Cum aflu câte puncte are un produs cartezian?

Produsul cartezian $A\times B$ este mulțimea perechilor ordonate $(x;y)$ cu $x$ din $A$ și $y$ din $B$. Ordinea contează: abscisa se scrie prima, ordonata a doua, deci perechile $(x;y)$ și $(y;x)$ indică, în general, puncte diferite. Numărul perechilor este $n(A)\cdot n(B)$, pentru că fiecare element al lui $A$ se combină cu fiecare element al lui $B$.

În plan, perechile sunt intersecțiile dreptelor verticale $x=a$ cu dreptele orizontale $y=b$, așa că obții o rețea de puncte, de pildă un plan de probe sau de găuri. Poziția unui punct o dau semnele coordonatelor: cadranul I are $x>0$ și $y>0$, al II-lea $x<0$ și $y>0$, al III-lea ambele negative, al IV-lea $x>0$ și $y<0$.

Dacă una dintre coordonate este $0$, punctul se află pe o axă, în afara oricărui cadran. Punctele unui cadran formează tot un produs cartezian, deci le numeri înmulțind câte valori au semnul cerut în fiecare mulțime. O condiție între coordonate, cum este $x+y>0$, nu păstrează în general această formă.

Capcanele sunt perechea inversată, adunarea în loc de înmulțire, punctul de pe axă trecut într-un cadran și limitele unei toleranțe judecate după cadran, nu coordonată cu coordonată. Ca probă, însumezi punctele din cadrane cu cele rămase pe axe și trebuie să obții $n(A)\cdot n(B)$; unitățile rămân cele din enunț.

De reținut

• $n(A\times B)=n(A)\cdot n(B)$
• în $(x;y)$ prima valoare vine din $A$, a doua din $B$
• un punct cu o coordonată $0$ stă pe axă, nu într-un cadran

Greșeala tipică

Se adună în loc să se înmulțească: pentru 4 valori pe orizontală și 6 pe verticală se obțin 10 puncte, nu $4\cdot 6=24$. Fiecare valoare din $A$ se combină cu fiecare din $B$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Un magazin încearcă reduceri de $12\%$ și $18\%$ la comenzi de $4$, $7$ și $11$ bucăți, fiecare reducere cu fiecare cantitate. Planul este $A\times B$, cu $A=\{12,18\}$ (reducerea, în %) și $B=\{4,7,11\}$ (cantitatea, în bucăți), iar perechile se scriu (reducere; cantitate). Care dintre perechile următoare nu aparține planului?

   • a) $(12;11)$
   • b) $(18;4)$
   • c) $(7;18)$
   • d) $(18;7)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $(7;18)$

   Prima valoare dintr-o pereche vine din $A$, a doua din $B$. Perechea $(7;18)$ are pe primul loc numărul $7$, care nu este în $A$: este $(18;7)$ cu valorile inversate. Celelalte trei au prima valoare în $A$ și a doua în $B$. Planul are $2\cdot 3=6$ perechi.

2. Un camping pentru turiști, cu cazare în corturi, are $7$ alei nord–sud și $4$ alei est–vest. La fiecare intersecție a unei alei nord–sud cu una est–vest se montează un stâlp cu priză. Câți stâlpi se montează?

   • a) $11$
   • b) $28$
   • c) $49$
   • d) $16$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $28$

   Fiecare alee nord–sud se taie cu fiecare alee est–vest într-un punct, deci numărul intersecțiilor este produsul $7\cdot 4=28$. Varianta $11$ adună numerele de alei, în loc să le înmulțească. Variantele $49$ și $16$ ridică la pătrat unul dintre numere, ca și cum ambele direcții ar avea același număr de alei.

3. La o fermă se notează, pentru fiecare lot, abaterea greutății medii față de normă (în kg) și abaterea producției de lapte (în litri), ca pereche (greutate; lapte). Abaterile posibile sunt $A=\{-12,-5,0,4,9\}$ pentru greutate și $B=\{-3,0,2,6\}$ pentru lapte, iar lotul poate avea orice combinație. Câte puncte ale planului $A\times B$ stau în cadranul al II-lea?

   • a) $4$
   • b) $6$
   • c) $8$
   • d) $2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $4$

   Cadranul al II-lea cere $x<0$ și $y>0$. În $A$ sunt $2$ valori negative, iar în $B$ sunt $2$ valori pozitive, deci $2\cdot 2=4$ puncte. Varianta $6$ numără și valoarea $0$ din $A$, care duce punctul pe axă. Varianta $8$ ia toate cele patru ordonate, iar $2$ este numărul punctelor din cadranul al III-lea.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: câte perechi are A x B · numărul de elemente al produsului cartezian · cum număr punctele unei rețele · produs cartezian a două mulțimi finite