Două drepte $$c$$ și $$d$$ sunt tăiate de secanta $$s$$. Se formează două unghiuri interne de aceeași parte a secantei, cu măsurile $$118°$$ și $$62°$$. Ce concluzie corectă rezultă?

$$c \parallel d$$, deoarece cele două unghiuri sunt suplementare (suma $$180°$$) — criteriu de paralelism.

$$c \parallel d$$, deoarece cele două unghiuri sunt congruente.

$$c$$ și $$d$$ nu pot fi paralele, deoarece unghiurile nu sunt congruente.

Nu se poate preciza nimic, deoarece lipsește măsura secantei.

Ce unghiuri egale dau două drepte paralele?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Strategia rezolvării problemelor de paralelism

Când o secantă taie două paralele, sunt egale unghiurile corespondente, cele alterne interne și cele alterne externe. Unghiurile interne aflate de aceeași parte a secantei nu sunt egale, ci adună $180°$ , la fel ca perechea de unghiuri externe de aceeași parte. Din cele opt unghiuri formate apar doar două măsuri diferite, care se completează reciproc. Dacă un unghi are $50°$ , toate celelalte au fie $50°$ , fie $130°$ .

O problemă de paralelism combină dreptele paralele, o secantă și perechile de unghiuri, în două sensuri posibile: fie calculezi unghiuri, folosind faptul că dreptele sunt paralele (o proprietate), fie demonstrezi paralelismul, folosind un criteriu (sensul invers, de la unghiuri la paralelism). Rezolvarea are mereu două părți legate printr-un șir de pași justificați: ipoteza (ce se dă) și concluzia (ce se cere). Regulă esențială: unghiurile corespondente, alternele interne și alternele externe sunt congruente (egale); unghiurile interne (sau externe) de aceeași parte a secantei sunt suplementare, cu suma $180°$ . Fiecare pas trebuie justificat, scriind în paranteză proprietatea sau criteriul folosit.

Exemplu rezolvat: dacă $a ∥ b$ și două unghiuri alterne interne au măsurile $(2 x + 10) °$ și $(4 x - 30) °$ , din congruență scriem $2 x + 10 = 4 x - 30$ , de unde $40 = 2 x$ , deci $x = 20$ , iar fiecare unghi are $2 \cdot 20 + 10 = 50°$ .

De reținut

corespondente, alterne interne și alterne externe: egale
unghiurile din aceeași parte a secantei, ambele interne sau ambele externe, adună $180°$
criteriul merge de la unghiuri la paralelism, proprietatea invers

Greșeala tipică

Se folosesc egalitățile de unghiuri fără ca paralelismul să fi fost dat sau demonstrat; relațiile acestea sunt valabile numai între drepte paralele, altfel unghiurile pot avea orice măsuri.

Exerciții din această mini-lecție

Dreptele $a$ și $b$ sunt paralele, tăiate de secanta $s$ . Unul dintre unghiurile corespondente are $72°$ . Ce măsură are perechea sa corespondentă?
- a) $18°$
- b) $72°$
- c) $108°$
- d) $144°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $72°$

Când $a ∥ b$ , unghiurile corespondente sunt congruente, adică au aceeași măsură. Prin urmare, perechea corespondentă a unghiului de $72°$ are tot $72°$ .
Două drepte $c$ și $d$ sunt tăiate de secanta $s$ . Se formează două unghiuri interne de aceeași parte a secantei, cu măsurile $118°$ și $62°$ . Ce concluzie corectă rezultă?
- a) $c ∥ d$ , deoarece cele două unghiuri sunt suplementare (suma $180°$ ) — criteriu de paralelism.
- b) $c ∥ d$ , deoarece cele două unghiuri sunt congruente.
- c) $c$ și $d$ nu pot fi paralele, deoarece unghiurile nu sunt congruente.
- d) Nu se poate preciza nimic, deoarece lipsește măsura secantei.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $c ∥ d$ , deoarece cele două unghiuri sunt suplementare (suma $180°$ ) — criteriu de paralelism.

$118° + 62° = 180°$ , deci cele două unghiuri interne de aceeași parte a secantei sunt suplementare. Conform criteriului de paralelism (dacă unghiurile interne de aceeași parte sunt suplementare, atunci dreptele sunt paralele), rezultă $c ∥ d$ .
Dreptele $a$ și $b$ sunt paralele, tăiate de secanta $s$ . Se formează două unghiuri interne de aceeași parte a secantei; unul dintre ele are $75°$ . Ce măsură are celălalt unghi?
- a) $105°$
- b) $75°$
- c) $15°$
- d) $180°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $105°$

Când $a ∥ b$ , unghiurile interne de aceeași parte a secantei sunt suplementare (suma $180°$ ), nu congruente. Deci celălalt unghi are $180° - 75° = 105°$ .

Întrebări conexe

Când folosesc o proprietate și când un criteriu de paralelism?

Proprietatea pornește de la drepte despre care se știe deja că sunt paralele și duce la egalități de unghiuri, deci o folosești când calculezi măsuri. Criteriul face drumul invers, de la unghiuri egale la concluzia că dreptele nu se întâlnesc niciodată, deci îl folosești când demonstrezi.

Ce fac dacă în figură apar două secante?

Iei fiecare secantă pe rând și scrii pentru ea perechile de unghiuri egale sau suplementare. Măsurile aflate la primul pas devin date pentru al doilea, iar cele două secante se leagă de obicei printr-un unghi comun al figurii. Amestecarea lor într-o singură relație duce aproape mereu la un rezultat fals.

Ce fac dacă unghiurile sunt date prin expresii cu litere?

Scrii egalitatea sau suma cerută de tipul perechii și obții o ecuație. Pentru două unghiuri alterne interne de măsuri $(2 x + 10) °$ și $(4 x - 30) °$ egalezi expresiile, de unde $x = 20$ , iar fiecare unghi are $50°$ . La final înlocuiești și verifici.

Cum aflu toate cele opt unghiuri dacă știu unul singur?

Scazi unghiul dat din $180°$ și afli vecinul lui de la aceeași intersecție. Le muți apoi pe amândouă la cealaltă intersecție, pe pozițiile corespondente. Controlul se face pe loc: unghiurile din jurul fiecărui punct trebuie să adune $360°$ .

Ce unghiuri apar dacă secanta este perpendiculară pe paralele?

Toate cele opt unghiuri devin drepte, deci egale între ele. Perpendicularitatea pe una dintre drepte o atrage pe cealaltă, iar în figură nu mai rămâne niciun unghi ascuțit sau obtuz. Este singura așezare în care apare o măsură, nu două.

Ce fac dacă în figură apar trei drepte paralele?

Iei secanta o dată cu prima pereche și o dată cu a doua, aplicând de fiecare dată aceleași proprietăți. Unghiurile se transmit din aproape în aproape, așa că unghiul format cu prima dreaptă se regăsește și la a treia. Se lucrează pe perechi, niciodată pe toate trei deodată.

Oamenii mai întreabă și: unghiuri formate de două paralele și o secantă · unghiuri alterne interne · criterii de paralelism · cum demonstrez paralelismul a două drepte