Bac tehnologic: reguli pentru puteri reale

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Un tehnician dintr-o fabrică de vopsea dublează viteza apei de răcire, iar coeficientul de transfer al căldurii nu se dublează: crește de 1,74 ori, nu de 2. Cât crește și de ce afli cu regulile de calcul ale puterilor cu exponent real, materie pe care elevii de tehnologic o fac în clasa a X-a. În 7 probe oficiale din 2013–2026, aceste reguli au fost, la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), primul pas al ecuației exponențiale de la a treia cerință a Subiectului I.

Situația de pornire

Laboratorul unei fabrici de vopsea industrială răcește un solvent într-un schimbător cu țevi: solventul cald trece pe lângă țevile prin care curge apa de răcire. Cât de repede se răcește amestecul depinde de coeficientul de transfer al căldurii dintre apă și peretele țevii, în W/(m²·K), iar acesta depinde de viteza apei prin țeavă. Tehnicianul a măsurat coeficientul pe un circuit de probă, cu aceeași țeavă și cu apă la 20 °C, la cinci viteze (valori din exemplu). Fișa schimbătorului spune că, la curgere turbulentă prin țeavă, coeficientul crește cu viteza la puterea 0,8, adică mai încet decât viteza. Pe caiet, tehnicianul are o singură putere calculată: $2^{0, 2} \approx 1, 1487$ . Calculatorul lui de buzunar nu are tastă pentru puteri.

Viteza apei (m/s)	Coeficientul de transfer (W/(m²·K))	Față de valoarea la 1 m/s
0,5	2 412	0,574
1	4 200	1
1,5	5 809	1,383
2	7 313	1,741
4	12 732	3,031

Întrebare: de câte ori crește coeficientul când viteza apei se dublează, se împătrește sau devine de 8 ori mai mare, și se potrivesc calculele cu valorile măsurate, dacă tehnicianul folosește numai valoarea din caiet?

De la situație la model

Dacă viteza se înmulțește cu $k$ , coeficientul se înmulțește cu $k^{0, 8}$ : în tabel, $2^{0, 8} \approx 1, 741$ și $4^{0, 8} \approx 3, 031$ . Exponentul 0,8 nu e număr întreg, deci „ $k$ înmulțit de 0,8 ori” nu are sens. Ca să calculezi cu astfel de puteri, trebuie să știi ce înseamnă un exponent real și ce reguli îți dau voie să muți puterea dintr-o formă în alta.

În situație	În matematică
viteza apei devine de $k$ ori mai mare	factorul $k$ ridicat la exponentul 0,8: $k^{0, 8}$
„puterea 0,8” a fișei schimbătorului	exponent rațional, $0, 8 = \frac{4}{5}$ , deci $k^{0, 8} = 5 k^{4}$
viteza se înjumătățește	$0, 5^{0, 8} = 2^{- 0, 8}$ : exponent negativ
singura valoare de pe caiet, $2^{0, 2}$	puterea din care obții celelalte, cu reguli
$2^{0, 8}$ lipsește din caiet	$2^{0, 8} = (2^{0, 2})^{4}$ : putere de putere

O putere cu exponent real este $a^{x}$ , cu baza $a$ pozitivă și cu exponentul $x$ oarecare. Exponentul spune ce faci cu baza: la $x = n$ natural nenul iei produsul a $n$ factori egali cu baza, iar $a^{0} = 1$ ; la $x = - n$ iei inversul lui $a^{n}$ ; la $x = \frac{m}{n}$ iei radicalul de ordin $n$ din $a^{m}$ ; la un exponent irațional folosești aproximări tot mai bune ale exponentului. În toate cazurile rămân valabile aceleași reguli, adunate în Fișa de buzunar, iar baza pozitivă e condiția lor: pentru baze negative, regulile nu mai rămân adevărate. În formulele meseriilor baza e oricum un raport între mărimi pozitive, ca viteza nouă împărțită la cea veche.

Cum calculezi $2^{0, 8}$ fără tastă de putere?

Cu radicali, $2^{0, 8} = 5 2^{4}$ , greu de scos de mână; radicalii sunt oricum puteri cu exponent fracționar, ca $a = a^{1/2}$ , iar scoaterea factorilor de sub ei e în lecția factori de sub radical. Cu regulile, valoarea din caiet ajunge: $0, 8 = 4 \cdot 0, 2$ , deci $2^{0, 8} = (2^{0, 2})^{4}$ , adică ridici de două ori la pătrat numărul 1,1487. Pentru $4^{0, 8}$ scrii întâi $4 = 2^{2}$ , deci $4^{0, 8} = 2^{1, 6}$ , iar $1, 6 = 1 + 3 \cdot 0, 2$ dă $2^{1, 6} = 2^{1} \cdot (2^{0, 2})^{3}$ . Regula puterii unei puteri și cea a produsului de puteri cu aceeași bază fac toată treaba.

Cum aduci două puteri la aceeași bază?

Aici a stat primul pas al ecuațiilor din probele de Bacalaureat M3 din 2013–2026: în $3^{x + 1} = 9^{x}$ , din iunie 2018, bazele sunt 3 și 9, iar $9 = 3^{2}$ . Cauți numărul din care toate bazele sunt puteri, de preferat cel mai mic: pentru 4, 8 și 16 este 2, pentru 3 și 9 este 3, iar pentru 0,5 tot 2, fiindcă $0, 5 = 2^{- 1}$ . Apoi aplici regula puterii unei puteri, $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ : exponenții 2 și $x$ se înmulțesc, deci puterea lui 3 din membrul drept are exponentul $2 x$ . Dacă bazele nu au un număr comun, ca 2 și 3, egalarea exponenților nu merge.

Ce se schimbă la un exponent irațional?

Un exponent poate fi și $3$ . Valoarea lui $2^{3}$ nu iese exact din caiet, dar se încadrează: $1, 6 < 3 < 1, 8$ , iar puterile lui 2 cresc odată cu exponentul, deci $2^{1, 6} < 2^{3} < 2^{1, 8}$ . Cu valoarea din caiet, $2^{1, 6} = 2 \cdot (2^{0, 2})^{3} \approx 3, 031$ și $2^{1, 8} = 2 \cdot (2^{0, 2})^{4} \approx 3, 482$ . Exponenți zecimali tot mai apropiați de $3$ strâng încadrarea; așa se definește $2^{3}$ , iar regulile din Fișă rămân aceleași.

Metoda pas cu pas

Verifică baza și operația. Bazele trebuie să fie pozitive; spune apoi dacă ai un produs sau un cât de puteri cu aceeași bază, o putere de putere, o putere a unui produs sau o sumă de puteri. Dacă bazele diferă, ca la 3 și 9, notează ce putere a aceluiași număr este fiecare. Pentru viteza dublată din situație, operația este o putere ridicată la o altă putere.
Adu puterile la aceeași bază. Scrie bazele ca puteri ale aceluiași număr, ca $4 = 2^{2}$ , $0, 5 = 2^{- 1}$ , $\frac{1}{9} = 3^{- 2}$ , apoi aplică $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ : $4^{0, 8} = (2^{2})^{0, 8} = 2^{1, 6}$ . Un exponent zecimal îl poți desface în bucăți cunoscute, ca $1, 6 = 1 + 3 \cdot 0, 2$ ; un exponent fracționar se citește și ca radical, dar pentru calculul de mână regulile sunt mai comode.
Aplică regula. La produs adună exponenții, la cât scade-i, la putere de putere înmulțește-i, la o sumă de puteri scoate factorul comun, fiindcă suma nu are regulă proprie. Un exponent negativ se scrie ca inversul puterii, iar o diferență de puteri se tratează ca o sumă. Scrie fiecare transformare pe un rând, ca să se vadă regula folosită.
Verifică pe alt drum. Pune în expresia inițială și în cea obținută o valoare simplă, ca $x = 1$ , sau compară valorile aproximative. Controlează semnul exponentului și ordinul de mărime: la viteză mai mare, coeficientul crește, deci factorul trebuie să fie peste 1. O transformare e corectă numai dacă ambele părți dau același număr.

Regulile sunt scrise pe scurt în Fișa de buzunar; regulile de la logaritmi, care sunt exponenți, apar în logaritmul produsului. Rezolvarea ecuației întregi, după ce puterile au aceeași bază, e în lecția ecuații exponențiale și logaritmice. Toate lecțiile clasei, pe unități, sunt în lecțiile clasei a X-a, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}, \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}, (a^{m})^{n} = a^{mn}$

$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}, a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}, a^{m / n} = n a^{m}$

Regula	Ce faci cu exponenții	Pe numere
produs, aceeași bază	îi aduni	$7^{x - 1} \cdot 7^{4} = 7^{x + 3}$
cât, aceeași bază	îi scazi	$\frac{6 ^{x + 3}}{6 ^{x}} = 6^{3} = 216$
putere de putere	îi înmulțești	$3 6^{x} = (6^{2})^{x} = 6^{2 x}$
exponent negativ	întorci baza	$0, 5^{- 3} = 2^{3} = 8$
exponent fracționar	iei radicalul	$3 2^{0, 8} = 5 3 2^{4} = 16$

Condiții de aplicare: baza este pozitivă, la fel ca factorii unui produs ridicat la putere, iar regulile sunt valabile și pentru exponenți iraționali. O sumă de puteri nu are regulă: $a^{m} + a^{n}$ nu se scrie ca o singură putere. Verificare rapidă: înlocuiești $x$ cu 1 în ambele părți ale unei transformări, iar numerele trebuie să coincidă.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Viteza apei într-un schimbător de căldură

Domeniu: chimie.

Enunț. Reia circuitul din situația de pornire: coeficientul de transfer este $4200 \cdot v^{0, 8}$ W/(m²·K), cu $v$ în m/s, iar pe caiet ai $2^{0, 2} \approx 1, 1487$ . a) De câte ori crește coeficientul când viteza se dublează, se împătrește sau crește de 8 ori? b) De la 0,5 la 4 m/s viteza crește de 8 ori: ce coeficient dă regula la 4 m/s, pornind de la cel măsurat la 0,5 m/s? c) Cât devine coeficientul când viteza se înjumătățește, de la 1 la 0,5 m/s?

Rezolvare. Când viteza se înmulțește cu $k$ , coeficientul se înmulțește cu $k^{0, 8}$ . a) Pentru $k = 2$ : $2^{0, 8} = (2^{0, 2})^{4} \approx 1, 148 7^{4} \approx 1, 319 5^{2} \approx 1, 7411$ . Pentru $k = 4$ : $4^{0, 8} = (2^{2})^{0, 8} = 2^{1, 6} = 2^{1} \cdot (2^{0, 2})^{3} \approx 2 \cdot 1, 5157 = 3, 0314$ . Pentru $k = 8$ : $8^{0, 8} = (2^{3})^{0, 8} = 2^{2, 4} = 2^{2} \cdot (2^{0, 2})^{2} \approx 4 \cdot 1, 3195 = 5, 278$ . b) Pornind de la 0,5 m/s, coeficientul la 4 m/s este $2412 \cdot 5, 278 \approx 12731$ W/(m²·K), practic cei 12 732 măsurați; diferența vine din rotunjiri. c) $0, 5^{0, 8} = (2^{- 1})^{0, 8} = 2^{- 0, 8} = \frac{1}{2 ^{0, 8}} \approx \frac{1}{1 , 7411} \approx 0, 5743$ , deci coeficientul este $4200 \cdot 0, 5743 \approx 2412$ W/(m²·K).

Capcană. Cine scrie $2^{0, 8} = 2 \cdot 0, 8 = 1, 6$ ia exponentul drept factor. Coeficientul ar fi $4200 \cdot 1, 6 = 6720$ W/(m²·K), cu 593 mai puțin decât cei 7 313 măsurați la 2 m/s.

Verificare. Pe alt drum, din tabel: $7313 : 4200 \approx 1, 741$ și $12732 : 7313 \approx 1, 741$ , același factor la fiecare dublare a vitezei, cum cere puterea 0,8. Valorile calculate la a) și c) coincid cu cele din tabel: 7 313, 12 732 și 2 412.

Exemplul 2 — Durabilitatea plăcuței de strung

Domeniu: mecanica.

Enunț. Un strungar prelucrează arbori cu o plăcuță ceramică, care la 500 de rotații pe minut rezistă 90 de minute până la schimbare. Pentru acest tip de plăcuță, durabilitatea în minute este $90 \cdot (\frac{n}{500})^{- 2, 5}$ , cu $n$ în rotații pe minut (valori din exemplu). Tehnologul vrea să treacă la 720 de rotații pe minut. Cât rezistă plăcuța la turația nouă, cu cât la sută scade durabilitatea și câte piese ies pe o plăcuță la fiecare turație, dacă la 500 de rotații pe minut o piesă se strunjește în 2,4 minute, iar timpul pe piesă scade în raportul turațiilor?

Rezolvare. Raportul turațiilor este $\frac{720}{500} = 1, 44 = 1, 2^{2}$ . Durabilitatea nouă este $90 \cdot 1, 4 4^{- 2, 5} = 90 \cdot (1, 2^{2})^{- 2, 5} = 90 \cdot 1, 2^{- 5} = \frac{90}{1 , 2 ^{5}}$ . Calculezi puterile lui 1,2: $1, 2^{2} = 1, 44$ , $1, 2^{3} = 1, 728$ , $1, 2^{4} = 2, 0736$ și $1, 2^{5} = 2, 48832$ . Plăcuța rezistă $90 : 2, 48832 \approx 36, 2$ minute. Raportul față de 90 este $1, 2^{- 5} \approx 0, 402$ , deci durabilitatea scade cu aproape 60 %. La 500 de rotații pe minut, $90 : 2, 4 = 37, 5$ , deci 37 de piese întregi pe plăcuță. La 720 de rotații, timpul pe piesă este $2, 4 \cdot \frac{500}{720} \approx 1, 667$ minute, iar $36, 17 : 1, 667 \approx 21, 7$ , deci 21 de piese pe plăcuță: mai puține piese pe plăcuță, dar fiecare iese în 1,667 minute, nu în 2,4.

Capcană. Cine uită minusul din exponent calculează $1, 4 4^{2, 5} = 1, 2^{5} = 2, 48832$ și obține $90 \cdot 2, 48832 \approx 224$ de minute. Ar ieși că turația mai mare ține plăcuța de două ori și jumătate mai mult, deși o uzează mai repede.

Verificare. Înmulțește înapoi: $36, 17 \cdot 2, 48832 \approx 90$ , durabilitatea de la 500 de rotații pe minut. Sensul e corect: turație mai mare, durabilitate mai mică.

Exemplul 3 — Acumulatorul unei dubițe

Domeniu: auto.

Enunț. Electricianul unei firme de livrări verifică acumulatorul auxiliar al unei dubițe frigorifice: 12 V și 60 Ah, capacitate dată pentru descărcare în 20 de ore, adică la 3 A. Cu motorul oprit, dubița consumă din el 12 A, pentru frigider și lumini. Pentru acest acumulator, timpul de funcționare în ore este $20 \cdot (\frac{60}{12 \cdot 20})^{1, 2}$ (legea lui Peukert, cu exponentul 1,2, valori din exemplu). Calculatorul dă $2^{0, 4} \approx 1, 3195$ . a) Cât ține acumulatorul, în ore și minute? b) Ajunge pentru o oprire de 4 ore?

Rezolvare. Raportul din paranteză este $\frac{60}{240} = \frac{1}{4} = 2^{- 2}$ . Atunci $(2^{- 2})^{1, 2} = 2^{- 2, 4} = \frac{1}{2 ^{2, 4}} = \frac{1}{2 ^{2} \cdot 2 ^{0, 4}} \approx \frac{1}{4 \cdot 1 , 3195} = \frac{1}{5 , 278} \approx 0, 1895$ . Timpul este $20 \cdot 0, 1895 \approx 3, 79$ ore. Partea zecimală, 0,79 ore, înseamnă $0, 79 \cdot 60 \approx 47$ de minute, deci acumulatorul ține 3 ore și 47 de minute. b) Cum 3 h 47 min este mai puțin de 4 h, nu ajunge.

Capcană. Cine citește 3,79 ore ca „3 h 79 min” ia zecimalele drept minute. Ar ieși 4 h 19 min și ar concluziona greșit că acumulatorul ajunge pentru oprirea de 4 ore.

Verificare. La 12 A, în 3,79 ore acumulatorul dă $12 \cdot 3, 79 \approx 45, 5$ Ah, mai puțin decât cei 60 Ah ai etichetei, cum se întâmplă la un curent de descărcare mai mare decât cel din fișă. Fără regula puterii ai fi împărțit $60 : 12 = 5$ ore.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: o ecuație cu diferență de puteri

Domeniu: alimentar.

Enunț. Într-o cerință de același fel, dar cu alte numere decât în probe, se cere: „Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $6^{x + 2} - 6^{x} = 1260$ .” Pe o linie de ambalare dintr-o fabrică de conserve, unitățile se grupează câte 6: dacă la treapta $x$ sunt $6^{x}$ unități, ecuația spune că între treapta $x + 2$ și treapta $x$ sunt 1 260 de unități în plus.

Rezolvare. Pasul 3 din Metodă desface prima putere: $6^{x + 2} = 6^{x} \cdot 6^{2} = 36 \cdot 6^{x}$ . Scoți factorul comun: $6^{x} \cdot (36 - 1) = 1260$ , deci $35 \cdot 6^{x} = 1260$ și $6^{x} = 36 = 6^{2}$ . Bazele sunt egale, deci exponenții sunt egali: $x = 2$ .

Capcană. Cine aplică regula câtului la o diferență scrie $6^{x + 2} - 6^{x} = 6^{(x + 2) - x} = 6^{2} = 36$ . Ecuația ar cere ca numărul 36 să fie egal cu 1 260, deci ar fi fără soluții, deși are una.

Verificare. Pentru $x = 2$ : $6^{4} - 6^{2} = 1296 - 36 = 1260$ . Treapta 4 are 1 296 de unități, iar treapta 2 are 36.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează, fără calculator: a) $5^{2, 3} \cdot 5^{0, 7}$ ; b) $\frac{5 ^{3, 6}}{5 ^{1, 6}}$ ; c) $(5^{0, 5})^{8}$ .

2. Calculează: a) $8 1^{0, 75}$ ; b) $24 3^{0, 4}$ ; c) $0, 2 5^{- 1, 5}$ ; d) $(\frac{27}{64})^{- 1/3}$ .

3. Scrie ca putere a lui 2: a) $8^{x + 1}$ ; b) $4^{x} \cdot 2^{x - 3}$ ; c) $\frac{1 6 ^{x}}{8 ^{x - 1}}$ ; d) $(\frac{1}{2})^{x}$ .

4. Rezolvă, aducând la aceeași bază, ecuațiile cu exponenți iraționali: a) $2^{x + 3} = 8^{3}$ ; b) $9^{x} = 3^{2}$ .

Nivelul 2 — situații

5. Un magazin vinde 1 000 de pachete de baterii pe lună la 4,00 lei bucata. Cererea variază cu prețul $p$ după formula $1000 \cdot (\frac{p}{4})^{- 1, 5}$ (valori din exemplu). Prețul crește la 5,76 lei. a) Câte pachete se vând? b) Cresc sau scad încasările lunare și cu cât?

6. Pe un canal de irigații, debitul se măsoară cu un deversor dreptunghiular: când apa trece cu 25 cm peste prag, debitul este 120 l/s, iar debitul crește cu înălțimea apei peste prag la puterea 1,5 (valori din exemplu). a) Ce debit trece la 36 cm? b) Dar la 49 cm? c) La ce înălțime trec 405 l/s?

7. La devizele de utilaje, costul rezervoarelor de același tip crește cu volumul la puterea 0,6 (valori din exemplu). Un rezervor de stocare din oțel inoxidabil, de 2 m³, costă 45 000 de lei. a) Cât costă unul de 64 m³? b) De câte ori e mai mic costul pe metru cub la rezervorul mare? c) Ce volum are un rezervor de același tip, de 27 de ori mai scump?

8. Economistul unei fabrici de mobilă estimează producția lunară cu formula $40 \cdot L^{0, 6} \cdot M^{0, 4}$ corpuri de mobilier, unde $L$ e numărul de tâmplari, iar $M$ numărul de mașini CNC (valori din exemplu). Acum lucrează 2 tâmplari la 2 mașini. Cu $2^{0, 2} \approx 1, 1487$ : a) câte corpuri ies pe lună? b) câte ies cu încă 2 tâmplari, la aceleași mașini? c) câte, dacă se dublează și tâmplarii, și mașinile?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{x + 6} = 2 5^{x - 1}$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4^{x} \cdot 2^{x + 1} = 3 2^{x - 1}$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{x + 3} + 2^{x - 2} = 66$ .

12. (Sinteză.) a) Cu $2^{0, 2} \approx 1, 1487$ , calculați fără tastă de putere $\frac{8 ^{0, 6} \cdot 2 ^{0, 4}}{4 ^{0, 5}}$ . b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $(\frac{1}{3})^{x} \cdot 9^{x + 2} = 243$ .

Răspunsuri și verificări

1. a) $5^{2, 3 + 0, 7} = 5^{3} = 125$ ; b) $5^{3, 6 - 1, 6} = 5^{2} = 25$ ; c) $5^{0, 5 \cdot 8} = 5^{4} = 625$ . Verificare: $125 \cdot 25 = 3125 = 5^{5}$ , iar $3 + 2 = 5$ .

2. a) $8 1^{0, 75} = (3^{4})^{3/4} = 3^{3} = 27$ ; b) $24 3^{0, 4} = (3^{5})^{2/5} = 3^{2} = 9$ ; c) $0, 2 5^{- 1, 5} = 4^{3/2} = (2^{2})^{3/2} = 2^{3} = 8$ ; d) $(\frac{64}{27})^{1/3} = \frac{4}{3}$ . Verificare: $2 7^{4/3} = 81$ și $(\frac{4}{3})^{3} = \frac{64}{27}$ .

3. a) $2^{3 x + 3}$ ; b) $2^{2 x} \cdot 2^{x - 3} = 2^{3 x - 3}$ ; c) $2^{4 x - (3 x - 3)} = 2^{x + 3}$ ; d) $2^{- x}$ . Verificare: la $x = 1$ , a) $8^{2} = 64 = 2^{6}$ și b) $4 \cdot 2^{- 2} = 1 = 2^{0}$ .

4. a) $8^{3} = (2^{3})^{3} = 2^{33}$ , deci $x + 3 = 33$ și $x = 23$ . b) Scrii $9 = 3^{2}$ și egalezi exponenții lui 3: $2 x = 2$ , deci $x = \frac{2}{2}$ . Verificare: la a), $2^{23 + 3} = 2^{33} = 8^{3}$ , iar la b), $9^{2 /2} = (3^{2})^{2 /2} = 3^{2}$ .

5. a) $\frac{5 , 76}{4} = 1, 44 = 1, 2^{2}$ , deci cererea este $1000 \cdot 1, 4 4^{- 1, 5} = 1000 \cdot 1, 2^{- 3} = \frac{1 000}{1 , 728} \approx 578, 7$ , adică 579 de pachete. b) Încasările erau $4 \cdot 1000 = 4000$ de lei, iar acum sunt $5, 76 \cdot 578, 7 \approx 3333$ de lei, deci scad cu aproximativ 667 de lei. Verificare: $5, 76 \cdot 579 \approx 3335$ de lei, tot sub 4 000.

6. a) $\frac{36}{25} = 1, 2^{2}$ , deci factorul este $1, 2^{3} = 1, 728$ , iar debitul $120 \cdot 1, 728 \approx 207$ l/s. b) $\frac{49}{25} = 1, 4^{2}$ , deci factorul este $1, 4^{3} = 2, 744$ , iar debitul $120 \cdot 2, 744 \approx 329$ l/s. c) $405 : 120 = 3, 375 = 1, 5^{3}$ , deci $(\frac{h}{25})^{3/2} = 1, 5^{3}$ , $\frac{h}{25} = 1, 5^{2} = 2, 25$ și $h = 56, 25$ cm. Verificare: $2, 2 5^{1, 5} = 1, 5^{3} = 3, 375$ , iar $120 \cdot 3, 375 = 405$ l/s.

7. a) Volumul crește de $\frac{64}{2} = 32 = 2^{5}$ ori, deci costul crește de $3 2^{0, 6} = 2^{3} = 8$ ori: rezervorul mare costă 360 000 de lei. b) Pe metru cub, cel mic costă 22 500 de lei, iar cel mare 5 625 de lei, adică de 4 ori mai puțin, cât dă și $3 2^{0, 6 - 1} = 3 2^{- 0, 4} = 2^{- 2}$ . c) $(\frac{V}{2})^{0, 6} = 27$ , deci $\frac{V}{2} = 2 7^{5/3} = 3^{5} = 243$ și $V = 486$ m³. Verificare: $24 3^{0, 6} = 3^{3} = 27$ .

8. a) $40 \cdot 2^{0, 6} \cdot 2^{0, 4} = 40 \cdot 2^{1} = 80$ de corpuri. b) $40 \cdot 4^{0, 6} \cdot 2^{0, 4} = 40 \cdot 2^{1, 6} = 80 \cdot (2^{0, 2})^{3} \approx 80 \cdot 1, 5157 \approx 121$ de corpuri. c) $40 \cdot 4^{0, 6} \cdot 4^{0, 4} = 40 \cdot 4 = 160$ de corpuri, dublu față de a), fiindcă $0, 6 + 0, 4 = 1$ . Verificare: la b) producția crește mai puțin decât la c), $121 < 160$ , fiindcă s-au dublat doar tâmplarii.

9. Baza din dreapta este pătratul celei din stânga: $25 = 5^{2}$ , deci $2 5^{x - 1} = 5^{2 (x - 1)} = 5^{2 x - 2}$ . Egalezi exponenții: $x + 6 = 2 x - 2$ , deci $x = 8$ . Verificare: $5^{14} = 2 5^{7} = 6103515625$ .

10. Bazele 4 și 32 sunt puteri ale lui 2, iar membrul stâng devine $2^{2 x} \cdot 2^{x + 1} = 2^{3 x + 1}$ , în timp ce membrul drept este $2^{5 (x - 1)} = 2^{5 x - 5}$ . Din $3 x + 1 = 5 x - 5$ rezultă $x = 3$ . Verificare: $4^{3} \cdot 2^{4} = 64 \cdot 16 = 1024$ și $3 2^{2} = 1024$ .

11. Desfaci prima putere: $2^{x + 3} = 2^{x - 2} \cdot 2^{5}$ , apoi scoți factorul comun $2^{x - 2}$ : $2^{x - 2} \cdot (32 + 1) = 66$ . Rezultă $33 \cdot 2^{x - 2} = 66$ , adică $2^{x - 2} = 2$ , deci $x - 2 = 1$ și $x = 3$ . Verificare: $2^{6} + 2^{1} = 64 + 2 = 66$ .

12. a) $8^{0, 6} = 2^{1, 8}$ și $4^{0, 5} = 2^{1}$ , deci expresia este $2^{1, 8 + 0, 4 - 1} = 2^{1, 2} = 2 \cdot 2^{0, 2} \approx 2, 2974$ . b) $(\frac{1}{3})^{x} \cdot 9^{x + 2} = 3^{- x} \cdot 3^{2 x + 4} = 3^{x + 4}$ , iar $243 = 3^{5}$ , de unde $x + 4 = 5$ și $x = 1$ . Verificare: la a), $2, 297 4^{5} \approx 64 = 2^{6}$ , cât cere $2^{1, 2 \cdot 5}$ ; la b), $\frac{1}{3} \cdot 9^{3} = \frac{729}{3} = 243$ .

Așa vine la Bac M3

Regulile de calcul cu puteri au deschis rezolvarea în 7 probe oficiale din 2013–2026 (din 83), mereu la a treia cerință a Subiectului I, o ecuație exponențială. Cerința nu le-a cerut ca temă proprie: ecuația întreagă e tema lecției ecuații exponențiale și logaritmice. În 3 probe ecuația a avut două baze, una pătratul celeilalte (3 și 9, 2 și 4, 7 și 49); în alte 2, bazele au fost puteri diferite ale lui 2 (8 și 4, apoi 4, 8 și 16); în ultimele 2, membrul stâng a fost o sumă de două puteri cu aceeași bază. Din 2022 încoace, doar simularea din 2023 a avut o astfel de ecuație. Cerințele de mai jos acoperă toate trei formele:

Iunie 2018, Subiectul I, exercițiul 3: ecuația $3^{x + 1} = 9^{x}$ are bazele 3 și 9, deci pasul 2 din Metodă scrie $9 = 3^{2}$ și aplică puterea unei puteri; baremul probei scrie $3^{x + 1} = 3^{2 x} \Leftrightarrow x + 1 = 2 x$ (3 puncte), apoi $x = 1$ (2 puncte).
Simularea din 2019, Subiectul I, exercițiul 3: ecuația $4^{x} \cdot 8^{x + 1} = 1 6^{2 x}$ are trei baze, deci pasul 2 le scrie ca puteri ale lui 2, iar pasul 3 adună exponenții produsului; baremul probei scrie $2^{2 x} \cdot 2^{3 x + 3} = 2^{8 x} \Leftrightarrow 2^{5 x + 3} = 2^{8 x}$ (3 puncte), apoi $5 x + 3 = 8 x$ , deci $x = 1$ (2 puncte).
Modelul din 2021, Subiectul I, exercițiul 3: ecuația $3^{x + 2} + 3^{x} = 30$ are o sumă de puteri, deci pasul 3 desface prima putere cu regula produsului și scoate factorul comun; baremul probei scrie $3^{x} (3^{2} + 1) = 30 \Leftrightarrow 3^{x} = 3$ (3 puncte), apoi $x = 1$ (2 puncte).
Simularea din 2023, Subiectul I, exercițiul 3: ecuația $7^{x + 3} = 4 9^{x}$ are bazele 7 și 49, deci pasul 2 scrie $49 = 7^{2}$ ; baremul probei scrie $7^{x + 3} = 7^{2 x}$ , de unde $x + 3 = 2 x$ (3 puncte), apoi $x = 3$ (2 puncte).

Pe foaie scrie fiecare transformare pe un rând nou, ca să se vadă regula: în toate cele patru probe, rândul regulilor e primul. Forma cu bazele „pătrat al celeilalte” o exersezi la exercițiul 9, produsul cu mai multe baze la exercițiul 10, iar suma de puteri la exercițiul 11.

Greșeli care costă puncte

Aduni exponenții la puterea unei puteri: la 2018-iunie scrii pentru $9^{x}$ exponentul $2 + x$ în loc de $2 x$ și, după ce simplifici $x$ , rămâne egalitatea imposibilă dintre 1 și 2, deci ecuația pare fără soluții → cum o prinzi: puterea unei puteri înmulțește exponenții, iar pentru $x = 1$ ambele părți ale ecuației inițiale dau 9; trei din cele cinci puncte sunt tocmai pentru acest rând.
Contracți o sumă de puteri într-o putere: la 2021-model strângi suma celor două puteri într-o singură putere, cu exponentul $2 x + 2$ → cum o prinzi: pentru $x = 1$ stânga dă $27 + 3 = 30$ , iar dreapta dă $3^{4} = 81$ ; scoate factorul comun, ca în primul rând, de trei puncte, al probei din 2021.
Iei exponentul drept factor: $2^{0, 8} = 2 \cdot 0, 8 = 1, 6$ → cum o prinzi: la un exponent cunoscut regula pică, fiindcă $2^{0, 5} = 2 \approx 1, 41$ , nu $2 \cdot 0, 5 = 1$ .
Pierzi minusul din exponent: la Exemplul 2 obții 224 de minute în loc de 36 → cum o prinzi: controlezi sensul, turație mai mare înseamnă durabilitate mai mică.
Citești zecimalele unei ore drept minute: la Exemplul 3, 3,79 ore devin „3 h 79 min” → cum o prinzi: înmulțești 0,79 cu 60 și obții 47 de minute.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: aplicarea proprietăților puterilor cu exponent real ale unui număr pozitiv face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a X-a), deși programa nouă a clasei a X-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 7 probe, la Subiectul I. În programa Bacalaureatului din 2030 tema reapare, parțial, în unitatea XI.1 (calcul numeric și algebric aplicat) la profilul MAT_P3.

Întrebări frecvente

De ce fiecare dublare a vitezei înmulțește coeficientul cu același număr? Fiindcă puterea unui produs se desface: $(2 v)^{0, 8} = 2^{0, 8} \cdot v^{0, 8}$ . Oricare ar fi viteza de pornire, dublarea adaugă factorul $2^{0, 8} \approx 1, 741$ . Tabelul o arată și de la 0,5 la 1 m/s: $4200 : 2412 \approx 1, 741$ . De aceea tehnicianul nu are nevoie de o valoare nouă pentru fiecare viteză.

Cu cât scade coeficientul dacă viteza coboară de la 2 m/s la 0,5 m/s? Viteza se împarte la 4, deci coeficientul se înmulțește cu $0, 2 5^{0, 8} = 4^{- 0, 8} = 2^{- 1, 6}$ . Din caiet, $2^{1, 6} \approx 3, 0314$ , deci coeficientul devine $7313 : 3, 0314 \approx 2412$ W/(m²·K), cât arată tabelul la 0,5 m/s. Scade de aproximativ trei ori, nu de patru ori, cât s-a micșorat viteza.

Poate tehnicianul afla din caiet coeficientul la 1,5 m/s? Nu numai cu regulile. $1, 5^{0, 8} = 3^{0, 8} : 2^{0, 8}$ , iar $3^{0, 8}$ nu se scrie cu puteri ale lui 2, deci valoarea din caiet nu ajunge. Regulile mută o putere dintr-o formă în alta, dar nu calculează orice putere; la 1,5 m/s tabelul dă direct 5 809 W/(m²·K), de 1,383 ori cât la 1 m/s.

Merge puterea 0,8 la orice viteză a apei? Nu. Fișa schimbătorului o dă numai pentru curgere turbulentă, când apa se amestecă puternic în țeavă. La viteze foarte mici apa curge în straturi, iar coeficientul nu mai urmează puterea 0,8. De aceea tehnicianul folosește regula numai între vitezele încercate pe circuitul de probă, de la 0,5 la 4 m/s.

În ce sesiuni au fost necesare regulile puterilor la Bacalaureatul M3? În 7 probe din 2013–2026: la simulările din 2017, 2019 și 2023, la modelele din 2019 și 2021 și la două sesiuni din 2018, cea din iunie și cea specială. Doar cele două din 2018 au fost sesiuni de examen; celelalte cinci au fost modele sau simulări. Niciuna nu a avut exponent irațional.