Lecția pe scurt · clasa a X-a · Radicalul de ordin n

Cât face radicalul de ordinul 5 din −32?

Face $- 2$ , pentru că $(- 2)^{5} = - 32$ . La ordin impar, radicalul există din orice număr real și are semnul numărului de sub el, deci minusul se scoate în față: $5 - 32 = - 532 = - 2$ . La ordin par situația e alta: $4 - 16$ nu există în $R$ , fiindcă nicio putere a patra a unui număr real nu este negativă. Proba se face ridicând rezultatul la puterea egală cu ordinul.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — traseul tehnologic, clasa a X-a → ·

Radicalul de ordin $n$ al unui număr $a$ răspunde la întrebarea: ce număr, ridicat la puterea $n$ , dă $a$ ? Răspunsul depinde de paritatea ordinului.

Când ordinul e par, puterile nu ies niciodată negative, iar două numere opuse dau aceeași putere. De aceea radicalul se definește doar pentru $a \geq 0$ și se alege rezultatul nenegativ: $481 = 3$ , în timp ce $4 - 81$ nu există printre numerele reale.

Când ordinul e impar, puterea păstrează semnul, iar fiecare număr real provine dintr-un singur număr. Radicalul există pentru orice $a$ , iar minusul trece în față: $5 - 243 = - 3$ .

Două reguli despart cazurile. Prima: $n a^{n}$ este $∣ a ∣$ la ordin par și $a$ la ordin impar. A doua: produsul radicalilor de același ordin este radicalul produsului, la ordin impar pentru orice numere reale, la ordin par numai pentru numere nenegative. Când scoți factori de sub un radical de ordin impar, iese și semnul.

Funcția $f (x) = n x$ e definită pe $[0, + \infty)$ când $n$ e par, pe toată axa reală când $n$ e impar, și e strict crescătoare. Orice rezultat se controlează ridicându-l la puterea egală cu ordinul.

De reținut

ordin impar: există din orice număr real și păstrează semnul
ordin par: doar din numere $\geq 0$ , cu rezultat $\geq 0$
$n a^{n} = ∣ a ∣$ la $n$ par, $n a^{n} = a$ la $n$ impar

Greșeala tipică

Se declară că $5 - 32$ nu există, aplicând regula de la rădăcina pătrată; condiția „număr nenegativ” se pune doar la ordin par, iar aici rezultatul este $- 2$ .

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $5 - 243$ ?
- a) $3$
- b) $- 3$
- c) nu există în $R$
- d) $- 81$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 3$

Ordinul e impar, deci radicalul există și are semnul numărului: $(- 3)^{5} = - 243$ , așa că $5 - 243 = - 3$ .
Care dintre numerele de mai jos nu există în $R$ ?
- a) $5 - 1$
- b) $60$
- c) $4 - 81$
- d) $3 - 27$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $4 - 81$

Un radical de ordin par cere sub el un număr nenegativ, iar $- 81 < 0$ . Celelalte există: $5 - 1 = - 1$ , $60 = 0$ , $3 - 27 = - 3$ .
Pentru orice $x$ real, $8 x^{8}$ este egal cu:
- a) $x$
- b) $- x$
- c) $x^{8}$
- d) $∣ x ∣$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $∣ x ∣$

Ordinul e par, deci radicalul este nenegativ: $8 x^{8} = ∣ x ∣$ . De exemplu, pentru $x = - 1$ se obține $1$ , nu $- 1$ .

Întrebări conexe

De ce nu există radical de ordinul 4 din −81?

Pentru că orice număr real ridicat la puterea a patra dă un rezultat mai mare sau egal cu zero: și $3^{4}$ , și $(- 3)^{4}$ sunt egale cu $81$ . Niciun număr real nu are puterea a patra egală cu $- 81$ , deci expresia nu are sens în mulțimea numerelor reale.

Cum scot factorii de sub un radical de ordin impar cu minus?

Scoți întâi minusul, apoi descompui numărul în factori și grupezi puterile egale cu ordinul. De exemplu, $160 = 2^{5} \cdot 5$ , deci $5 - 160 = - 255$ . Proba se face invers, introducând factorul cu tot cu semn: $(- 2)^{5} \cdot 5 = - 32 \cdot 5 = - 160$ , exact numărul de la început.

Când este radicalul de ordin 6 din x la puterea 6 egal cu x?

Numai când $x \geq 0$ . Radicalul de ordin par nu poate fi negativ, deci $6 x^{6} = ∣ x ∣$ : pentru $x = - 2$ obții $664 = 2$ , nu $- 2$ . La ordin impar problema dispare: $7 x^{7} = x$ pentru orice $x$ real.

Ce domeniu are funcția radical de ordin 5?

Toată mulțimea numerelor reale, pentru că ordinul este impar. Funcția $f (x) = 5 x$ este strict crescătoare, trece prin origine și ia valori negative pentru $x < 0$ , de exemplu $f (- 1) = - 1$ . La ordin par, cum e $4 x$ , domeniul se reduce la $[0, + \infty)$ .

Pot înmulți doi radicali de ordin impar din numere negative?

Da. La ordin impar regula $n a \cdot n b = n ab$ e valabilă pentru orice numere reale, deci $3 - 2 \cdot 3 - 4 = 38 = 2$ . La ordin par regula cere factori nenegativi, altfel radicalii din membrul stâng nici nu există.

Oamenii mai întreabă și: radical de ordin 5 dintr-un număr negativ · radical de ordin impar din număr negativ · se poate extrage radical de ordin 5 din −32 · cât este radical din −32 de ordinul 5