Lecția pe scurt · clasa a X-a · Reguli pentru puteri reale

Cum fac bazele egale într-o ecuație cu puteri?

Cauți un număr din care ambele baze sunt puteri, apoi aplici $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ . În $6 4^{x} = 4^{x + 4}$ , scrii $64 = 4^{3}$ , deci $4^{3 x} = 4^{x + 4}$ , de unde $3 x = x + 4$ și $x = 2$ . Alegi cea mai mică bază comună, ca să ai de calculat cât mai puțin. Fără o bază comună, ca la 2 și 3, metoda nu se aplică. Proba: $6 4^{2} = 4096$ și $4^{2 + 4} = 4^{6} = 4096$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Puterile cu exponent real au aceleași reguli ca puterile întregi, cu o singură condiție: baza este pozitivă. Produsul puterilor cu aceeași bază adună exponenții, câtul îi scade, iar puterea unei puteri îi înmulțește. Exponentul negativ întoarce baza, iar exponentul fracționar cere un radical: $a^{m / n} = n a^{m}$ .

Metoda se desfășoară în pași scurți. Verifici baza și spui ce operație ai: produs, cât, putere de putere sau sumă. Scrii bazele diferite ca puteri ale aceluiași număr mic, de pildă $9 = 3^{2}$ . Aplici regula pe fiecare rând, ca să se vadă ce ai folosit. La final egalezi exponenții, dacă ambele părți au aceeași bază.

Suma de puteri nu are regulă proprie: nu o strângi într-o singură putere. Desfaci o putere prin produs și scoți factorul comun. Greșeala frecventă este să iei exponentul drept factor, adică să scrii $2 \cdot 0, 8$ în loc de $2^{0, 8}$ , sau să pierzi minusul din exponent. Verifici înlocuind $x = 1$ în ecuația dată și în cea transformată: numerele trebuie să coincidă.

Legile de putere apar în meserii oriunde o mărime depinde de alta printr-un exponent: debite, costuri, durabilitate, dobândă compusă. Baza este atunci un raport de mărimi pozitive, deci regulile se aplică fără restricții.

De reținut

$(a^{m})^{n} = a^{mn}$
$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ și $\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$
aduci bazele la aceeași bază, apoi egalezi exponenții

Greșeala tipică

Se adună exponenții la o putere de putere, deși se înmulțesc: $(7^{2})^{x}$ devine $7^{2 x}$ . Proba se face punând $x = 1$ în ambele ecuații.

Exerciții din această mini-lecție

Într-un bazin de creștere a puietului, o populație de crustacei mici, hrană pentru puiet, se înmulțește de 27 de ori la fiecare 2 zile. După $t$ zile, populația este de $2 7^{t /2}$ ori mai mare. Cum se scrie acest factor ca putere a lui 3?
- a) $3^{3 t}$
- b) $3^{3 + t /2}$
- c) $3^{3 t /2}$
- d) $3^{27 t /2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $3^{3 t /2}$

Cum $27 = 3^{3}$ , factorul este $(3^{3})^{t /2} = 3^{3 t /2}$ . Varianta $3^{3 t}$ uită să împartă la 2 exponentul $\frac{t}{2}$ . Varianta $3^{3 + t /2}$ adună exponenții în loc să-i înmulțească. Varianta $3^{27 t /2}$ ia baza 27 drept factor în exponent.
Un depozit are $4^{x}$ rafturi, iar pe fiecare raft stau $6 4^{x - 1}$ cutii ( $x$ este număr natural nenul). Numărul total de cutii este produsul lor. Cum se scrie acest produs ca o singură putere a lui 4?
- a) $4^{4 x - 3}$
- b) $4^{2 x + 2}$
- c) $25 6^{2 x - 1}$
- d) $4^{4 x - 1}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $4^{4 x - 3}$

Scrii $6 4^{x - 1} = (4^{3})^{x - 1} = 4^{3 x - 3}$ , apoi la produs aduni exponenții: $4^{x} \cdot 4^{3 x - 3} = 4^{4 x - 3}$ . Varianta $4^{2 x + 2}$ aduce 3 la exponent în loc să-l înmulțească pe $x - 1$ cu 3. Varianta $25 6^{2 x - 1}$ înmulțește bazele și adună exponenții, ceea ce nu se poate. Varianta $4^{4 x - 1}$ triplează doar pe $x$ și uită de $- 1$ .
O bancă oferă o dobândă compusă de 21 % pe an: după un an, suma se înmulțește cu 1,21. Dobânda se aplică la fel de la o perioadă la alta, deci după jumătate de an suma se înmulțește cu $1, 2 1^{1/2}$ . Cu cât la sută crește suma în jumătate de an?
- a) 10,5 %
- b) 46,41 %
- c) 60,5 %
- d) 10 %
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) 10 %

$1, 2 1^{1/2} = 1, 21 = 1, 1$ , deci suma crește cu 10 %. Varianta 10,5 % împarte rata anuală la 2 și ignoră faptul că dobânda se aplică și dobânzii. Varianta 46,41 % vine din $1, 2 1^{2}$ , cu exponentul 2 în loc de $\frac{1}{2}$ . Varianta 60,5 % este factorul $1, 21 : 2 = 0, 605$ , nu creșterea.

Întrebări conexe

Cum scad exponenții la câtul a două puteri?

Dacă bazele sunt egale, păstrezi baza și scazi exponentul numitorului din cel al numărătorului. De exemplu $\frac{1 2 ^{x + 2}}{1 2 ^{x}} = 1 2^{(x + 2) - x} = 1 2^{2} = 144$ , indiferent de $x$ . Paranteza din exponent contează: scazi întregul exponent, nu doar ultimul termen.

Ce fac când în ecuație apar două baze diferite înmulțite?

Le strângi sub același exponent: $a^{x} \cdot b^{x} = (ab)^{x}$ . La $4^{x} \cdot 2 5^{x} = 10000$ obții $10 0^{x} = 10 0^{2}$ , deci $x = 2$ . Regula cere același exponent la ambele baze; dacă exponenții diferă, scoți întâi factorul care îi deosebește.

De câte ori crește mărimea dacă baza se înmulțește cu k?

Dacă un cost crește cu capacitatea la puterea 0,4 (valoare din exemplu), la o capacitate de 32 de ori mai mare costul crește de $3 2^{0, 4} = 2^{5 \cdot 0, 4} = 2^{2} = 4$ ori. Nu de $32 \cdot 0, 4 = 12, 8$ ori: exponentul nu este factor.

Cum verific soluția unei ecuații exponențiale?

Înlocuiești soluția în ecuația dată, nu în cea transformată. La $9^{x - 1} = 27$ , din $3^{2 x - 2} = 3^{3}$ iese $x = \frac{5}{2}$ . Proba: $9^{3/2} = 9^{3} = 729 = 27$ . Dacă proba nu iese, greșeala este la egalarea exponenților, nu la regulile de calcul.

Ce fac când exponentul din ecuație este negativ?

Întorci baza: $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ . De exemplu $0, 5^{- 4} = 2^{4} = 16$ , fiindcă $0, 5 = 2^{- 1}$ . Verifici sensul: o bază subunitară ridicată la o putere negativă dă un număr mai mare decât 1.

A apărut regula puterilor în probele oficiale?

Da, a apărut în 7 probe M_tehnologic din 2013–2026, în Subiectul I, ca prim pas al unei ecuații exponențiale: aduci bazele la aceeași bază, scrii egalitatea exponenților și rezolvi ecuația de gradul I care rezultă.

Oamenii mai întreabă și: ecuație exponențială cu baze diferite · cum scriu 64 ca putere a lui 4 · reguli pentru puteri cu necunoscută la exponent · ecuații cu necunoscuta la exponent