Produs cartezian și cadrane: liceu tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Când fiecare valoare dintr-o listă se combină cu fiecare valoare din alta, rezultatele se așază pe o rețea de puncte: probe de sol în jurul unui loc poluat, încercări pe un banc, parcele cu doze diferite. Numeri combinațiile și afli, după semnele coordonatelor, în ce parte a rețelei stă fiecare. Pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), produsul cartezian cu cadranele e materie de clasa a IX-a la filiera tehnologică.

Situația de pornire

Un depozit de deșeuri de anvelope a ars, iar vântul a dus fumul spre sud-est. Garda de Mediu cere probe de sol din jur, ca să afle până unde a ajuns poluarea cu funingine. Inspectorul alege ca origine locul incendiului: axa $O x$ merge spre est, axa $O y$ spre nord, iar o unitate înseamnă un metru. Fumul a trecut la est și la sud de origine. Un punct de prelevare se alege la intersecția unei linii nord–sud cu una est–vest; liniile urmează drumurile și gardurile din jur, ca punctele să fie găsite ușor pe teren. Liniile nord–sud trec la −84, −27, 0, 33 și 78 m de origine, cu minus spre vest, iar cele est–vest la −58, 0 și 46 m, cu minus spre sud. Din trei puncte s-au luat deja probe:

Punct	Abscisa $x$ (m)	Ordonata $y$ (m)
P1	−84	46
P2	33	−58
P3	78	0

Inspectorul vrea să știe câte puncte are rețeaua, unde stă fiecare punct prelevat față de locul incendiului și câte puncte din calea fumului au rămas fără probă.

Întrebare: câte puncte are rețeaua, în ce cadran sau pe ce axă stă fiecare dintre cele trei puncte prelevate și câte puncte fără probă mai sunt în cadranul al IV-lea?

De la situație la model

Planul inspectorului, citit în limbajul matematicii:

În situație	În matematică
distanțele est–vest ale liniilor nord–sud	mulțimea $A = {- 84, - 27, 0, 33, 78}$
distanțele nord–sud ale liniilor est–vest	mulțimea $B = {- 58, 0, 46}$
toate punctele de prelevare posibile	produsul cartezian $A \times B$
poziția unui punct, cu est–vest întâi	perechea ordonată $(x; y)$ cu $x \in A$ și $y \in B$
partea de nord-est, nord-vest, sud-vest sau sud-est	cadranul I, II, III sau IV
linia care trece prin toate punctele cu $x = 33$	dreapta $x = 33$

O pereche ordonată $(x; y)$ are ordine: prima valoare este abscisa, a doua ordonata, iar $(33; - 58)$ nu este același punct cu $(- 58; 33)$ . Pe teren, primul e la 33 m est și 58 m sud de locul incendiului, în calea fumului, iar al doilea ar fi la 58 m vest și 33 m nord, ferit de fum. Produsul cartezian $A \times B$ este mulțimea tuturor perechilor $(x; y)$ cu $x \in A$ și $y \in B$ . Numărul lui de elemente este $n (A) \cdot n (B)$ , adică $5 \cdot 3 = 15$ puncte ale rețelei. Reprezentat în plan, $A \times B$ este mulțimea intersecțiilor dreptelor verticale $x = a$ , pentru $a \in A$ , cu dreptele orizontale $y = b$ , pentru $b \in B$ .

Ce înseamnă dreptele $x = m$ și $y = m$ ?

Dreapta $x = m$ este linia verticală formată din toate punctele cu abscisa $m$ : pe $x = 33$ stau toate punctele aflate la 33 m est de origine, oricât de la nord sau de la sud. Dreapta $y = m$ este linia orizontală a punctelor cu ordonata $m$ . Dreapta $x = 0$ este chiar axa $O y$ , iar $y = 0$ este axa $O x$ . Într-o rețea $A \times B$ trec $n (A)$ drepte verticale și $n (B)$ drepte orizontale, iar fiecare punct stă la intersecția unei verticale cu o orizontală.

În ce cadran sau pe ce axă stă un punct?

Doar semnele coordonatelor contează, nu mărimea lor. Cadranul I cere $x > 0$ și $y > 0$ , al II-lea cere $x < 0$ și $y > 0$ , al III-lea $x < 0$ și $y < 0$ , al IV-lea $x > 0$ și $y < 0$ . Inegalitățile sunt stricte: un punct cu $x = 0$ sau $y = 0$ este pe o axă și nu aparține niciunui cadran. Când condițiile cer semne pe fiecare coordonată separat, punctele care le îndeplinesc formează tot un produs cartezian: cele din cadranul IV sunt ${33, 78} \times {- 58}$ . O condiție care leagă coordonatele între ele, de pildă $x + y > 0$ , nu mai păstrează în general forma de produs.

Metoda pas cu pas

Scrie mulțimile $A$ și $B$ în ordinea din enunț și numără: $n (A \times B) = n (A) \cdot n (B)$ . Prima coordonată a fiecărei perechi vine din $A$ , a doua din $B$ ; dacă enunțul spune (temperatură; durată), temperatura este prima.
Așază fiecare pereche ca punct, cu abscisa din $A$ și ordonata din $B$ . Dreptele $x = a$ și $y = b$ trec prin toate punctele cu aceeași coordonată, iar rețeaua apare la intersecțiile lor.
Citește semnele coordonatelor. Dacă ambele sunt nenule, află cadranul din tabelul fișei; dacă una este nulă, punctul stă pe axă și nu aparține niciunui cadran. Când un punct trebuie să respecte o condiție, compară fiecare coordonată cu limita ei.
Verifică: punctele din cele patru cadrane și cele de pe axe se adună la $n (A) \cdot n (B)$ , iar unitatea fiecărei coordonate rămâne cea din enunț.

Fișa de buzunar

$n (A \times B) = n (A) \cdot n (B)$

$x \cdot y > 0 ⟺ cadranul I sau cadranul al III-lea$

Poziția	Condiția	Exemplu din lecție
cadranul I	$x > 0$ și $y > 0$	$(33; 46)$
cadranul al II-lea	$x < 0$ și $y > 0$	$(- 27; 46)$
cadranul al III-lea	$x < 0$ și $y < 0$	$(- 84; - 58)$
cadranul al IV-lea	$x > 0$ și $y < 0$	$(78; - 58)$
axa $O x$	$y = 0$	$(33; 0)$
axa $O y$	$x = 0$	$(0; 46)$
originea	$x = 0$ și $y = 0$	$(0; 0)$

Axa $O x$ este dreapta $y = 0$ , iar axa $O y$ este dreapta $x = 0$ . Se aplică perechilor ordonate, cu abscisa pe primul loc. Un punct este într-un cadran numai când ambele coordonate sunt nenule. Verificare rapidă: punctele din cele patru cadrane și cele de pe axe se adună la $n (A) \cdot n (B)$ .

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Probele de sol de după incendiu

Domeniu: mediu.

Enunț. Reia rețeaua din situația de pornire, cu $A = {- 84, - 27, 0, 33, 78}$ și $B = {- 58, 0, 46}$ . a) În ce cadran sau pe ce axă stă fiecare dintre punctele P1, P2 și P3? b) Câte puncte are rețeaua, câte stau în fiecare cadran și câte pe axe? c) Câte puncte fără probă mai sunt în cadranul al IV-lea și câte puncte stau pe dreapta $x = 33$ ?

Rezolvare. a) P1 $(- 84; 46)$ are $x < 0$ și $y > 0$ , deci stă în cadranul al II-lea, ferit de fum. P2 $(33; - 58)$ are $x > 0$ și $y < 0$ , deci stă în cadranul al IV-lea, în calea fumului. P3 $(78; 0)$ are $y = 0$ , deci stă pe axa $O x$ și nu aparține niciunui cadran. b) Rețeaua are $5 \cdot 3 = 15$ puncte. Valorile negative din $A$ sunt două, cele pozitive două, iar în $B$ câte una, deci fiecare cadran are $2 \cdot 1 = 2$ puncte. Pe axa $O x$ sunt cele 5 puncte cu $y = 0$ , pe axa $O y$ cele 3 cu $x = 0$ , iar originea $(0; 0)$ se numără în ambele, deci pe axe sunt $5 + 3 - 1 = 7$ puncte. c) În cadranul al IV-lea sunt punctele $(33; - 58)$ și $(78; - 58)$ ; cum P2 este primul, mai rămâne un punct fără probă. Pe dreapta $x = 33$ stau $(33; - 58)$ , $(33; 0)$ și $(33; 46)$ , adică 3 puncte.

Capcană. Cine citește perechea lui P1 cu ordinea inversată, $(46; - 84)$ , o așază în cadranul al IV-lea, în calea fumului, deși punctul este în cadranul al II-lea, ferit de fum. Prima coordonată este abscisa, deci est–vest.

Verificare. Pe alt drum, aduni: $2 + 2 + 2 + 2$ puncte din cadrane și $7$ de pe axe dau $15 = 5 \cdot 3$ .

Exemplul 2 — Panourile unui dulap, în plan

Domeniu: lemn.

Enunț. O mașină CNC taie fronturi de dulap de 596 × 396 mm. Pentru fiecare panou se notează perechea (abaterea lungimii; abaterea lățimii) față de cota nominală, în mm, pozitivă când panoul e mai mare: (0,3; −0,2), (−0,9; 0,4), (1,1; 0,3), (−0,4; −0,6), (0; 0,5), (−0,7; 0,1), (−0,8; −0,5) și (0,6; 0). Panoul e în toleranță dacă $∣ x ∣ \leq 0, 8$ și $∣ y ∣ \leq 0, 5$ . a) În ce cadran sau pe ce axă stă fiecare panou? b) Care panouri sunt în toleranță? c) Câte panouri sunt și mai scurte, și mai înguste decât nominalul, iar câte dintre ele sunt în afara toleranței?

Rezolvare. a) Panourile stau, în ordine, în cadranele IV, II, I, III, pe axa $O y$ , în cadranul II, în cadranul III și pe axa $O x$ . b) Toleranța cere ca punctul să fie în dreptunghiul $[- 0, 8; 0, 8] \times [- 0, 5; 0, 5]$ . Sunt în toleranță (0,3; −0,2), (0; 0,5), (−0,7; 0,1), (−0,8; −0,5) și (0,6; 0), adică 5 panouri. Au ieșit din toleranță (−0,9; 0,4) prin lungime, (1,1; 0,3) tot prin lungime și (−0,4; −0,6) prin lățime. c) Panourile mai scurte și mai înguste sunt cele din cadranul al III-lea: (−0,4; −0,6) și (−0,8; −0,5), adică 2. Dintre ele numai (−0,4; −0,6) este în afara toleranței.

Capcană. Cine socotește rebut tot cadranul al III-lea respinge și panoul $(- 0, 8; - 0, 5)$ , care stă chiar pe limitele toleranței, și ar scoate 2 panouri în loc de 1. Zona de toleranță este dreptunghiul $[- 0, 8; 0, 8] \times [- 0, 5; 0, 5]$ , care intră în toate cele patru cadrane.

Verificare. Cele 8 panouri se împart astfel: 1 în cadranul I, 2 în cadranul al II-lea, 2 în cadranul al III-lea, 1 în cadranul al IV-lea și 2 pe axe, adică $1 + 2 + 2 + 1 + 2 = 8$ , iar după toleranță $5 + 3 = 8$ .

Exemplul 3 — Încercări pe un banc de probă

Domeniu: electric.

Enunț. Pe un banc de probă se încearcă un convertor la tensiunile $A = {12, 24, 48}$ V și la curenții $B = {3, 6, 9, 14}$ A, fiecare tensiune cu fiecare curent. Perechea se scrie (tensiune; curent). Sursa bancului dă cel mult 0,45 kW. a) Câte puncte de încercare are planul? b) Pentru care puncte puterea $U \cdot I$ depășește sursa? c) Câte încercări se pot face?

Rezolvare. a) Planul este $A \times B$ , cu $3 \cdot 4 = 12$ puncte. b) Sursa dă $0, 45 \cdot 1000 = 450$ W. Puterile punctelor cu 12 V sunt 36, 72, 108 și 168 W, cele cu 24 V sunt 72, 144, 216 și 336 W, iar cele cu 48 V sunt 144, 288, 432 și 672 W. Numai punctul $(48; 14)$ depășește 450 W, cu 672 W. c) Se pot face $12 - 1 = 11$ încercări.

Capcană. Cine compară puterile în W direct cu 0,45 nu găsește niciun punct permis, fiindcă toate puterile în W sunt mai mari decât 0,45. Unitățile se aduc la aceeași mărime înainte de comparare: kilowații se transformă în wați.

Verificare. Pe alt drum, numeri pe rânduri: $4 + 4 + 3 = 11$ încercări permise, fiindcă pentru 48 V trei curenți dau puteri sub 450 W, iar al patrulea nu.

Exemplul 4 — Problema inversă: ce plan de parcele s-a trimis

Domeniu: agricol.

Enunț. O stațiune agricolă încearcă trei hibrizi de porumb cu codurile 310, 380 și 450, fiecare la patru doze de azot, de 50, 90, 130 și 170 kg/ha. Planul trimis la teren are 11 parcele, notate (hibrid; doză): (310; 50), (310; 90), (310; 130), (310; 170), (380; 50), (380; 90), (380; 170), (450; 50), (450; 90), (450; 130) și (450; 170). Pornești de la listă și ajungi la planul pe care îl vrei: a) Scrie mulțimile $A$ și $B$ din care provin perechile. b) Este lista produsul $A \times B$ ? c) Câte parcele are planul complet?

Rezolvare. a) Prima coordonată ia valorile $A = {310, 380, 450}$ , iar a doua $B = {50, 90, 130, 170}$ . b) Un produs complet are $n (A) \cdot n (B) = 3 \cdot 4 = 12$ perechi, iar lista are 11, deci nu este produsul. Lipsește perechea $(380; 130)$ : hibridul 380 nu apare cu doza de 130 kg/ha. c) Planul complet are 12 parcele.

Capcană. Cine adună în loc să înmulțească obține $3 + 4 = 7$ combinații și crede că lista de 11 parcele are 4 în plus, deși îi lipsește una. Fiecare hibrid se încearcă cu fiecare doză, deci se înmulțește.

Verificare. Numeri pe hibrizi: 310 are 4 doze, 380 are 3, 450 are 4, în total $4 + 3 + 4 = 11$ parcele, iar $12 - 11 = 1$ pereche lipsă.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Un laborator de panificație încearcă păstrarea aluatului la temperaturile $A = {- 18, - 4, 2}$ °C, timp de $B = {9, 15}$ h. Scrie $A \times B$ ca perechi (temperatură; durată), spune câte elemente are și în ce cadran este fiecare punct.

2. Un acumulator este urmărit prin perechi (curent în amperi; abatere de tensiune în volți), cu curentul pozitiv la încărcare: (4,2; 0,3), (−3,5; −0,4), (−1,8; 0,2), (0; −0,1) și (2,6; −0,2). Spune pentru fiecare cadranul sau axa și ce înseamnă.

3. Balizele unui teren sunt la $A = {- 3, 0, 2, 5}$ m est–vest și la $B = {- 1, 4}$ m nord–sud. Câte puncte din $A \times B$ stau pe dreapta $x = 2$ , pe dreapta $y = - 1$ , pe axe și în fiecare cadran?

4. Pe panoul de scule al unui atelier, cârligele stau în punctele $(- 6; 2)$ , $(- 6; - 5)$ , $(3; - 5)$ și $(8; - 5)$ , în centimetri față de centrul panoului. Scrie dreapta verticală pe care stau primele două și dreapta orizontală pe care stau ultimele trei. În ce punct se taie cele două drepte și în ce cadran este el?

Nivelul 2 — situații

5. Abaterile lunare față de buget ale unei firme, în mii de lei, sunt (venit; cheltuieli): ianuarie (64; −27), februarie (−48; 31), martie (37; 59), aprilie (−23; −41), mai (71; −52) și iunie (−36; 83). Spune în ce cadran e fiecare lună, care luni sunt cele mai bune (venit peste buget și cheltuieli sub buget) și câte luni au cheltuielile peste buget.

6. Într-un atelier, un burghiu de CNC găurește piese de oțel la nodurile grilei $A \times B$ , cu $A = {- 48, - 16, 16, 48}$ și $B = {- 22, 0, 22}$ , în mm. Câte găuri are grila, câte stau pe axa $O x$ și câte se fac dacă se găurește numai în cadranele I și III?

7. Într-o livadă, figura arată șase capcane cu feromoni față de un stâlp central, în metri, puse pentru recolta de mere. a) Citește coordonatele fiecăreia. b) Câte stau la nord de stâlp ( $y > 0$ )? c) Care stau pe axe?

8. În laborator, o soluție se încearcă la $A = {- 5, 8}$ °C și la $B = {12, 36}$ min, deci planul reacției este $A \times B$ . Lista tehnicianului are punctele (−5; 12), (36; 8), (8; 12) și (−5; 36). Care pereche are coordonatele inversate? Corectează-o și verifică planul.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Fie $A = {- 5, - 2, 0, 3, 4}$ și $B = {- 3, 0, 1, 6}$ . Arătați că $x \cdot y > 0$ în cadranele I și III, că $x \cdot y < 0$ în II și IV și că $x \cdot y = 0$ pe axe. Determinați câte puncte din $A \times B$ au produsul pozitiv, negativ și nul.

10. (Sinteză.) Pentru $A = {- 4, - 1, 2, 5}$ și $B = {- 3, 0, 1, 3}$ , determinați punctele din $A \times B$ cu $∣ x ∣ \leq 2$ și $∣ y ∣ \leq 1$ . Arătați că ele formează un produs cartezian $A^{'} \times B^{'}$ și precizați cadranele lor.

11. (Sinteză.) Fie $A = {- 3, 1, 4}$ , $B = {8, 13}$ , $C = {1, 4, 6}$ și $D = {13, 21}$ . Scrieți elementele lui $(A \times B) \cap (C \times D)$ și arătați că este egală cu $(A \cap C) \times (B \cap D)$ .

12. (Sinteză.) Mulțimea $A$ are 7 elemente, dintre care 3 negative și unul nul, iar $B$ are 6 elemente, dintre care 2 negative și unul nul. Determinați câte puncte din $A \times B$ stau în fiecare cadran și pe axe.

Răspunsuri și verificări

1. $A \times B$ are $3 \cdot 2 = 6$ elemente: (−18; 9), (−18; 15), (−4; 9), (−4; 15), (2; 9), (2; 15). Primele patru, cu temperatură negativă, sunt în cadranul al II-lea, ultimele două în I. Verificare: $4 + 2 = 6$ .

2. (4,2; 0,3) este în I: încărcare, tensiune peste nominal. (−3,5; −0,4) este în III: descărcare, sub nominal. (−1,8; 0,2) este în II: descărcare, peste nominal. (0; −0,1) este pe $O y$ : curent nul, sub nominal. (2,6; −0,2) este în IV: încărcare, sub nominal. Verificare: patru în cadrane, unul pe axă.

3. $A \times B$ are 8 puncte. Pe $x = 2$ stau 2, pe $y = - 1$ stau 4, pe axe 2 (pe $O y$ ), iar cadranele I, II, III, IV au 2, 1, 1, 2. Verificare: $2 + 1 + 1 + 2 + 2 = 8 = 4 \cdot 2$ .

4. Primele două au abscisa $- 6$ , deci stau pe dreapta $x = - 6$ ; ultimele trei au ordonata $- 5$ , deci stau pe dreapta $y = - 5$ . Dreptele se taie în $(- 6; - 5)$ , în cadranul al III-lea, chiar în al doilea cârlig. Verificare: $(- 6; - 5)$ are $x = - 6$ și $y = - 5$ .

5. Ianuarie și mai sunt în IV, februarie și iunie în II, martie în I, aprilie în III. Cele mai bune sunt ianuarie și mai. Cheltuieli peste buget au 3 luni: februarie, martie, iunie. Verificare: $2 + 2 + 1 + 1 = 6$ .

6. Grila are $4 \cdot 3 = 12$ găuri, 4 pe axa $O x$ . În cadranele I și III stau $2 + 2 = 4$ găuri, deci se fac 4. Verificare: $4 + 4 + 4 = 12$ (pe axă, în I și III, în II și IV).

7. a) $(- 9; 6)$ , $(- 3; - 7)$ , $(4; 8)$ , $(11; - 5)$ , $(0; 3)$ și $(- 6; 0)$ . b) Trei, cu ordonatele 6, 8 și 3. c) $(0; 3)$ pe $O y$ și $(- 6; 0)$ pe $O x$ . Verificare: patru în cadrane, două pe axe.

8. Perechea (36; 8) are coordonatele inversate, fiindcă 36 nu este în $A$ ; corectată, e (8; 36). Lista corectă are $2 \cdot 2 = 4$ puncte, exact $A \times B$ . Verificare: abscisele −5 și 8, ordonatele 12 și 36.

9. În I și III semnele sunt egale, deci produsul e pozitiv; în II și IV sunt diferite, deci negativ; pe axe un factor este 0. $A$ are 2 negative, un nul, 2 pozitive; $B$ are 1 negativ, un nul, 2 pozitive. Pozitiv: $2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 6$ ; negativ: $2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 6$ . Nul: $20 - 12 = 8$ . Verificare: pe axe sunt $4 + 5 - 1 = 8$ puncte.

10. $A^{'} = {- 1, 2}$ și $B^{'} = {0, 1}$ . Condițiile cer câte una pe fiecare coordonată, deci punctele sunt $A^{'} \times B^{'} = {(- 1; 0), (- 1; 1), (2; 0), (2; 1)}$ , adică $2 \cdot 2 = 4$ . $(- 1; 1)$ e în II, $(2; 1)$ în I, celelalte două pe $O x$ . Verificare: din cele 16 puncte ale lui $A \times B$ , 4 respectă ambele condiții.

11. $A \times B$ și $C \times D$ au câte 6 puncte, iar comune sunt $(1; 13)$ și $(4; 13)$ . Pe de altă parte, $A \cap C = {1, 4}$ și $B \cap D = {13}$ , deci $(A \cap C) \times (B \cap D) = {(1; 13), (4; 13)}$ . Coincid. Verificare: $2 \cdot 1 = 2$ puncte.

12. $A$ are 3 negative, un nul, 3 pozitive; $B$ are 2 negative, un nul, 3 pozitive. I: $3 \cdot 3 = 9$ ; II: $3 \cdot 3 = 9$ ; III: $3 \cdot 2 = 6$ ; IV: $3 \cdot 2 = 6$ . Pe axe: $1 \cdot 6 + 7 \cdot 1 - 1 = 12$ . Verificare: $9 + 9 + 6 + 6 + 12 = 42 = 7 \cdot 6$ .

Așa vine la Bac M3

Produsul cartezian cu cadranele, tema lecției, este cuprins în programa de examen; totuși nu a apărut în probele 2013–2026. Blocul „Funcții; lecturi grafice”, al treilea al clasei a IX-a în programa M_tehnologic, trece în primul lui punct produsul cartezian, reprezentarea lui prin puncte, condițiile algebrice pentru puncte din cadrane și dreptele $x = m$ și $y = m$ , înaintea definiției funcției. În cele 1 494 de cerințe ale indexului nu apar cuvintele „produs cartezian” și „cadran”, iar nicio cerință nu are lecția aceasta ca temă. Reperul cartezian apare în 82 de enunțuri, dar numai pentru distanță, mijloc și alte teme de geometrie analitică. De aceea aici nu urmează trimiteri la probe sau cerințe-model.

Sintezele 9–12 țin tema lângă vecinii ei: numeri puncte după semne, filtrezi o rețea cu modulul unui număr real și intersectezi produse, ca în operațiile cu mulțimi. Dacă punctele devin o funcție, vezi funcția și tabelele de tarife. Planul clasei se găsește în hubul clasei a IX-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

Citești perechea cu coordonatele inversate → proba de comparație pare luată în calea fumului; cum o prinzi: prima valoare vine din prima mulțime, adică est–vest, și verifici că ea aparține lui $A$ .
Pui un punct de pe axă într-un cadran, ca P3 în cadranul I → numărătoarea cadranelor iese greșită; cum o prinzi: $y = 0$ nu este nici mai mare, nici mai mic decât 0, deci punctul e pe axă.
Judeci toleranța după cadran, nu după module → respingi panoul de pe limite, cel din cadranul al III-lea; cum o prinzi: compari fiecare coordonată cu limita ei.
Aduni în loc să înmulțești la produsul cartezian → 7 combinații în loc de 12 parcele; cum o prinzi: fiecare element al lui $A$ se asociază cu fiecare element al lui $B$ .
Compari wați cu kilowați → niciun punct permis în loc de 11; cum o prinzi: aduci ambele puteri la aceeași unitate.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: noțiunea de produs cartezian, cu reprezentarea lui în plan și cu cadranele, face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a IX-a), deși programa nouă a clasei a IX-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6) tema nu este în programa de examen.

Întrebări frecvente

Ce se schimbă dacă inspectorul adaugă o linie nord–sud la 60 m est de locul incendiului? Mulțimea $A$ are acum 6 elemente, deci rețeaua are $6 \cdot 3 = 18$ puncte. Cele trei puncte noi sunt $(60; - 58)$ , în cadranul al IV-lea, $(60; 0)$ , pe axa $O x$ , și $(60; 46)$ , în cadranul I. Cadranul al IV-lea ajunge la 3 puncte, deci mai rămân 2 fără probă după P2.

De ce s-a luat proba P1 în nord-vest, departe de calea fumului? Fiindcă vântul a bătut spre sud-est, o probă din nord-vest arată cum era solul fără funingine: e proba de comparație. Cadranul al II-lea înseamnă $x < 0$ , spre vest, și $y > 0$ , spre nord. Dacă P1 ar fi stat în cadranul al IV-lea, ar fi măsurat chiar poluarea cu care trebuie comparată.

Câte puncte ar avea rețeaua fără linia $y = 0$ ? Ar rămâne $B^{'} = {- 58, 46}$ , deci $5 \cdot 2 = 10$ puncte. Opt dintre ele ar sta în cadrane, câte două în fiecare, iar două pe axa $O y$ , cele cu $x = 0$ . Fără linia $y = 0$ nu ar mai exista niciun punct pe axa $O x$ , deci axele ar conține doar punctele de pe $O y$ .

Cum aflu repede câte puncte sunt într-un cadran? Înmulțești câte valori din $A$ au semnul cerut cu câte valori din $B$ au semnul cerut. Pentru cadranul al II-lea cauți două valori negative în $A$ și una pozitivă în $B$ , deci $2 \cdot 1 = 2$ puncte. Regula merge fiindcă punctele unui cadran formează un produs cartezian.

Ce rol are reperul cartezian în probele de Bacalaureat M3, dacă produsul cartezian lipsește? Reperul cartezian apare în 82 de cerințe de la Subiectul I, care încep cu „În reperul cartezian xOy se consideră punctele…” și lucrează cu distanțe, mijloace, drepte sau arii. Produsul cartezian și cadranele nu au apărut în cele 83 de probe 2013–2026, dar programa M_tehnologic le are în blocul „Funcții; lecturi grafice”, la clasa a IX-a, așa că pot fi cerute.