Pe fișa de preluare a unui autocamion apar patru rânduri. Care dintre ele este un predicat?

„Camionul $$x$$ a trecut de ultima revizie la mai puțin de $$10\,000$$ km.”

„Verifică nivelul uleiului din motor!”

„Câți kilometri are camionul C3?”

„Camionul C3 are motorul de $$12{,}8$$ l.”

În laboratorul unei fabrici de detergenți, soluțiile au concentrațiile: S1 – $$16$$ %, S2 – $$13$$ %, S3 – $$19$$ %, S4 – $$7$$ %, S5 – $$23$$ %. Soluția S1 a fost retrasă, deci domeniul este $$D = \{\text{S2}, \text{S3}, \text{S4}, \text{S5}\}$$. Care este mulțimea de adevăr a predicatului $$p(x)$$: „soluția $$x$$ are concentrația de cel puțin $$13$$ %”?

$$\{\text{S2}, \text{S3}, \text{S5}\}$$

$$\{\text{S1}, \text{S2}, \text{S3}, \text{S5}\}$$

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Predicate și mulțimea de adevăr

Cum aflu mulțimea de adevăr la praguri zecimale?

Aduci numerele la același număr de zecimale și le compari, apoi notezi pentru fiecare valoare din domeniu dacă propoziția obținută e adevărată. Exemplu: pentru „diametrul $x$ este mai mic de $2, 4$ mm” și valorile $2, 35$ ; $2, 5$ ; $2, 05$ ; $2, 4$ mm, scrii $2, 40$ în loc de $2, 4$ și obții mulțimea ${2, 35; 2, 05}$ . Proba: $2, 35 < 2, 40$ , chiar dacă $35 > 4$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

O propoziție este un enunț despre care poți hotărî, după un criteriu verificabil, dacă e adevărat sau fals: valoarea o dă o fișă, o măsurătoare sau un calcul. Întrebările, ordinele și părerile fără criteriu nu sunt propoziții. Dacă enunțul conține o variabilă, el este un predicat și devine propoziție când variabila primește o valoare din domeniu.

Domeniul este lista valorilor permise, iar mulțimea de adevăr $M_{p} = {x \in D ∣ p (x) este adev \overset{a}{˘} rat}$ conține numai valori din domeniu; dacă domeniul se schimbă, se schimbă și ea. Un rând care spune mai multe lucruri se desparte în propoziții simple, fiecare cu o singură condiție și cu valoarea ei de adevăr.

Metoda: cauți un criteriu, cauți variabila, scrii domeniul, desparți enunțul în condiții simple și hotărăști fiecare condiție pe rândul potrivit din fișă. Când compari valori, le exprimi în aceeași unitate și cu un număr egal de zecimale, iar „cel puțin” și „cel mult” includ valoarea de la prag.

Greșelile care costă puncte: un ordin bifat ca și cum ar fi adevărat, un predicat hotărât fără să alegi valoarea, o valoare citită din rândul vecin și zecimale comparate ca numere întregi. Controlul rapid: mulțimea de adevăr nu poate avea mai multe elemente decât domeniul.

De reținut

aduci numerele la același număr de zecimale înainte de comparație
valoarea aflată exact pe prag intră la „cel puțin” și „cel mult”, nu și la „peste” sau „sub”
mulțimea de adevăr nu are mai multe elemente decât domeniul

Greșeala tipică

Se compară zecimalele ca numere întregi: pentru $2, 35$ și $2, 4$ se scrie $35 > 4$ , iar valoarea $2, 35$ iese din mulțime. Corect se compară $2, 35$ cu $2, 40$ , adică $35$ de sutimi cu $40$ de sutimi.

Exerciții din această mini-lecție

Pe fișa de preluare a unui autocamion apar patru rânduri. Care dintre ele este un predicat?
- a) „Verifică nivelul uleiului din motor!”
- b) „Camionul $x$ a trecut de ultima revizie la mai puțin de $10000$ km.”
- c) „Câți kilometri are camionul C3?”
- d) „Camionul C3 are motorul de $12, 8$ l.”
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) „Camionul $x$ a trecut de ultima revizie la mai puțin de $10000$ km.”

Rândul al doilea conține variabila $x$ și devine propoziție abia când pui în locul ei un camion din fișă, deci este predicat. Primul rând este un ordin, iar al treilea este o întrebare, deci niciunul nu se poate bifa „adevărat” sau „fals”. Ultimul rând este propoziție, fiindcă se verifică direct în fișa camionului C3.
În laboratorul unei fabrici de detergenți, soluțiile au concentrațiile: S1 – $16$ %, S2 – $13$ %, S3 – $19$ %, S4 – $7$ %, S5 – $23$ %. Soluția S1 a fost retrasă, deci domeniul este $D = {S2, S3, S4, S5}$ . Care este mulțimea de adevăr a predicatului $p (x)$ : „soluția $x$ are concentrația de cel puțin $13$ %”?
- a) ${S3, S5}$
- b) ${S2, S4}$
- c) ${S1, S2, S3, S5}$
- d) ${S2, S3, S5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) ${S2, S3, S5}$

Din $D$ rămân S2 ( $13$ %), S3 ( $19$ %), S4 ( $7$ %) și S5 ( $23$ %), iar „cel puțin $13$ %” include valoarea $13$ , deci $M_{p} = {S2, S3, S5}$ . Mulțimea ${S3, S5}$ citește „cel puțin” ca „peste”, iar ${S2, S4}$ răstoarnă inegalitatea. Mulțimea ${S1, S2, S3, S5}$ păstrează soluția retrasă, care nu mai e în domeniu.
Fișa unui hotel spune despre camera 14: „ $2$ paturi, $280$ de lei pe noapte, fără balcon”. Pe lista de recepție stă rândul: „Camera 14 are $2$ paturi, costă mai puțin de $300$ de lei și are balcon.” Notezi perechea $(n; t)$ , unde $n$ este numărul propozițiilor simple în care se desparte rândul, iar $t$ numărul celor adevărate. Care este perechea corectă?
- a) $(3; 2)$
- b) $(1; 0)$
- c) $(3; 3)$
- d) $(2; 2)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(3; 2)$

Rândul spune trei lucruri separate: „are $2$ paturi” (adevărat), „costă mai puțin de $300$ de lei” (adevărat, fiindcă $280 < 300$ ) și „are balcon” (fals), deci $(n; t) = (3; 2)$ . Perechea $(1; 0)$ tratează rândul ca pe o singură propoziție, falsă. Perechea $(3; 3)$ ia balconul drept adevărat, iar $(2; 2)$ scapă condiția despre balcon și numără doar primele două.

Întrebări conexe

Intră valoarea de la prag în mulțimea de adevăr?

Depinde de formulare. La „cel puțin $50$ ” și „cel mult $50$ ” valoarea $50$ intră, la „mai mult de $50$ ” și „mai puțin de $50$ ” nu intră. Pentru valorile $42$ , $50$ și $58$ și condiția „cel puțin $50$ ” mulțimea este ${50; 58}$ , iar la „mai mult de $50$ ” este ${58}$ .

Cum bifez un rând dacă fișa și pragul au unități diferite?

Aduci ambele valori în aceeași unitate înainte de comparație. Dacă fișa dă lungimile în milimetri, iar pragul este $2, 5$ cm, treci pragul în $25$ mm: valoarea $24$ mm respectă „mai puțin de $2, 5$ cm”, iar $26$ mm nu o respectă.

Cum controlez mulțimea de adevăr cu cea a condiției opuse?

Scrii și mulțimea condiției contrare: cele două nu au elemente comune și împreună dau tot domeniul. Pe un domeniu cu $9$ elemente, dacă $M_{p}$ are $5$ , mulțimea opusă trebuie să aibă $4$ ; altfel un element a fost pus de două ori sau a fost uitat.

Cum scriu mulțimea de adevăr pentru o toleranță „±”?

Toleranța $6, 3 \pm 0, 04$ mm înseamnă valori de la $6, 26$ la $6, 34$ mm, cu capetele incluse. Pentru diametrele $6, 27$ ; $6, 35$ ; $6, 34$ și $6, 2$ mm, mulțimea de adevăr este ${6, 27; 6, 34}$ : $6, 35$ trece de capătul de sus, iar $6, 2$ , adică $6, 20$ , e sub cel de jos.

Cum compar mulțimile de adevăr pentru două praguri?

Pragul mai strict dă o mulțime inclusă în cea a pragului mai larg. Pe valorile $3, 2$ ; $4, 8$ ; $5, 5$ și $7, 1$ , condiția „cel puțin $5$ ” dă ${5, 5; 7, 1}$ , iar „cel puțin $4$ ” dă ${4, 8; 5, 5; 7, 1}$ , cu un element în plus.

Oamenii mai întreabă și: praguri zecimale într-un predicat · comparare zecimale într-un predicat · predicat cu valori zecimale dintr-o fișă · cum compar 2,35 cu 2,4 într-o condiție