Propoziții și predicate pentru tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

O fișă tehnică se citește rând cu rând, iar înainte să calculezi ceva trebuie să știi ce afirmă fiecare rând și dacă afirmația se poate verifica. Unele rânduri se bifează „corect” sau „greșit”; altele sunt ordine, întrebări sau lasă ceva neprecizat. Prima lecție de logică din clasa a IX-a, la filiera tehnologică, le numește propoziții și predicate. Tema e cuprinsă în programa pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic).

Situația de pornire

Într-un atelier de lăcătușerie, un ucenic pregătește o placă de oțel pentru filetare: întâi găurește, apoi taie filetul. Fișa tehnică a atelierului dă, pentru fiecare filet metric, pasul filetului și diametrul burghiului cu care faci gaura dinainte de filetare (date din exemplu).

Filetul	Pasul (mm)	Burghiul pentru gaură (mm)
M6	1	5
M8	1,25	6,8
M10	1,5	8,5
M12	1,75	10,2
M14	2	12
M16	2	14

Pe fișa de control a lotului, maistrul a scris șase rânduri și i-a cerut ucenicului să bifeze fiecare rând cu „corect” sau „greșit”:

Filetul M10 are pasul de 1,5 mm.
Burghiul pentru M12 are 10,2 mm.
Ce burghiu se folosește pentru M14?
Găurește placa cu burghiul de 6,8 mm!
Pasul filetului $x$ este mai mic de 1,7 mm.
Filetul M14 are pasul de 1,75 mm.

Ucenicul bifează repede rândul 1, apoi se oprește: nu toate rândurile se pot bifa.

Întrebare: care dintre cele șase rânduri se pot bifa „corect” sau „greșit”, ce bifezi la fiecare și ce faci cu celelalte?

De la situație la model

Tabelul pune fiecare cuvânt din atelier lângă cuvântul din matematică.

În situație	În matematică
rând care se poate bifa „corect” sau „greșit”	propoziție, notată cu o literă: $p$ , $q$ , $r$
„corect” și „greșit”	valorile de adevăr: adevărat (A) și fals (F)
rândul 5, cu „filetul $x$ ”	predicat $p (x)$ , cu variabila $x$
lista filetelor din fișă	domeniul $D = {M6, M8, M10, M12, M14, M16}$
filetele pentru care rândul 5 iese „corect”	mulțimea de adevăr $M_{p}$

Propoziția este un enunț care are exact una dintre valorile A și F: se poate hotărî dacă e adevărat sau fals, iar răspunsul nu depinde de cine citește. Valoarea o dă fișa, o măsurătoare sau un calcul. Predicatul este un enunț care conține una sau mai multe variabile; el devine propoziție când pui în locul fiecărei variabile o valoare din domeniul ei. Domeniul este mulțimea valorilor pe care le poate lua variabila, iar mulțimea de adevăr a predicatului este mulțimea valorilor din domeniu pentru care propoziția obținută e adevărată.

Ce rânduri se pot bifa?

Rândurile 1, 2 și 6 afirmă ceva ce se verifică în fișă. Rândul 3 e o întrebare, iar rândul 4 e un ordin: la niciunul nu poți răspunde „adevărat” sau „fals”. Un enunț ca „M8 e un filet potrivit” nu se poate bifa, fiindcă nu are criteriu: fiecare alege altul. Devine propoziție abia când spui potrivit în ce fel, de pildă „pasul lui M8 este 1,25 mm”.

Ce se întâmplă când în enunț apare un „x”?

Rândul 5 nu se poate bifa, pentru că „filetul $x$ ” poate fi oricare dintre cele șase. Pentru $x = M8$ obții propoziția „Pasul filetului M8 este mai mic de 1,7 mm”, adevărată, fiindcă $1, 25 < 1, 7$ .

Pentru $x = M12$ obții o propoziție falsă, fiindcă $1, 75 > 1, 7$ . Încerci toate cele șase valori din domeniu, comparând zecimalele ca la ordonarea numerelor reale, și găsești $M_{p} = {M6, M8, M10}$ .

Domeniul face parte din enunț: dacă atelierul are scule numai pentru M8 și M12, domeniul devine ${M8, M12}$ , iar mulțimea de adevăr, ${M8}$ .

Un rând conține o singură afirmație?

Nu întotdeauna. Rândul „Filetul M10 are pasul de 1,5 mm și burghiul de 8,5 mm” spune două lucruri: $p$ este „M10 are pasul de 1,5 mm”, iar $q$ este „burghiul pentru M10 are 8,5 mm”. Sunt propoziții simple: fiecare afirmă un singur lucru și se verifică separat, în coloana ei din fișă. Cum se leagă propozițiile simple prin „și”, „sau”, „nu” afli în lecția despre logica garanției, iar cum afirmi ceva despre toate filetele deodată, în cea despre cuantificatori și negarea enunțurilor. La un predicat, regula e aceeași: îl desparți în predicate simple, cu câte o singură condiție asupra lui $x$ .

Metoda pas cu pas

Citește enunțul până la capăt și caută un criteriu: poți hotărî „adevărat” sau „fals” uitându-te în fișă sau făcând un calcul? Dacă enunțul e întrebare, ordin sau părere fără criteriu, nu e propoziție: îl lași nebifat.
Caută variabila, adică numele sau litera care poate însemna mai multe lucruri ( $x$ , „filetul”, „rigla”). Dacă există, enunțul e predicat: scrie domeniul, adică lista valorilor permise, luată din prima coloană a fișei.
Desparte enunțul în afirmații simple, fiecare cu litera ei ( $p$ , $q$ ), astfel încât fiecare să conțină o singură condiție, un singur număr de comparat cu fișa.
Hotărăște fiecare propoziție simplă: găsește în fișă rândul și coloana potrivite și compară. La un predicat, încearcă pe rând fiecare valoare din domeniu, de sus în jos, și scrie mulțimea de adevăr.
Verifică: recitește celula din fișă, cu numele din prima coloană, adu numerele la aceeași unitate și la același număr de zecimale și vezi că nicio propoziție n-a primit și A, și F.

Fișa de buzunar

$v (p) \in {A, F}$

$M_{p} = {x \in D ∣ p (x) este adev \overset{a}{˘} rat}$

Prima relație: o propoziție are o singură valoare de adevăr. A doua: mulțimea de adevăr conține numai valori din domeniul $D$ , deci se schimbă odată cu domeniul. Se aplică atunci când enunțul are criteriu și variabila are domeniu. Verificare rapidă: $M_{p}$ nu are mai multe elemente decât $D$ .

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Cele șase rânduri ale fișei de control

Domeniu: mecanica.

Enunț. Reia fișa de control din situația de pornire. a) Care rânduri sunt propoziții, care nu sunt și cum se numește rândul 5? b) Ce bifezi la fiecare propoziție? c) Scrie mulțimea de adevăr a rândului 5. d) Cum faci din rândul 5 o propoziție adevărată și una falsă?

Rezolvare. a) Rândurile 1, 2 și 6 sunt propoziții. Rândul 3 e întrebare, rândul 4 e ordin. Rândul 5 are variabila $x$ , deci e predicat. b) Rândul 1: pasul lui M10 este 1,5 mm, deci „corect” (A). Rândul 2: burghiul pentru M12 are 10,2 mm, deci „corect” (A). Rândul 6: M14 are pasul 2 mm, deci „greșit” (F). c) Pasul este mai mic de 1,7 mm la M6 (1 mm), M8 (1,25 mm) și M10 (1,5 mm), dar nu la M12 (1,75 mm), M14 (2 mm) și M16 (2 mm). Deci $M_{p} = {M6, M8, M10}$ . d) Pui o valoare din domeniu: $x = M10$ dă o propoziție adevărată, iar $x = M16$ dă una falsă, fiindcă 2 > 1,7.

Capcană. Cine citește pasul lui M14 pe rândul de deasupra, la M12, vede 1,75 și bifează rândul 6 „corect”: ar bifa „corect” toate cele trei propoziții în loc de două.

Verificare. Pe alt drum: coloana pașilor nu scade de sus în jos (1; 1,25; 1,5; 1,75; 2; 2), deci valorile mai mici de 1,7 sunt cele de la început, până la prima valoare de cel puțin 1,7, adică 1,75. Rămân primele trei filete, ca în $M_{p}$ .

Exemplul 2 — Întreruptoarele unui tablou

Domeniu: electric.

Enunț. Un electrician montează tabloul unui atelier, după fișa întreruptoarelor automate din magazin (date din exemplu).

Tip	Curent (A)	Poli	Preț (lei)
C10	10	1	42
C16	16	1	47
C20	20	1	53
C25	25	1	58
C16/3	16	3	138
C32	32	1	67

Pe lista de cumpărături scrie: „Întreruptorul $x$ este monopolar, are curentul nominal de cel mult 20 A și costă mai puțin de 60 lei.” a) Desparte rândul în predicate simple. b) Scrie mulțimea de adevăr a fiecăruia. c) Care tipuri apar în toate trei mulțimile?

Rezolvare. a) Sunt trei condiții: $p_{1} (x)$ , „ $x$ este monopolar”; $p_{2} (x)$ , „ $x$ are curentul de cel mult 20 A”; $p_{3} (x)$ , „ $x$ costă mai puțin de 60 lei”. b) $M_{1} = {C10, C16, C20, C25, C32}$ . Curentul e cel mult 20 A la C10, C16, C20 și C16/3, deci $M_{2} = {C10, C16, C20, C16/3}$ . Prețul e sub 60 lei la C10 (42 lei), C16 (47 lei), C20 (53 lei) și C25 (58 lei), deci $M_{3} = {C10, C16, C20, C25}$ . c) În toate trei apar C10, C16 și C20.

Capcană. Cine citește „cel mult 20 A” ca „mai puțin de 20 A” scoate C20 din a doua mulțime, care rămâne cu trei elemente: C10, C16 și C16/3. În toate trei mulțimile rămân atunci doar C10 și C16, iar tabloul pierde întreruptorul de 20 A.

Verificare. Pe alt drum, controlezi tip cu tip: C25 pică la curent (25 > 20), C32 la curent și la preț (32 > 20, 67 > 60), C16/3 la preț (138 > 60) și la poli (3 în loc de 1), iar C10, C16 și C20 trec toate condițiile.

Exemplul 3 — Betoniere, în litri și în metri cubi

Domeniu: constructii.

Enunț. Fișa unui depozit dă volumul tamburului betonierelor în litri. Șeful de șantier scrie pe comandă volumul în m³.

Betoniera	Tambur (L)
B1	120
B2	140
B3	190
B4	230

Bifează: a) „B2 are tamburul de 0,14 m³.” b) „B2 are tamburul de 0,1 m³.” c) „B2 are tamburul de 0,1 m³, rotunjit la zecimea de m³.” d) Scrie mulțimea de adevăr a predicatului „Betoniera $x$ are tamburul de cel puțin 0,18 m³.”

Rezolvare. Convertești întâi: 1 m³ = 1000 L. a) 140 L = 0,14 m³: adevărat. b) 0,14 ≠ 0,1: fals. c) Rotunjit la zecimea de m³, 0,14 devine 0,1: adevărat. Aceeași valoare dă propoziții cu valori diferite: una cere valoarea exactă, cealaltă una rotunjită. d) 0,18 m³ = 180 L; tamburul are cel puțin 180 L la B3 (190 L) și B4 (230 L), nu și la B1 (120 L) și B2 (140 L). Deci $M = {B3, B4}$ .

Capcană. Cine compară direct 0,14 cu 140 bifează rândul a) „greșit”, iar la d) pune în mulțime toate cele patru betoniere, deși B1 și B2 au tamburul sub 180 L.

Verificare. Pe alt drum, treci tot în litri: pragul 0,18 m³ înseamnă 180 L, iar în coloana tamburului valorile mai mici sunt 120 și 140.

Exemplul 4 — Problema inversă: ce prag scrii pe fișă

Domeniu: lemn.

Enunț. Problema se pune invers: pleci de la mulțimea de adevăr dorită și afli numărul din predicat. Un tâmplar are rigle de lemn late de 34, 46, 58, 67, 82 și 96 mm. Le-a încercat la rafturi: merg cele de 58, 67, 82 și 96 mm, iar cele de 34 și 46 mm sunt prea înguste. Pe fișa ucenicului, care va sorta și livrările următoare, scrie predicatul „Rigla $x$ are lățimea de cel puțin $t$ mm”. a) Pentru ce valori ale lui $t$ are predicatul exact mulțimea dorită? b) Dar dacă scrie „mai mare de $t$ mm”? c) Următoarea livrare aduce și rigle de 52 mm; tâmplarul le încearcă și merg. Ce valori ale lui $t$ rămân bune la a)?

Rezolvare. a) Rigla de 58 mm trebuie să intre, deci $58 \geq t$ ; rigla de 46 mm trebuie să rămână afară, deci $46 < t$ . Așadar $46 < t \leq 58$ . b) Acum 58 trebuie să fie mai mare decât $t$ , deci $t < 58$ , iar 46 nu trebuie să fie mai mare decât $t$ , deci $t \geq 46$ . Așadar $46 \leq t < 58$ . c) Și rigla de 52 mm trebuie să intre, deci $52 \geq t$ : rămâne $46 < t \leq 52$ . Pe fișă poate scrie, de pildă, $t = 50$ ; pragul 58, bun la a), ar respinge riglele noi.

Capcană. Cine scrie $t = 46$ cu „cel puțin” obține mulțimea ${46, 58, 67, 82, 96}$ , cu cinci rigle: rigla de 46 mm, prea îngustă, intră în mulțime. Cu „mai mare de”, aceeași valoare $t = 46$ merge.

Verificare. Pe lista inițială, cu $t = 50$ și „cel puțin”, mulțimea e ${58, 67, 82, 96}$ , iar rigla de 52 mm trece și ea. Cu $t = 46$ și „mai mare de”, mulțimea e tot ${58, 67, 82, 96}$ . Cu $t = 58$ și „mai mare de”, rigla de 58 mm iese, deci acolo $t = 58$ nu merge.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Pe fișa din situația de pornire, care enunțuri sunt propoziții (A sau F)? a) „Burghiul pentru M16 are 14 mm.” b) „Cât costă un tarod M8?” c) „Pasul lui M12 e mai mic decât al lui M10.” d) „Taie placa la 80 mm!”

2. Fie $p (x)$ „Burghiul pentru $x$ are un număr întreg de milimetri”. Hotărăște $p (M6)$ , $p (M8)$ , $p (M12)$ și $p (M14)$ .

3. Mulțimea de adevăr, pe domeniul fișei: a) „Burghiul pentru $x$ are cel puțin 10 mm.” b) „Filetul $x$ are pasul de 3 mm.”

4. Desparte în propoziții simple și scrie valoarea fiecăreia: „Filetul M12 are pasul de 1,5 mm și burghiul de 10,2 mm.”

Nivelul 2 — situații

5. Tabelul de semănat al unui fermier:

Cultura	Sămânță (kg/ha)	Rânduri (cm)
Grâu	220	12
Porumb	24	70
Floarea-soarelui	6	70

a) Bifează: „La porumb se seamănă 24 kg de sămânță la hectar.” b) Mulțimea de adevăr pentru „Cultura $x$ se seamănă cu rânduri la 70 cm.” c) Dar pentru „Cultura $x$ se seamănă cu cel puțin 24 kg de sămânță la hectar.”

6. Tabelul unei stupine:

Stupul	Rame	Regină marcată
S1	9	da
S2	11	nu
S3	14	da

a) Mulțimea de adevăr pentru „Stupul $x$ are regina marcată.” b) Dar pentru „Stupul $x$ are exact 11 rame.”

7. Tabelul unui magazin alimentar:

Produsul	Preț (lei)	Stoc (buc.)
Pâine	7,50	40
Ulei	14	0
Zahăr	11	25

a) Mulțimea de adevăr pentru „Produsul $x$ costă mai puțin de 11 lei.” b) Dar pentru „Produsul $x$ este în stoc.”

8. Facturile emise de o firmă, pe săptămâni:

a) Bifează: „În săptămâna 2 s-au emis 38 de facturi.” b) Mulțimea de adevăr pentru „În săptămâna $x$ s-au emis mai mult de 41 de facturi.” c) Dar pentru „… mai mult de 45 de facturi.”

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Atelierul are tarozi doar pentru M8, M10, M14 și M16. a) Scrie domeniul $D_{1}$ și mulțimea de adevăr a predicatului de la exercițiul 3 a) pe $D_{1}$ . b) Arată că ea conține exact filetele mulțimii de la 3 a) care sunt în $D_{1}$ .

10. (Sinteză.) Fie $p (x)$ „Filetul $x$ are pasul mai mic de 1,6 mm” și $q (x)$ „Filetul $x$ are pasul de cel puțin 1,6 mm”, pe domeniul fișei. a) Scrie mulțimile lor de adevăr. b) Arată că fiecare filet apare într-una și numai într-una.

11. (Sinteză.) Fie $r (x, y)$ predicatul cu două variabile „Filetul $x$ are pasul mai mic decât filetul $y$ ”. a) Calculează $r (M8, M12)$ și $r (M14, M16)$ . b) Pentru câte perechi $(x, y)$ este $r$ adevărat?

12. (Sinteză.) Fie $s (t)$ „Un filet cu pasul $t$ mm ar fi mai fin decât M12, dar mai puțin fin decât M6”, cu $t$ real (pas mai mic înseamnă filet mai fin). a) Scrie mulțimea de adevăr ca interval. b) Care filete din fișă au pasul în ea?

Răspunsuri și verificări

1. a) Propoziție, A. b) Întrebare, nu e propoziție. c) Propoziție, F (1,75 > 1,5). d) Ordin, nu e propoziție. Verificare: M12 are 1,75 mm, iar M10 are 1,5 mm.

2. $p (M6)$ : A. $p (M8)$ : F. $p (M12)$ : F. $p (M14)$ : A. Verificare: burghiele întregi din fișă sunt de 5, 12 și 14 mm.

3. a) ${M12, M14, M16}$ . b) $\emptyset$ : niciun pas de 3 mm. Verificare: M10 (8,5 mm) rămâne afară la a).

4. $p$ : „M12 are pasul de 1,5 mm”, F (are 1,75 mm). $q$ : „burghiul pentru M12 are 10,2 mm”, A. Verificare: fiecare propoziție, în coloana ei.

5. a) A. b) ${Porumb, Floarea-soarelui}$ . c) ${Gr \overset{a}{ˆ} u, Porumb}$ , cu 220 și 24 kg/ha. Verificare: floarea-soarelui are doar 6 kg/ha.

6. a) ${S1, S3}$ . b) ${S2}$ . Verificare: S2 nu are regina marcată, iar S1 și S3 au 9 și 14 rame.

7. a) ${P \overset{a}{ˆ} ine}$ , cu 7,50 lei. b) ${P \overset{a}{ˆ} ine, Zah \overset{a}{˘} r}$ , fiindcă stocul uleiului e 0 buc. Verificare: zahărul costă exact 11 lei, deci nu intră la a).

8. a) A (38 de facturi). b) ${3, 4}$ , cu 47 și 44 de facturi. c) ${3}$ : doar 47 de facturi depășesc 45. Verificare: săptămâna 1 are exact 41 de facturi.

9. a) $D_{1} = {M8, M10, M14, M16}$ . Burghiul are cel puțin 10 mm la M14 (12 mm) și M16 (14 mm), nu și la M8 (6,8 mm) sau M10 (8,5 mm), deci mulțimea este ${M14, M16}$ . b) Din mulțimea de la 3 a), ${M12, M14, M16}$ , rămân în $D_{1}$ numai M14 și M16. Verificare: M12 iese pentru că nu mai e în domeniu.

10. a) ${M6, M8, M10}$ și ${M12, M14, M16}$ . Pasul lui M10 (1,5 mm) e sub 1,6, iar al lui M12 (1,75 mm) nu. b) Mulțimile nu au elemente comune și împreună au $3 + 3 = 6$ elemente, adică toate filetele. Verificare: în coloana pașilor, 3 valori sunt sub 1,6 (1; 1,25; 1,5) și 3 nu (1,75; 2; 2).

11. a) $r (M8, M12)$ este A, fiindcă $1, 25 < 1, 75$ ; $r (M14, M16)$ este F, fiindcă $2 = 2$ . b) Pentru fiecare $x$ numeri filetele $y$ cu pas mai mare: M6 are 5, M8 are 4, M10 are 3, M12 are 2, M14 și M16 niciunul. Total $5 + 4 + 3 + 2 = 14$ perechi. Verificare: din 15 perechi de filete, doar M14 și M16 au același pas.

12. a) $1 < t < 1, 75$ , adică $t \in (1; 1, 75)$ . Capetele nu intră: 1 este pasul lui M6, 1,75 al lui M12, iar „mai fin” și „mai puțin fin” sunt stricte. b) M8 (1,25) și M10 (1,5). Verificare: ceilalți pași (1; 1,75; 2; 2) sunt în afara intervalului.

Așa vine la Bac M3

Propoziția și predicatul sunt în programa de examen, dar tema nu a apărut în probele 2013–2026. Programa din 2014 deschide clasa a IX-a cu un bloc în care rândul „Propoziție, predicat, cuantificatori” urmează numerelor reale și precede operațiile logice elementare. Indexul cerințelor trece în revistă cele 1 494 de cerințe ale celor 83 de probe oficiale: niciuna nu are tema în această lecție, iar în enunțurile lor nu apar cuvintele „propoziție” și „predicat”. Nu există așadar nicio cerință de citat, iar secțiunea nu inventează cerințe-model.

Ultimele patru exerciții poartă marcajul (Sinteză.) și nu copiază probe: schimbi domeniul, compari două mulțimi de adevăr, numeri perechi și treci de la fișă la interval. Celelalte rânduri ale blocului, de la operațiile logice la inducție, au lecții proprii în hubul clasei a IX-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

Bifezi „corect” un ordin sau o întrebare, ca rândul 4 → fișa de control arată verificat un rând care nu se poate verifica; cum o prinzi: te întrebi dacă poți răspunde „adevărat” sau „fals”.
Bifezi rândul 5 fără să alegi filetul → verdictul e valabil doar pentru unele filete (M6, M8, M10), nu pentru toate; cum o prinzi: cauți variabila și scrii domeniul înainte de bifare.
Citești valoarea din rândul vecin, de pildă pasul lui M12 la M14 → rândul 6 iese „corect”, deși M14 are pasul 2 mm; cum o prinzi: citești numele din prima coloană înainte de număr.
Compari 1,25 cu 1,7 după zecimale, „25 > 7” → scoți M8 din mulțimea de adevăr; cum o prinzi: scrii 1,70 și compari 1,25 cu 1,70.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, noțiunea de propoziție și de predicat face parte din programa de examen (programa de examen o așază în clasa a IX-a). În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută.

Întrebări frecvente

Rândul „Placa este gata de filetare” se poate bifa? Nu, până nu spui ce înseamnă „gata”. Fiecare ucenic îl citește altfel. Cu un criteriu pe care îl verifici, de pildă „placa are gaura de 8,5 mm”, rândul devine propoziție: măsori gaura și bifezi „corect” sau „greșit”.

Cum trec rândul 5 pe fișa de control, dacă nu-l pot bifa? Îl desfaci pe filete: scrii câte un rând pentru fiecare filet din domeniu, ca „Pasul filetului M12 este mai mic de 1,7 mm”. Obții șase propoziții: trei se bifează „corect” (M6, M8, M10) și trei „greșit” (M12, M14, M16). Mai scurt, notezi lângă rândul 5 mulțimea lui de adevăr, ${M6, M8, M10}$ .

Ce scriu dacă pragul din rândul 5 coboară la 1 mm? Scrii mulțimea vidă, $\emptyset$ . Pentru „pasul filetului $x$ este mai mic de 1 mm” niciun filet din fișă nu convine, fiindcă cel mai mic pas este chiar 1 mm. Mulțimea vidă este un răspuns corect: arată că predicatul nu devine adevărat pentru nicio valoare din domeniu.

Se schimbă mulțimea de adevăr a rândului 5 dacă fișa primește rândul M18, cu pasul de 2,5 mm? Nu. Pasul de 2,5 mm nu este mai mic de 1,7 mm, deci M18 nu intră, iar $M_{p}$ rămâne ${M6, M8, M10}$ . Se schimbă doar domeniul, care are acum 7 filete în loc de 6. Un rând M5, cu pasul de 0,8 mm, ar fi intrat în mulțime.

În ce bloc al programei pentru Bacalaureatul M3 găsesc propoziția și predicatul? Programa de examen M_tehnologic o așază în primul bloc al clasei a IX-a, la rândul „Propoziție, predicat, cuantificatori”. Niciuna dintre cele 83 de probe oficiale din 2013–2026 nu are o cerință despre propoziții sau predicate, dar, fiind parte din programă, tema poate fi cerută.