde enunțul cerea împărțirea în grupe egale, iar răspunsul iese mai mare decât cantitatea disponibilă; tipul problemei se stabilește înainte de orice calcul, din verbul folosit în enunț.

Exerciții din această mini-lecție

O florăreasă are 35 de trandafiri și 56 de crini. Vrea să facă buchete identice, folosind toate florile, astfel încât numărul de buchete să fie cât mai mare. Ce metodă se folosește și câte buchete rezultă?
- a) $c.m.m.m.c. (35, 56)$ , deci 280 de buchete
- b) $c.m.m.d.c. (35, 56)$ , deci 7 buchete
- c) $c.m.m.d.c. (35, 56)$ , deci 5 buchete
- d) $c.m.m.m.c. (35, 56)$ , deci 91 de buchete
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $c.m.m.d.c. (35, 56)$ , deci 7 buchete

Buchete identice, cât mai multe, folosind toate florile = împărțire în grupe egale → $c.m.m.d.c.$ . Descompunem: $35 = 5 \cdot 7$ , $56 = 2^{3} \cdot 7$ . Factorul comun este $7^{1}$ , deci $c.m.m.d.c. (35, 56) = 7$ . Rezultă 7 buchete, fiecare cu $35 : 7 = 5$ trandafiri și $56 : 7 = 8$ crini. Verificare: $7 \cdot 5 = 35$ ✔, $7 \cdot 8 = 56$ ✔.
Un tâmplar are trei scânduri: una de 63 cm, una de 84 cm și una de 105 cm. Vrea să le taie în bucăți de aceeași lungime, fără resturi, iar bucățile să fie cât mai lungi posibil. Ce lungime va avea o bucată?
- a) 21 cm
- b) 7 cm
- c) 315 cm
- d) 3 cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) 21 cm

Tăiere în bucăți egale cât mai lungi înseamnă mărimea unei grupe prin $c.m.m.d.c.$ . Descompuneri: $63 = 3^{2} \cdot 7$ , $84 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7$ , $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$ . Factorii comuni la puterea cea mai mică sunt $3^{1}$ și $7^{1}$ , deci $c.m.m.d.c. (63, 84, 105) = 3 \cdot 7 = 21$ . O bucată are 21 cm. Verificare: $63 : 21 = 3$ , $84 : 21 = 4$ , $105 : 21 = 5$ , toate ies fără rest.
O cofetăreasă are 48 de brioșe și 60 de fursecuri. Vrea să facă coșulețe identice, folosind toate produsele, astfel încât numărul de coșulețe să fie cât mai mare. Câte coșulețe rezultă?
- a) 12 coșulețe
- b) 240 coșulețe
- c) 32 coșulețe
- d) 22 coșulețe
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) 12 coșulețe

Grupare în coșulețe identice, cât mai multe, cu toate produsele → $c.m.m.d.c.$ . Descompunem: $48 = 2^{4} \cdot 3$ , $60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ . Factorii comuni la puterea cea mai mică sunt $2^{2} \cdot 3 = 12$ , deci $c.m.m.d.c. (48, 60) = 12$ . Rezultă 12 coșulețe, fiecare cu $48 : 12 = 4$ brioșe și $60 : 12 = 5$ fursecuri. Varianta b) este $c.m.m.m.c. (48, 60) = 240$ , folosit greșit.

Întrebări conexe

Cum recunosc dintr-un enunț că se cere divizorul comun cel mai mare?

Apar formulări despre pachete la fel, bucăți egale, fără să rămână nimic, sau despre cea mai mare mărime posibilă a unei grupe. Datele sunt cantități care se împart, nu evenimente care se repetă. Rezultatul nu trece de cel mai mic dintre numerele din enunț, iar egal cu el iese doar când acela îl împarte exact pe celălalt.

Cum recunosc dintr-un enunț că se cere multiplul comun cel mai mic?

Apar acțiuni care se repetă la intervale diferite: autobuze care pleacă din cinci în cinci minute, becuri care clipesc, roți care se rotesc. Întrebarea privește momentul următor în care lucrurile coincid, iar răspunsul nu coboară sub cel mai mare interval dat; egal cu el iese doar când acesta se împarte exact la celelalte.

Cum calculez divizorul comun cel mai mare din descompuneri?

Iei doar bazele care apar la toate numerele și le ridici la exponentul cel mai mic întâlnit. Pentru $24 = 2^{3} \cdot 3$ și $36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ păstrezi $2^{2}$ și $3$ , deci rezultatul este $12$ . Bazele care lipsesc dintr-un număr nu intră deloc.

Cum calculez multiplul comun cel mai mic din descompuneri?

Iei toate bazele care apar în oricare dintre numere și le ridici la exponentul cel mai mare întâlnit. Pentru $24 = 2^{3} \cdot 3$ și $36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ păstrezi $2^{3}$ și $3^{2}$ , deci rezultatul este $72$ . Nicio bază nu se pierde pe drum.

Cum îmi dau seama dacă se cere numărul grupelor sau mărimea unei grupe?

Recitești ultima propoziție a enunțului. Divizorul comun găsit este de obicei mărimea unei grupe sau numărul de bucăți dintr-un pachet; numărul grupelor se obține împărțind cantitatea la acea valoare. Confuzia dintre cele două costă rezolvarea, chiar dacă tot calculul este corect.

Cum verific rezultatul unei probleme de divizibilitate?

Împarți fiecare cantitate la valoarea găsită și te asiguri că nu rămâne rest, sau împarți multiplul găsit la fiecare interval. Verifici apoi și mărimea: divizorul nu poate depăși numerele date, iar multiplul nu poate fi mai mic decât ele.

Oamenii mai întreabă și: când se folosește cmmdc · când se folosește cmmmc · probleme cu divizibilitate · probleme cu cel mai mare divizor comun