Factori de sub radical, ordin 2 și 3: tehnologic

Fermierul care trasează o parcelă pătrată de 338 m² are nevoie de latura ei, iar latura este un radical. Cum aduci un radical la forma cea mai simplă, scoțând factorii de sub semn la ordinul 2 și la ordinul 3, înveți în clasa a X-a tehnologică. Radicalii au fost tema unei cerințe din Subiectul I în 22 dintre probele oficiale de Bacalaureat M3 (M_tehnologic), scrise între 2013 și 2026.

Situația de pornire

Un fermier de legume are contract cu o firmă de semințe pentru trei loturi demonstrative, câte o parcelă pentru fiecare cultură. Firma a stabilit aria fiecărei parcele după numărul de răsaduri livrate și cere parcele pătrate, ca recolta pe metru pătrat să se compare între soiuri. Fișa loturilor dă numai aria, în metri pătrați. Fermierul trasează parcelele cu țăruși și cu ruleta: bate țărușii la colțuri, apoi verifică unghiurile drepte măsurând diagonalele, care la un pătrat sunt egale și au o lungime pe care o poate calcula dinainte. O parcelă trasată greșit strică o comparație de un an întreg, așa că vrea cotele exacte înainte să iasă pe teren. În caiet a trecut trei valori: $\sqrt{2}\approx 1,41421$, $\sqrt{3}\approx 1,73205$ și $\sqrt{7}\approx 2,64575$.

Întrebare: cât trebuie să arate ruleta, la centimetru, pe latura și pe diagonala fiecărei parcele?

De la situație la model

Aria unui pătrat este latura la pătrat, deci latura este numărul pozitiv care, ridicat la pătrat, dă aria. Tabelul traduce parcelele în limbajul radicalilor.

Un radical de ordin 2 al numărului $a\ge 0$, scris $\sqrt{a}$, este numărul pozitiv sau zero al cărui pătrat este $a$. Forma cea mai simplă a unui radical e cea în care sub semn nu mai rămâne niciun factor care se repetă de două ori. Doi radicali sunt asemenea când au aceeași formă simplă sub semn, ca $13\sqrt{2}$ și $44\sqrt{2}$: coeficienții lor se adună sau se scad, ca la „$13$ metri și $44$ de metri”. Radicalul $\sqrt{338}$ are exact aceeași valoare ca $13\sqrt{2}$, dar numai a doua scriere îți arată ce valoare din caiet să folosești; valorile aproximative le obții ca în lecția despre aproximările prin lipsă și prin adaos.

De ce iese 13 în fața radicalului?

Când un număr de sub radical se scrie $a^2\cdot b$, cu $a\ge 0$ și $b\ge 0$, radicalul unui produs este produsul radicalilor, iar $\sqrt{a^2}=a$. Deci $\sqrt{13^2\cdot 2}=13\sqrt{2}$. Controlezi ridicând la pătrat: $(13\sqrt{2}{)}^2=169\cdot 2=338$, exact numărul de sub radical. În $338=2\cdot 13\cdot 13$, cei doi de 13 dau împreună $13^2$, care sub radical devine 13, iar factorul 2 nu are cu cine forma un pătrat și rămâne sub semn. Factorii care se repetă sunt puteri, iar regulile lor, $13\cdot 13=13^2$, le găsești în reguli pentru puteri reale.

Ce se schimbă la radicalul de ordin 3?

Un radical de ordin 3, $\sqrt[3]{a}$, este numărul al cărui cub este $a$. Spre deosebire de ordinul 2, el există pentru orice număr real: $\sqrt[3]{-8}=-2$, fiindcă $(-2{)}^3=-8$. Mecanismul rămâne același, dar grupele sunt de câte trei factori egali: $189=3\cdot 3\cdot 3\cdot 7$, deci $\sqrt[3]{189}=3\sqrt[3]{7}$. O grupă de doi factori egali nu iese de sub radicalul de ordin 3. Ordinul 3 apare în meserii la volume: dacă două obiecte au aceeași formă, iar volumul unuia e de $k^3$ ori cât al celuilalt, toate lungimile lui sunt de $k$ ori mai mari.

Când poți aduna doi radicali?

Numai când sunt asemenea, iar asta se vede abia după ce ai scos factorii: $\sqrt{612}$ și $\sqrt{272}$ par fără legătură, dar sunt $6\sqrt{17}$ și $4\sqrt{17}$, deci diferența lor este $2\sqrt{17}$. La produs, înmulțești coeficienții între ei și numerele de sub radical între ele: $9\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{2}=36\cdot 2=72$, iar dacă rezultatul are factori care se repetă, îi scoți din nou.

Metoda pas cu pas

1. Descompune numărul de sub radical în factori primi și caută factorii care se repetă: de două ori la ordinul 2, de trei ori la ordinul 3. Pentru 338 obții $2\cdot 13^2$, iar pentru 189 obții $3^3\cdot 7$. Un factor prim care apare o singură dată rămâne sub radical; la ordinul 3 verifici dacă un factor apare de trei ori. Dacă numărul e mare, începi împărțind la 2, apoi la 3, la 5 și la 7, până când câtul nu se mai împarte exact.
2. Scoate câte un factor din fiecare grupă și înmulțește-l cu coeficientul care era deja în fața radicalului: $\sqrt{338}=13\sqrt{2}$, iar $5\sqrt{18}=5\cdot 3\sqrt{2}=15\sqrt{2}$. Ce rămâne sub radical nu mai are grupe complete; de aceea forma obținută se numește cea mai simplă. La ordinul 3, semnul din fața numărului rămâne la rezultat.
3. Combină radicalii asemenea: adună sau scade coeficienții și păstrează radicalul, ca la $6\sqrt{17}-4\sqrt{17}=2\sqrt{17}$. Radicalii diferiți nu se combină; îi înlocuiești, pe rând, cu valorile din caiet. La un produs, înmulțește coeficienții între ei și numerele de sub radical între ele, apoi reia pașii 1 și 2 pe rezultat. Dacă ai paranteze, le desfaci întâi, iar abia apoi aduni radicalii asemenea.
4. Verifică pe alt drum: ridică rezultatul la pătrat (la cub, la ordinul 3) și regăsește numărul de sub radical, sau compară valorile aproximative înainte și după simplificare. Scrie unitatea, controlează ordinul de mărime și rotunjește o singură dată, la precizia pe care o cere problema. Când radicalul apare într-o ecuație, vezi ecuațiile cu radicali și verificarea soluțiilor.

Fișa de buzunar

$$\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}(a\ge 0,b\ge 0)$$

$$\sqrt[3]{a^{3}b}=a\sqrt[3]{b}(a,b\in \mathbb{R})$$

Cele patru reguli sunt cele din Metodă, scrise pe scurt. Se aplică cu semnele din paranteză: la ordinul 2, $a$ și $b$ nu pot fi negative, iar la ordinul 3 nu există nicio restricție de semn. Mai întâi scoți factorii din fiecare radical, apoi aduni sau scazi, apoi aproximezi. Verificare rapidă: ridici rezultatul la pătrat sau la cub și regăsești numărul de sub radical.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Trasarea celor trei parcele

Domeniu: agricol.

Enunț. Reia parcelele din situația de pornire: ariile sunt 338 m², 363 m² și 448 m², iar fermierul folosește $\sqrt{2}\approx 1,41421$, $\sqrt{3}\approx 1,73205$ și $\sqrt{7}\approx 2,64575$. Cât măsoară latura și diagonala fiecărei parcele, în forma cea mai simplă și la centimetru?

Rezolvare. În fiecare arie cauți pătratul unui număr întreg la care ea se împarte exact: 338 la 169, 363 la 121 și 448 la 64, cu câturile 2, 3 și 7. Descompui deci ariile: $338=2\cdot 13^2$, $363=3\cdot 11^2$ și $448=7\cdot 8^2$. Laturile sunt $\sqrt{338}=13\sqrt{2}$ m, $\sqrt{363}=11\sqrt{3}$ m și $\sqrt{448}=8\sqrt{7}$ m, adică 18,38 m, 19,05 m și 21,17 m, la centimetru. Diagonala închide, cu două laturi alăturate, un triunghi dreptunghic isoscel, deci are de $\sqrt{2}$ ori lungimea laturii: $13\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=26$ m, $11\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=11\sqrt{6}$ m și $8\sqrt{7}\cdot \sqrt{2}=8\sqrt{14}$ m. Ultimele două le afli înmulțind laturile cu $\sqrt{2}\approx 1,41421$: aproximativ 26,94 m și 29,93 m. La parcela A, ruleta trebuie să arate pe diagonală exact 26 m; dacă arată 26,12 m pe o diagonală și 25,88 m pe cealaltă, colțurile nu sunt drepte, iar fermierul mută țărușii până când ambele diagonale ajung la 26 m.

Capcană. Cine scoate pătratul în loc de rădăcina lui scrie $\sqrt{338}=169\sqrt{2}$ și obține o latură de aproape 239 m. O astfel de parcelă ar avea peste 57 000 m², nu 338 m².

Verificare. Pe alt drum, cu Pitagora: pătratul diagonalei este suma pătratelor a două laturi, adică dublul ariei. La A, $26^2=676=2\cdot 338$; la B, $(11\sqrt{6}{)}^2=726=2\cdot 363$; la C, $(8\sqrt{14}{)}^2=896=2\cdot 448$. Iar laturile, ridicate la pătrat, dau înapoi ariile: $(13\sqrt{2}{)}^2=338$, $(11\sqrt{3}{)}^2=363$ și $(8\sqrt{7}{)}^2=448$.

Exemplul 2 — De la reactorul-pilot la cel industrial

Domeniu: chimie.

Enunț. Un laborator a pus la punct un amestec într-un reactor-pilot de 8 L, înalt de 46 cm. Pentru producție se construiește un reactor industrial de 1 512 L, geometric asemenea cu cel pilot: toate lungimile lui sunt de $k$ ori mai mari, iar volumul de $k^3$ ori mai mare. a) Află $k$ în forma cea mai simplă. b) Ce înălțime are reactorul industrial?

Rezolvare. a) Raportul volumelor este $1512:8=189$, deci $k^3=189$ și $k=\sqrt[3]{189}$. Descompui $189=3^3\cdot 7$, o grupă de trei factori egali, așa că $k=3\sqrt[3]{7}$. Cu $\sqrt[3]{7}\approx 1,9129$ iese $k\approx 5,74$. b) Fiecare lungime a reactorului industrial, înălțimea ca și diametrul, se obține din cea a reactorului-pilot înmulțită cu $k$. Înălțimea este $46\cdot 3\sqrt[3]{7}=138\sqrt[3]{7}\approx 264,0$ cm, adică aproape 2,64 m.

Capcană. Cine caută un pătrat perfect în 189, ca la ordinul 2, scrie $189=9\cdot 21$ și scoate 3: $\sqrt[3]{189}=3\sqrt[3]{21}$. Ar ieși $k\approx 8,28$ și un reactor de aproape 3,8 m, mult peste ce cere volumul.

Verificare. Ridici la cub: $(3\sqrt[3]{7}{)}^3=27\cdot 7=189$, deci $8\cdot 189=1512$ L, volumul cerut. La varianta greșită, $(3\sqrt[3]{21}{)}^3=27\cdot 21=567$, nu 189.

Exemplul 3 — Tensiunea maximă pe un rezistor

Domeniu: electric.

Enunț. Un tehnician electronist repară placa unui încărcător de baterii. Pe o linie a plăcii, un rezistor de 4,7 kΩ, cu puterea nominală de 0,25 W, ar trebui să stea la 36 V. Tensiunea cea mai mare pe care o suportă rezistorul, fără să depășească puterea nominală, este $U=\sqrt{P\cdot R}$, cu $P$ în W și $R$ în Ω. Poate sta rezistorul la 36 V?

Rezolvare. Treci întâi kΩ în Ω: 4,7 kΩ = 4700 Ω. Apoi $P\cdot R=0,25\cdot 4700=1175=5^2\cdot 47$, deci $U=5\sqrt{47}$ V. Numărul 47 e prim, așa că sub radical nu mai rămâne nimic de scos. Din $6^2=36<47<49=7^2$ rezultă $6<\sqrt{47}<7$, iar cu $\sqrt{47}\approx 6,856$ obții $U\approx 34,3$ V. Ca să compari cu 36 V, introduci factorul înapoi: $5\sqrt{47}=\sqrt{1175}$ și $36=\sqrt{1296}$, iar $1175<1296$. Rezistorul nu poate sta la 36 V.

Capcană. Cine uită să treacă kΩ în Ω ia $R=4,7$ și obține $P\cdot R=1,175$, apoi $U=\sqrt{1,175}\approx 1,08$ V. Ar ieși că rezistorul nu poate lucra nici la 5 V, deși la 5 V e departe de limită.

Verificare. Pe alt drum, din putere: la 36 V rezistorul ar disipa $\frac{36^2}{4700}\approx 0,276$ W, peste 0,25 W. La 34,3 V, puterea este $\frac{34,3^2}{4700}\approx 0,250$ W, exact cât suportă.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: o egalitate cu radicali de arătat

Domeniu: lemn.

Enunț. În probele oficiale 2013–2026, prima cerință a Subiectului I a cerut de 20 de ori să arăți rezultatul unui calcul cu radicali. Iată o cerință de același fel, cu numere schimbate: „Arătați că $(2+\sqrt{12}{)}^2-8\sqrt{3}=16$.” Numerele pot fi, de pildă, lungimi în decimetri ale unor șipci de ramă.

Rezolvare. Pornești din membrul stâng. Scoți factorul din radical: $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$, deci paranteza este $2+2\sqrt{3}$. Ridici la pătrat: $(2+2\sqrt{3}{)}^2=4+8\sqrt{3}+12=16+8\sqrt{3}$. Scazi $8\sqrt{3}$ și rămâne 16, valoarea din dreapta. Pe lucrare scrii câte o transformare pe rând, cu regula ei la vedere.

Capcană. Cine ridică la pătrat fiecare termen separat scrie $(2+\sqrt{12}{)}^2=4+12=16$ și pierde termenul de mijloc. Rămâne atunci $16-8\sqrt{3}\approx 2,14$, nu 16.

Verificare. Pe alt drum, cu valori aproximative: $2+\sqrt{12}\approx 5,4641$, pătratul lui este $\approx 29,8564$, iar $8\sqrt{3}\approx 13,8564$. Diferența dă 16,0000.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Scrie în forma cea mai simplă: a) $\sqrt{867}$; b) $\sqrt{1083}$; c) $\sqrt[3]{704}$; d) $\sqrt[3]{-375}$.

2. Calculează și scrie în forma cea mai simplă: a) $5\sqrt{243}-2\sqrt{108}$; b) $\sqrt{722}-\sqrt{392}$; c) $\sqrt{6}\cdot \sqrt{42}$; d) $2\sqrt[3]{24}\cdot \sqrt[3]{18}$.

3. Introdu factorii sub radical și compară numerele $4\sqrt{13}$ și $3\sqrt{19}$.

4. Încadrează între doi întregi consecutivi: a) $\sqrt{611}$; b) $\sqrt[3]{704}$.

Nivelul 2 — situații

5. Taluzul unui dig de pământ coboară 6 m pe o distanță orizontală de 12 m. Apa de ploaie de pe creasta digului ajunge la piciorul taluzului printr-o conductă pozată pe pantă. a) Află lungimea conductei, în forma cea mai simplă. b) Conducta se face din tuburi de 3 m. Câte tuburi trebuie?

6. Un expert auto estimează viteza unui autoturism de dinaintea frânării din lungimea urmei de frânare, cu formula $v=\sqrt{2ad}$, unde $v$ este în m/s, $d$ în metri, iar decelerația pe asfalt uscat este $a=7$ m/s² (valoare din exemplu). Urma măsoară 28 m. a) Scrie viteza în forma cea mai simplă. b) Depășea autoturismul 72 km/h, adică 20 m/s?

7. La o fermă de crap, starea peștilor se urmărește cu factorul de condiție $K=\frac{100m}{L^3}$, cu masa $m$ în grame și lungimea $L$ în centimetri. Pentru lotul din bazinul 3, crescătorul lucrează cu $K=2$ (valoare din exemplu) și cântărește peștii, ca să aleagă grătarul de sortare după lungime. a) Ce lungime are un crap de 135 g, în forma cea mai simplă? b) Ce masă are, la același factor, un crap lung de $15\sqrt[3]{4}$ cm?

8. Peretele lung al unei hale metalice are trei panouri pătrate cu latura de 4 m și două panouri pătrate cu latura de 6 m. Fiecare panou primește o contravântuire din oțel rotund, pe una dintre diagonale. Ce lungime de oțel rotund trebuie pentru toate contravântuirile, în forma exactă și rotunjită în sus la metru?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Arătați că $6(5-\sqrt{11})+6\sqrt{11}=30$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Arătați că numărul $a=3(\sqrt{20}-2)-\sqrt{180}+9$ este natural.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Arătați că $(\sqrt{18}+1)(3\sqrt{2}-1)-\sqrt{49}=10$.

12. (Sinteză.) La trasarea fundației dreptunghiulare a unui depozit de legume, de 15 m pe 30 m, echipa întinde câte o sârmă pe fiecare diagonală, între țărușii de colț, ca să verifice unghiurile drepte. a) Arătați că lungimea unei diagonale este între 33 m și 34 m. b) Determinați cel mai mic număr natural de metri de sârmă din care se pot tăia ambele diagonale.

Răspunsuri și verificări

1. a) $\sqrt{867}=\sqrt{17^2\cdot 3}=17\sqrt{3}$; b) $\sqrt{1083}=19\sqrt{3}$; c) $\sqrt[3]{704}=\sqrt[3]{4^3\cdot 11}=4\sqrt[3]{11}$; d) $\sqrt[3]{-375}=-5\sqrt[3]{3}$, fiindcă $375=5^3\cdot 3$. Verificare: $17^2\cdot 3=867$, $19^2\cdot 3=1083$, $4^3\cdot 11=704$ și $(-5{)}^3\cdot 3=-375$.

2. a) $243=3^5$, deci $\sqrt{243}=9\sqrt{3}$, iar $108=6^2\cdot 3$ dă $6\sqrt{3}$: $5\cdot 9\sqrt{3}-2\cdot 6\sqrt{3}=33\sqrt{3}$. b) $19\sqrt{2}-14\sqrt{2}=5\sqrt{2}$. c) $\sqrt{252}=6\sqrt{7}$. d) $2\sqrt[3]{432}=2\cdot 6\sqrt[3]{2}=12\sqrt[3]{2}$. Verificare: la b), $26,87-19,80=7,07$ și $5\sqrt{2}\approx 7,07$.

3. $4\sqrt{13}=\sqrt{16\cdot 13}=\sqrt{208}$, iar $3\sqrt{19}=\sqrt{9\cdot 19}=\sqrt{171}$. Cum $208>171$, rezultă $4\sqrt{13}>3\sqrt{19}$. Verificare: $4\cdot 3,606\approx 14,42$ și $3\cdot 4,359\approx 13,08$.

4. a) $24^2=576<611<625=25^2$, deci $24<\sqrt{611}<25$. b) $8^3=512<704<729=9^3$, deci $8<\sqrt[3]{704}<9$. Verificare: $4\sqrt[3]{11}\approx 8,90$, între 8 și 9.

5. a) Conducta este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele de 12 m și 6 m, deci lungimea ei este $\sqrt{12^2+6^2}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$ m. b) $6\sqrt{5}\approx 13,42$ m, iar $13,42:3\approx 4,47$, deci trebuie 5 tuburi. Verificare: $(6\sqrt{5}{)}^2=180=144+36$, iar 4 tuburi ar da doar 12 m, sub 13,42 m.

6. a) $v=\sqrt{2\cdot 7\cdot 28}=\sqrt{392}=\sqrt{196\cdot 2}=14\sqrt{2}$ m/s, adică aproximativ 19,80 m/s. b) $14\sqrt{2}=\sqrt{392}$ și $20=\sqrt{400}$, iar $392<400$: viteza era sub 72 km/h. Verificare: $19,80\cdot 3,6\approx 71,3$ km/h, sub 72 km/h.

7. a) Din $K=\frac{100m}{L^3}$ rezultă $L^3=\frac{100\cdot 135}{2}=6750=15^3\cdot 2$, deci $L=\sqrt[3]{6750}=15\sqrt[3]{2}$ cm, aproximativ 18,90 cm. b) $L^3=15^3\cdot 4=13500$, deci $m=\frac{2\cdot 13500}{100}=270$ g, de două ori mai mult, deși lungimea a crescut doar de $\sqrt[3]{2}\approx 1,26$ ori. Verificare: $(15\sqrt[3]{2}{)}^3=3375\cdot 2=6750$ și $\frac{100\cdot 135}{6750}=2$.

8. Diagonalele sunt $\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$ m și $\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ m, radicali asemenea. Toate cinci au $3\cdot 4\sqrt{2}+2\cdot 6\sqrt{2}=24\sqrt{2}\approx 33,94$ m, deci 34 m de oțel rotund. Verificare: $3\cdot 5,657+2\cdot 8,485\approx 33,94$ m.

9. Desfaci paranteza: $6(5-\sqrt{11})=30-6\sqrt{11}$. Aduni $6\sqrt{11}$: $30-6\sqrt{11}+6\sqrt{11}=30$. Verificare: cu $\sqrt{11}\approx 3,3166$, $6\cdot 1,6834+19,8997\approx 30,00$.

10. Scoți factorii: $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ și $\sqrt{180}=\sqrt{36\cdot 5}=6\sqrt{5}$. Atunci $a=3(2\sqrt{5}-2)-6\sqrt{5}+9=6\sqrt{5}-6-6\sqrt{5}+9=3$, un număr natural. Verificare: $3\cdot (4,4721-2)-13,4164+9\approx 3,00$.

11. Scoți factorul: $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$, deci primul factor este $3\sqrt{2}+1$. Produsul $(3\sqrt{2}+1)(3\sqrt{2}-1)=18-1=17$, iar $\sqrt{49}=7$. Rămâne $17-7=10$. Verificare: $5,2426\cdot 3,2426\approx 17,00$.

12. a) O diagonală are $\sqrt{15^2+30^2}=\sqrt{1125}$ m. Cum $33^2=1089<1125<1156=34^2$, rezultă $33<\sqrt{1125}<34$. Cum $1125=5\cdot 15^2$, o diagonală este $15\sqrt{5}$ m, iar două diagonale au $30\sqrt{5}=\sqrt{4500}$ m. b) Din $67^2=4489<4500<4624=68^2$ rezultă $67<30\sqrt{5}<68$, deci cel mai mic număr natural este 68 m. Verificare: $30\cdot 2,23607\approx 67,08$, iar 67 m de sârmă n-ar ajunge.

Așa vine la Bac M3

În probele oficiale 2013–2026, radicalii au fost tema unei cerințe în 22 din cele 83 de probe: 20 de cerințe „Arătați că…”, la cerința 1 din Subiectul I (18 egalități, un număr de arătat natural și unul de arătat pătrat perfect), și două cerințe de probabilitate, la cerința 4, în care $\sqrt{n}$ trebuia să fie număr natural. Toți radicalii din aceste cerințe sunt de ordin 2; indexul cerințelor nu are niciun radical de ordin 3. În 5 dintre aceste 20 de cerințe, un radical din enunț nu e în forma cea mai simplă: $\sqrt{8}$ de două ori, $\sqrt{20}$, $\sqrt{27}$ de două ori și $\sqrt{36}$. Patru cerințe reale, din probe diferite, arată forme diferite:

• August 2013, Subiectul I, exercițiul 1: egalitatea $3(4-\sqrt{3})+3\sqrt{3}=12$ cere să desfaci o paranteză și să reduci doi radicali opuși, deci pasul 3 din Metodă combină radicalii asemenea; baremul probei acordă 2 puncte pentru $3(4-\sqrt{3})=12-3\sqrt{3}$ și 3 puncte pentru $12-3\sqrt{3}+3\sqrt{3}=12$.
• Modelul din 2014, Subiectul I, exercițiul 1: numărul $3(4+\sqrt{3})-\sqrt{27}$ trebuie arătat natural, deci pasul 2 din Metodă scoate $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$; baremul probei acordă 2 puncte pentru $12+3\sqrt{3}$ și 3 puncte pentru $12+3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=12\in \mathbb{N}$.
• Simularea din 2019, Subiectul I, exercițiul 1: un pătrat de sumă și un radical de simplificat, $(1+\sqrt{5}{)}^2-\sqrt{20}=6$, deci pasul 2 din Metodă scoate $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$; baremul probei acordă 3 puncte pentru pătratul $6+2\sqrt{5}$ și 2 puncte pentru $6+2\sqrt{5}-2\sqrt{5}=6$.
• Modelul din 2022, Subiectul I, exercițiul 1: două paranteze cu radicali, $(\sqrt{8}+1)\cdot (2\sqrt{2}-1)-\sqrt{36}=1$, deci pasul 2 din Metodă scoate $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ și $\sqrt{36}=6$; baremul probei acordă 3 puncte pentru $(2\sqrt{2}{)}^2-1-6$ și 2 puncte pentru $8-7=1$.

Cea mai des întâlnită formă, cu un singur radical liber de pătrate în enunț și fără fracție, a venit în 11 probe: un număr sau un radical înmulțit cu o paranteză care conține același radical, redusă prin desfacerea parantezei. O exersezi la exercițiul 9. Din 2022 încoace, cele patru probe cu această temă au avut două egalități cu $\sqrt{2}$ înmulțit cu o paranteză, una cu scoaterea factorilor și o probabilitate. Exercițiile 10 și 11 repetă formele cu radicali de scos, iar la exercițiul 12 cauți cel mai mic număr natural care acoperă o lungime. Pentru celelalte teme ale clasei a X-a deschide traseul clasei, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

• Scoți pătratul, nu rădăcina lui: din $\sqrt{867}$ scrii $289\sqrt{3}$ → cum o prinzi: ridici la pătrat, $289^2\cdot 3=250563$, nu 867; estimarea spune că $\sqrt{867}$ e puțin peste 29, nu peste 500.
• Aplici la ordinul 3 regula pătratelor: din $\sqrt[3]{704}$ scoți 2, fiindcă $4=2^2$ și $704=4\cdot 176$, și scrii $2\sqrt[3]{176}$ → cum o prinzi: la cub, $8\cdot 176=1408$, nu 704; la ordinul 3 cauți grupe de trei factori egali, iar $704=2^6\cdot 11$ dă $4\sqrt[3]{11}$.
• Refuzi să aduni radicalii înainte să-i simplifici: spui că $\sqrt{722}-\sqrt{392}$ nu se poate calcula, fiindcă numerele de sub radical diferă → cum o prinzi: scoți factorii, $19\sqrt{2}-14\sqrt{2}=5\sqrt{2}$, și compari cu valorile $26,87-19,80$.
• Înmulțești radicalii adunând numerele de sub ei: scrii diagonala parcelei B ca $11\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=11\sqrt{5}$ → cum o prinzi: ridici la pătrat, $(11\sqrt{5}{)}^2=605$, iar pătratul diagonalei trebuie să fie $2\cdot 363=726$; sub radical se înmulțesc numerele, $\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{6}$.
• Scrii doar rezultatul egalității, fără pașii în care radicalul se reduce: la modelul din 2022, rândul în care $\sqrt{8}$ devine $2\sqrt{2}$ și apare diferența de pătrate aducea trei din cele cinci puncte → cum o prinzi: pe lucrare, scoaterea factorului și diferența de pătrate apar fiecare pe rândul lor.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: scoaterea factorilor de sub radical face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a X-a), deși programa nouă a clasei a X-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 22 de probe, la Subiectul I. În programa Bacalaureatului din 2030 tema reapare, parțial, în unitatea XI.1 (calcul numeric și algebric aplicat) la profilul MAT_P3.

Întrebări frecvente

Care parcelă are latura mai lungă, A sau B, și cum afli fără calculator? Introduci factorii înapoi sub radical: $13\sqrt{2}=\sqrt{338}$ și $11\sqrt{3}=\sqrt{363}$. Cum $363>338$, parcela B are latura mai lungă: 19,05 m față de 18,38 m. Dacă ai compara doar coeficienții din față, 13 și 11, ai alege greșit parcela A.

Ce se schimbă la trasare dacă parcela C are 567 m², nu 448 m²? Descompui $567=7\cdot 9^2$, deci latura devine $9\sqrt{7}$ m, aproximativ 23,81 m, iar diagonala $9\sqrt{7}\cdot \sqrt{2}=9\sqrt{14}$ m, aproximativ 33,67 m. Sub radical rămâne tot 7, așa că latura și diagonala cresc amândouă în raportul coeficienților, $9:8$, față de parcela de 448 m².

De ce diagonala parcelei A iese un număr întreg, iar ale celorlalte două nu? Pătratul diagonalei unui pătrat este dublul ariei. La A, $2\cdot 338=676=26^2$ e pătrat perfect, deci diagonala are exact 26 m. La B, $2\cdot 363=726=11^2\cdot 6$, iar la C, $2\cdot 448=896=8^2\cdot 14$: sub radical rămân 6 și 14, care nu sunt pătrate perfecte.

Cu cât se micșorează parcela A dacă fermierul bate țărușii la 18 m, nu la 18,38 m? Pătratul cu latura de 18 m are $18^2=324$ m², cu 14 m² sub cei 338 din fișă, adică peste 4 % din lot. La centimetru, eroarea scade sub un metru pătrat: cu 18,38 m aria iese 337,8 m², iar cu 18,39 m, 338,2 m². De aceea latura se trasează la centimetru, nu la metru.

Cum au arătat, din 2022 încoace, cerințele cu radicali de la Bacalaureatul M3? Din 2022 încoace, cele patru probe au avut două egalități cu $\sqrt{2}$ înmulțit cu o paranteză, în 2024 și 2025, una cu produs de paranteze și radicali de scos, în 2022, și o probabilitate cu $\sqrt{n}$ natural, în 2023. Doar în 2022 enunțul a avut radicali care se reduc, $\sqrt{8}$ și $\sqrt{36}$.

Ce faci când sub radical rămâne un număr prim, ca 47 la rezistor? Nu mai ai ce scoate: $5\sqrt{47}$ este forma cea mai simplă. Valoarea o afli din încadrarea $6<\sqrt{47}<7$, fiindcă $36<47<49$, și de acolo $5\cdot 6<5\sqrt{47}<5\cdot 7$, deci tensiunea maximă e între 30 V și 35 V, cum arată și $34,3$ V.