Când sunt două bisectoare perpendiculare?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Probleme de perpendicularitate și mediatoare

Atunci când unghiurile pe care le împart adună $180°$ , adică sunt suplementare. Fiecare bisectoare ia jumătate din unghiul ei, iar cele două jumătăți strâng împreună $90°$ , deci unghiul dintre bisectoare este drept. Rezultatul nu depinde de măsurile fiecărui unghi în parte. Dacă unghiurile ar aduna doar $90°$ , bisectoarele lor ar forma un unghi de $45°$ , nu unul drept.

O problemă de perpendicularitate îmbină patru idei deja cunoscute. Perpendicularitatea înseamnă unghi de $90°$ : dacă $a ⊥ b$ , unghiul dintre ele este drept, și reciproc. Distanța de la un punct $P$ la o dreaptă $d$ este lungimea perpendicularei coborâte din $P$ pe $d$ — cel mai scurt segment posibil; orice alt segment (oblic) este mai lung. Mediatoarea segmentului $A B$ trece prin mijlocul lui și este perpendiculară pe $A B$ ; proprietatea ei cheie este că orice punct $M$ de pe ea satisface $M A = M B$ , și reciproc. Perpendicularitatea mai apare ascunsă în unghiuri: bisectoarele a două unghiuri suplementare (sumă $180°$ ) sunt perpendiculare (unghiul dintre ele are $90°$ ), pe când bisectoarele a două unghiuri complementare fac doar $45°$ .

Exemplu: $A O B = 90°$ , iar $O M$ este interior cu $A O M = 3 \cdot M O B$ . Notez $M O B = x$ : $3 x + x = 90° \Rightarrow 4 x = 90° \Rightarrow x = 22, 5°$ , deci $M O B = 22, 5°$ și $A O M = 67, 5°$ .

De reținut

$a ⊥ b$ înseamnă unghi de $90°$ între cele două drepte
distanța până la o dreaptă se citește pe perpendiculara coborâtă din punct
bisectoarele a două unghiuri suplementare sunt perpendiculare

Greșeala tipică

Se aplică rezultatul cu unghiul drept la bisectoarele oricăror două unghiuri vecine; concluzia cere ca suma unghiurilor să fie $180°$ , iar la unghiuri complementare bisectoarele fac doar $45°$ .

Exerciții din această mini-lecție

Punctul $P$ se află la distanța de $9$ cm de dreapta $d$ . Pe dreapta $d$ se aleg punctele $R$ , $S$ și $T$ astfel încât $P R = 9$ cm, $P S = 15$ cm și $P T = 12, 5$ cm. Care segment este perpendiculara dusă din $P$ pe $d$ ?
- a) $P S$
- b) $P T$
- c) $P R$
- d) Nu se poate determina
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $P R$

Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei, adică cel mai scurt segment dus din punct până la dreaptă. Aici distanța este $9$ cm, iar singurul segment cu exact $9$ cm este $P R$ . Verificare: $P S = 15 > 9$ și $P T = 12, 5 > 9$ , deci sunt segmente oblice, mai lungi decât perpendiculara. ✓
Unghiurile $A O B$ și $B O C$ sunt adiacente și suplementare (adică $A$ , $O$ , $C$ sunt coliniare). $O M$ este bisectoarea lui $A O B$ , iar $O N$ este bisectoarea lui $B O C$ . Cât este măsura unghiului $M O N$ ?
- a) $45°$
- b) $60°$
- c) $90°$
- d) $180°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $90°$

Notez $A O B = 2 a$ și $B O C = 2 b$ . Fiind suplementare, $2 a + 2 b = 180° \Rightarrow a + b = 90°$ . Bisectoarele înjumătățesc fiecare unghi, deci $B O M = a$ și $B O N = b$ , iar $M O N = B O M + B O N = a + b = 90°$ . Deci $O M ⊥ O N$ , exact ca la bisectoarele a două unghiuri suplementare.
Punctul $Q$ se află la distanța de $6$ cm de dreapta $m$ . Pe dreapta $m$ se aleg punctele $U$ , $V$ și $W$ astfel încât $Q U = 10$ cm, $Q V = 6$ cm și $Q W = 8$ cm. Care segment este perpendiculara dusă din $Q$ pe $m$ ?
- a) $Q U$
- b) $Q V$
- c) $Q W$
- d) Nu se poate determina
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $Q V$

Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei, cel mai scurt segment posibil. Aici distanța este $6$ cm, iar singurul segment cu exact $6$ cm este $Q V$ . Verificare: $Q U = 10 > 6$ și $Q W = 8 > 6$ , deci sunt segmente oblice, mai lungi decât perpendiculara. ✓

Întrebări conexe

Cum împart un unghi drept în două părți aflate într-un raport dat?

Notezi partea mai mică cu $x$ și scrii cealaltă în funcție de ea. Dacă una este de trei ori mai mare, ai $3 x + x = 90°$ , deci $x = 22, 5°$ , iar cealaltă are $67, 5°$ . Verificarea se face adunând cele două valori găsite.

De ce perpendiculara dă cea mai scurtă legătură cu o dreaptă?

Pentru că orice alt segment dus din același punct formează, împreună cu perpendiculara și cu dreapta, un triunghi dreptunghic în care el este latura din fața unghiului drept, deci cea mai lungă. Așa se justifică folosirea ei la măsurarea distanței.

Cum arăt că două drepte sunt perpendiculare într-o problemă?

Ori găsești un unghi de $90°$ dat în ipoteză, ori arăți că două unghiuri adiacente sunt egale și adună un unghi alungit. A treia cale este să folosești o proprietate cunoscută: diagonalele rombului, mediatoarea unui segment sau înălțimea unui triunghi.

Cum folosesc perpendicularitatea într-o problemă cu un dreptunghi?

Laturile alăturate ale dreptunghiului sunt perpendiculare, deci fiecare colț oferă un unghi de $90°$ gata dat. De aici se calculează unghiurile formate de diagonale sau de segmente duse în interior, folosind sumele cunoscute de unghiuri.

Cum scriu îngrijit rezolvarea unei probleme de perpendicularitate?

Notezi întâi ce se dă și ce se cere, apoi treci pas cu pas relațiile, punând lângă fiecare motivul ei. Închei cu propoziția care răspunde la întrebare. Un desen clar, cu pătrățelele unghiurilor drepte marcate, ajută mai mult decât orice explicație lungă.

Ce poziție au două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă?

Sunt paralele între ele. Două drepte ridicate perpendicular pe a treia au aceeași direcție, deci nu se întâlnesc niciodată. Proprietatea se folosește ca să dovedești paralelismul fără să compari unghiuri tăiate de o secantă.

Oamenii mai întreabă și: bisectoare perpendiculare · probleme de perpendicularitate · unghiul dintre două bisectoare · perpendicularitate și mediatoare