Lecția pe scurt · clasa a X-a · Radicali de ordin 2 și 3

Cum scriu latura unui pătrat de arie 539 m²?

Latura este $539$ m. Cauți în 539 un pătrat perfect: $539 = 49 \cdot 11$ , deci $539 = 711$ m, adică aproximativ 23,22 m. Din radical iese rădăcina pătratului găsit, adică 7, nu pătratul, 49, iar factorul 11 rămâne sub semn, fiindcă nu are pereche. Alegi pătratul perfect cel mai mare care se împarte exact. Proba: $(711)^{2} = 49 \cdot 11 = 539$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Un radical ajunge la forma simplă când numărul de sub semn nu mai conține factori dubli. La ordinul 2 cauți perechi de factori egali, adică pătrate perfecte, iar din radical iese rădăcina lor: $a^{2} b = a b$ . La ordinul 3 cauți grupe de câte trei factori egali, iar din radical iese baza cubului. Factorul care rămâne fără grupă rămâne sub semn.

Pornești de la descompunerea în factori primi, împărțind pe rând la 2, 3, 5 și 7. Scoți câte un factor din fiecare grupă și îl înmulțești cu coeficientul de dinaintea radicalului. Apoi aduni sau scazi doar radicalii asemenea, cei cu același număr sub semn. Un produs de radicali se face în două părți: coeficienții se înmulțesc separat, numerele de sub semn separat, iar pe rezultat repeți scoaterea factorilor.

Cea mai frecventă greșeală este să scoți pătratul în loc de rădăcina lui, ca atunci când scrii $362$ pentru $72$ . Alta este să aduni numerele de sub radical, $a + b = a + b$ . Controlezi ridicând rezultatul la pătrat, sau la cub la ordinul 3, și regăsind numărul de sub semn.

Radicalii apar când cunoști o arie sau un volum și cauți o lungime: latura unei parcele pătrate, muchia unui rezervor cubic, diagonala unui panou. Forma simplificată te ajută să aproximezi lungimea cu valorile de pe caiet.

De reținut

$a^{2} b = a b$ , pentru $a, b \geq 0$
$3 a^{3} b = a 3 b$
aduni radicalii doar după ce au același număr sub semn

Greșeala tipică

Se scoate pătratul în loc de rădăcina lui, de exemplu $362$ pentru $72$ . Corect este $62$ , fiindcă $6^{2} \cdot 2 = 72$ .

Exerciții din această mini-lecție

Terasa pătrată a unui restaurant are aria de 175 m². Care este lungimea laturii ei, în metri, în forma cea mai simplă?
- a) $257$
- b) $5$
- c) $57$
- d) $5 + 7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $57$

Latura este $175$ . Cum $175 = 25 \cdot 7 = 5^{2} \cdot 7$ , din radical iese 5 și rămâne $7$ : $57$ m. Varianta $257$ scoate pătratul în loc de rădăcina lui. Varianta 5 uită factorul 7 rămas sub radical. Varianta $5 + 7$ adună în loc să înmulțească cei doi factori.
Un bloc de săpun cubic are volumul de 432 cm³. Care este lungimea muchiei lui, în centimetri, în forma cea mai simplă?
- a) $632$
- b) $1233$
- c) $21632$
- d) $62$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $632$

Muchia este $3432$ . Cum $432 = 216 \cdot 2 = 6^{3} \cdot 2$ , din radical iese 6: $632$ cm. Varianta $1233$ aplică regula pătratelor, $432 = 1 2^{2} \cdot 3$ , care la ordinul 3 nu scoate nimic corect. Varianta $21632$ scoate cubul, nu baza lui. Varianta $62$ schimbă ordinul radicalului rămas.
Un electrician unește două bucăți de cablu, de $200$ cm și de $50$ cm. Care este lungimea totală, în centimetri, în forma cea mai simplă?
- a) $510$
- b) $100$
- c) $52$
- d) $152$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $152$

Scoți factorii: $200 = 102$ și $50 = 52$ . Radicalii sunt asemenea, deci coeficienții se adună: $152$ cm. Varianta $510$ adună numerele de sub radical, $200 + 50 = 250$ . Varianta 100 înmulțește radicalii în loc să-i adune. Varianta $52$ este diferența lor.

Întrebări conexe

Când dispare radicalul după simplificare?

Dispare când numărul de sub semn este pătrat perfect, fiindcă nu rămâne niciun factor fără pereche: $169 = 1 3^{2} = 13$ . Dacă rămâne un factor, radicalul rămâne, ca în $245 = 49 \cdot 5 = 75$ . La ordinul 3 dispare doar pentru cuburi perfecte.

Când folosesc radicalul de ordin 3 în loc de cel de ordin 2?

Când cauți muchia unui cub din volumul lui, fiindcă volumul are muchia la puterea a treia. Un rezervor cubic de 5 000 L, adică 5 m³, are muchia $35 \approx 1, 71$ m, iar o placă pătrată de 5 m² are latura $5 \approx 2, 24$ m. Același număr dă rezultate diferite.

Cum aproximez latura cu valorile de pe caiet?

Simplifici întâi, apoi înlocuiești radicalul rămas. $200 = 102 \approx 10 \cdot 1, 41421 = 14, 14$ m. Cu $2 \approx 1, 4$ ai obține 14,0 m, adică 14 cm mai puțin, așa că păstrezi valoarea cu cinci zecimale și rotunjești o singură dată.

Cum verific forma simplificată a unui radical?

Înmulțești forma simplificată cu ea însăși, de două ori la ordinul 2 sau de trei ori la ordinul 3, și regăsești numărul de sub radical. $(65)^{2} = 36 \cdot 5 = 180$ , deci $180 = 65$ . Valorile aproximative coincid și ele: 13,416 de ambele părți.

De ce radicalul din a+b nu este suma radicalilor?

Radicalul se împarte la produs, nu la adunare. $9 + 16 = 25 = 5$ , dar $9 + 16 = 3 + 4 = 7$ . Regula $ab = a \cdot b$ merge numai când între numere este înmulțire, iar la adunare nu există o regulă asemănătoare.

Cum descompun un număr mare de sub radical?

Încerci succesiv divizorii mici, 2, apoi 3, 5 și 7, și grupezi factorii egali. De exemplu $1764 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 7^{2}$ , deci $1764 = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$ . La ordinul 3 grupezi câte trei factori egali.

A apărut scoaterea factorilor în probele oficiale?

Scoaterea factorilor a apărut în 22 de probe M_tehnologic din 2013–2026, în Subiectul I. De exemplu, la $75 - 227 + 12 = 3$ scrii $53 - 63 + 23$ , iar coeficienții dau $5 - 6 + 2 = 1$ , adică rezultatul cerut, $3$ .

Oamenii mai întreabă și: radical simplificat din arie · latura unui pătrat din arie, cu radical · forma cea mai simplă a unui radical · radical de ordin 2 și 3 la tehnologic