Radicalul de ordin n dintr-un număr real (M2, științe ale naturii)

Într-un laborator, numărul de celule dintr-o cultură s-a înmulțit cu $243$ în cinci ore, cu același factor în fiecare oră. Care e factorul orar? Răspunsul este numărul care, înmulțit cu el însuși de cinci ori, dă $243$, adică radicalul de ordinul cinci din $243$, egal cu $3$. Dar ce număr, ridicat la puterea a cincea, dă $-243$? Și de ce nu există niciun număr real care, ridicat la puterea a patra, să dea $-16$? Lecția de față, la clasa a X-a, profilul științe ale naturii (M2), definește radicalul de ordin $n$ pentru orice număr real și arată de ce paritatea ordinului decide totul. Tema intră la bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: radicalul de ordin $n$ e cerut de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși programa nouă a clasei a X-a (Anexa 28) se oprește la ordinele 2 și 3. Pornim de la funcția radical de ordinul 2 și de la funcția radical de ordinul 3 din clasa a IX-a și de la proprietățile radicalilor de ordin 2 și 3. Calculul cu radicali de orice ordin din numere nenegative, cu ordinul comun și cu exponenți fracționari, e lucrat în lecția despre proprietățile puterilor cu exponent rațional; aici ne ocupăm de ce lipsește acolo: semnele și numerele negative.

Ce vei învăța

• Vei ști definiția radicalului de ordin $n$, separat pentru ordin par și pentru ordin impar.
• Vei ști să decizi dacă un radical are sens în $\mathbb{R}$ și să găsești domeniul unei funcții cu radical de ordin oarecare.
• Vei ști să calculezi radicali de ordin impar din numere negative, ca $\sqrt[5]{-32}=-2$, și să le stabilești semnul.
• Vei ști când $\sqrt[n]{a^n}$ este $a$ și când este $|a|$, inclusiv în expresii cu litere.
• Vei ști să aplici regula produsului și să scoți sau să introduci factori sub radical, cu grijă la semn.
• Vei ști să legi radicalul de ordin $n$ de funcția putere și de puterea cu exponent rațional, fără să scrii exponenți fracționari pe baze negative.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă radicalul de ordin n?

Ai lucrat deja cu $\sqrt{a}$, numărul nenegativ al cărui pătrat este $a$, și cu $\sqrt[3]{a}$, numărul al cărui cub este $a$. Ideea se extinde la orice exponent natural $n\ge 2$, iar diferența dintre ordinul 2 și ordinul 3 se păstrează: o dă paritatea lui $n$.

Radicalul de ordin n al unui număr real $a$ este numărul real $b$ pentru care $b^n=a$, ales astfel:

• dacă $n$ este par, radicalul există numai pentru $a\ge 0$, iar $\sqrt[n]{a}$ este unicul număr $b\ge 0$ cu $b^n=a$;
• dacă $n$ este impar, radicalul există pentru orice $a\in \mathbb{R}$, iar $\sqrt[n]{a}$ este unicul număr real $b$ cu $b^n=a$.

Câteva valori: $\sqrt[4]{81}=3$, pentru că $3^4=81$ și $3\ge 0$; $\sqrt[7]{128}=2$, pentru că $2^7=128$; $\sqrt[5]{-32}=-2$, pentru că $(-2{)}^5=-32$; $\sqrt[6]{0}=0$. În schimb $\sqrt[6]{-64}$ nu are sens în $\mathbb{R}$: orice număr real ridicat la puterea a șasea dă un rezultat nenegativ, deci niciunul nu dă $-64$.

În scrierea $\sqrt[n]{a}$, numărul $n$ se numește ordinul radicalului, iar $a$ este numărul de sub radical. La ordinul 2 indicele nu se scrie, deci $\sqrt{a}$ înseamnă $\sqrt[2]{a}$; ordinul 1 nu se folosește, pentru că $b^1=a$ dă pur și simplu $b=a$. Ordinul este întotdeauna un număr natural de cel puțin 2, iar paritatea lui se citește înainte de orice calcul.

Verificarea unui radical se face întotdeauna la fel: ridici rezultatul la puterea egală cu ordinul și compari cu numărul de sub radical. La ordin par mai verifici un lucru, semnul rezultatului.

2. De ce ordinul par cere un număr nenegativ, iar ordinul impar nu?

Totul vine din funcția putere $x\mapsto x^n$. La exponent par, $x^n$ este nenegativ pentru orice $x$, iar numerele opuse au aceeași putere: $3^4=(-3{)}^4=81$. Un număr negativ nu e deci puterea a $n$-a a niciunui număr real, iar un număr pozitiv e puterea a $n$-a a două numere, opuse. Ca radicalul să fie un singur număr, alegem varianta nenegativă, exact ca la rădăcina pătrată.

La exponent impar, puterea păstrează semnul: $2^5=32$, iar $(-2{)}^5=-32$. Funcția $x\mapsto x^n$ este strict crescătoare pe toată axa și ia fiecare valoare reală exact o dată, deci pentru orice $a$ real există un singur $b$ cu $b^n=a$. Nu e nevoie de nicio alegere și nicio condiție. Se vede bine pe puterile lui $-2$: $(-2{)}^2=4$, $(-2{)}^3=-8$, $(-2{)}^4=16$, $(-2{)}^5=-32$, $(-2{)}^6=64$. Semnul alternează: exponenții pari dau numere pozitive, cei impari dau numere negative. Așadar $-8$ și $-32$ au radicali de ordinul 3, respectiv 5, iar $4$, $16$ și $64$ au radicali de ordin par, egali cu $2$, nu cu $-2$. Pe scurt: ordinul par cere $a\ge 0$ și dă un rezultat $\ge 0$; ordinul impar acceptă orice $a$ și păstrează semnul lui $a$.

Consecința practică apare la domenii de definiție. Expresia $\sqrt[4]{6-2x}$ are sens numai pentru $6-2x\ge 0$, adică $x\le 3$, în timp ce $\sqrt[5]{x-9}$ are sens pentru orice $x$ real. Condițiile de existență se pun doar la ordinele pare, exact ca la domeniul unei funcții cu radical din clasa a IX-a.

3. Ce semn are un radical de ordin impar?

Semnul lui $\sqrt[n]{a}$, la $n$ impar, este semnul lui $a$: pozitiv pentru $a>0$, zero pentru $a=0$, negativ pentru $a<0$. Mai mult, minusul se scoate în fața radicalului:

$$\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a},n\text{ impar},a\in \mathbb{R}.$$

Motivul are un rând: ${\left(-\sqrt[n]{a}\right)}^n=-{\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=-a$, pentru că un exponent impar păstrează minusul, iar radicalul de ordin impar din $-a$ este unicul număr cu această proprietate. Așadar $\sqrt[5]{-243}=-\sqrt[5]{243}=-3$, iar $\sqrt[7]{-1}=-1$. Un radical de ordin impar dintr-un număr negativ se calculează ca radicalul numărului pozitiv, cu un minus în față.

La ordin par regula nu are sens, pentru că unul dintre cei doi radicali nu există. Nu scrie niciodată $\sqrt[4]{-16}=-2$: verificarea dă $(-2{)}^4=16$, nu $-16$.

4. Este $\sqrt[n]{a^n}$ întotdeauna egal cu $a$?

Nu, și aici apar cele mai multe greșeli. La ordin impar, da: $\sqrt[n]{a^n}=a$ pentru orice $a$ real, pentru că $a$ însuși este numărul a cărui putere a $n$-a este $a^n$. Exemplu: $\sqrt[5]{(-3{)}^5}=-3$.

La ordin par, radicalul trebuie să fie nenegativ, deci

$$\sqrt[n]{a^n}=|a|,n\text{ par}.$$

Exemplu: $\sqrt[4]{(-3{)}^4}=\sqrt[4]{81}=3=|-3|$. Cu litere, regula devine o condiție: $\sqrt[6]{x^6}=|x|$, iar modulul se poate scoate numai dacă știi semnul lui $x$. Pentru $x\ge 0$, rezultatul este $x$; pentru $x<0$, este $-x$.

Ordinul și exponentul pot fi și diferite. Din $x^6={\left(x^2\right)}^3$ rezultă $\sqrt[3]{x^6}=x^2$ pentru orice $x$, fără modul, fiindcă ordinul e impar, iar $x^2$ e oricum nenegativ. La ordin par, $\sqrt[4]{x^{12}}=\left|x^3\right|=|x{|}^3$. Întrebarea de pus de fiecare dată: numărul pe care îl scot de sub radical are semnul cerut de ordin?

5. Cum se aplică regula produsului când apar numere negative?

Pentru numere nenegative, $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$ la orice ordin; demonstrația e în lecția despre proprietățile puterilor cu exponent rațional. La ordin impar, regula rămâne adevărată pentru orice numere reale $a$ și $b$, pentru că produsul $\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$ are puterea a $n$-a egală cu $ab$, iar la ordin impar acest număr e unic. Exemplu: $\sqrt[5]{-4}\cdot \sqrt[5]{8}=\sqrt[5]{-32}=-2$. La fel, $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ pentru $b\ne 0$, iar ${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m}$.

La ordin par, regula cere ca ambii factori să fie nenegativi. Altfel apare o capcană: $(-2)\cdot (-8)=16$, iar $\sqrt[4]{16}=2$ există, dar $\sqrt[4]{-2}$ și $\sqrt[4]{-8}$ nu există, deci produsul lor nu are sens. Egalitatea $\sqrt[4]{(-2)(-8)}=\sqrt[4]{-2}\cdot \sqrt[4]{-8}$ nu are sens în $\mathbb{R}$, pentru că membrul drept nu este un număr real.

6. Cum se scot și se introduc factori sub un radical de ordin impar?

Scoaterea factorilor urmează aceeași rețetă ca la numerele pozitive: descompui numărul de sub radical și grupezi puterile egale cu ordinul. La ordin impar, minusul iese și el. De exemplu, $96=2^5\cdot 3$, deci

$$\sqrt[5]{-96}=-\sqrt[5]{2^5\cdot 3}=-2\sqrt[5]{3}.$$

Drumul invers, la ordin impar, duce sub radical și semnul: $-2\sqrt[5]{3}=\sqrt[5]{(-2{)}^5\cdot 3}=\sqrt[5]{-96}$. La ordin par, sub radical intră numai factori nenegativi, deci minusul rămâne afară: $-2\sqrt[4]{3}=-\sqrt[4]{2^4\cdot 3}=-\sqrt[4]{48}$. Scrierea $\sqrt[4]{-48}$ ar fi fără sens.

Cu litere, la ordin impar nu apare niciun modul: pentru orice $x$ și $y$ reale, $\sqrt[5]{-32x^{5}y}=-2x\sqrt[5]{y}$, fiindcă $-32x^5=(-2x{)}^5$. Semnul lui $x$ nu mai trebuie discutat, pentru că un factor scos de sub un radical de ordin impar își păstrează semnul, oricare ar fi el.

Cu litere, la ordin par apare modulul: pentru $y\ge 0$, $\sqrt[4]{x^{4}y}=|x|\sqrt[4]{y}$. Dacă enunțul spune că $x<0$, rezultatul se scrie $-x\sqrt[4]{y}$, iar acesta este un număr nenegativ, cum trebuie să fie un radical de ordin par.

7. Ce știi despre funcția radical de ordin n?

Funcția $f(x)=\sqrt[n]{x}$ are domeniul $D=[0,+\infty )$ pentru $n$ par și $D=\mathbb{R}$ pentru $n$ impar. În ambele cazuri ea este strict crescătoare: dacă $x_1<x_2$ în domeniu, atunci $\sqrt[n]{x_1}<\sqrt[n]{x_2}$. Din monotonie se compară radicalii de același ordin fără calculator: $\sqrt[5]{-30}>\sqrt[5]{-31}$, pentru că $-30>-31$.

Funcția radical de ordin $n$ este inversa funcției putere $x\mapsto x^n$: pe $[0,+\infty )$ la ordin par, pe tot $\mathbb{R}$ la ordin impar, în sensul din lecția despre funcția inversă. De aceea graficul ei se obține din graficul puterii prin simetrie față de prima bisectoare. Monotonia dă și încadrări: din $1<2<32$ rezultă $1<\sqrt[5]{2}<2$, iar o valoare aproximativă se obține pe calculator, $\sqrt[5]{2}\approx 1,149$. Pentru radicali de ordine diferite, comparația cere aducerea la același ordin, metodă lucrată în lecția despre proprietățile puterilor cu exponent rațional. La ordin impar graficul trece prin cadranele I și III și este simetric față de origine, ca al lui $\sqrt[3]{x}$; la ordin par stă numai în cadranul I, ca al lui $\sqrt{x}$.

8. Ce legătură are radicalul de ordin n cu puterea cu exponent rațional?

Pentru $a>0$, radicalul de ordin $n$ este o putere: $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$, iar $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$. Așa se simplifică ordinele: $\sqrt[6]{2^3}=2^{\frac{3}{6}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$. Definiția și condițiile sunt în lecția despre puterile cu exponent rațional, care urmează pe traseu.

Pentru $a<0$, radicalul de ordin impar există, dar nu se scrie ca putere cu exponent fracționar. Scrierea $(-32{)}^{\frac{1}{5}}$ nu se folosește în convenția programei. Motivul se vede imediat: aceeași fracție scrisă altfel, $\frac{2}{10}$, ar da $\sqrt[10]{(-32{)}^2}=2$, nu $-2$. În lecția despre puterile cu exponent rațional, baza negativă este exclusă printr-un alt argument, cel cu puterea unei puteri. Când apare un număr negativ sub un radical de ordin impar, rămâi în limbajul radicalilor și scoate întâi minusul în față, după regula de la secțiunea 3. Abia numărul pozitiv rămas sub radical se poate scrie ca putere.

Concret, pentru $\sqrt[5]{-96}$ drumul corect este: scoți minusul, $\sqrt[5]{-96}=-\sqrt[5]{96}$, apoi lucrezi cu numărul pozitiv, $\sqrt[5]{96}=96^{\frac{1}{5}}=(32\cdot 3{)}^{\frac{1}{5}}=2\cdot 3^{\frac{1}{5}}$. Rezultatul final, $-2\sqrt[5]{3}$, coincide cu cel obținut prin scoaterea factorilor la secțiunea 6, iar minusul nu a stat niciodată sub un exponent fracționar.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Radicali de ordin impar din numere negative

Calculează $E=\sqrt[5]{-243}+\sqrt[3]{-125}-\sqrt[7]{-1}+\sqrt[4]{625}$.

Rezolvare. Scoatem minusurile de sub radicalii de ordin impar: $\sqrt[5]{-243}=-3$, pentru că $3^5=243$; $\sqrt[3]{-125}=-5$; $\sqrt[7]{-1}=-1$. Radicalul de ordin par se calculează din numărul pozitiv: $\sqrt[4]{625}=5$, pentru că $5^4=625$. Atunci

$$E=-3+(-5)-(-1)+5=-2.$$

Atenție la al treilea termen: se scade un număr negativ, deci se adună $1$.

Exemplul 2 — Când are sens o expresie cu radicali?

Determină mulțimea numerelor reale $x$ pentru care expresia $E(x)=\sqrt[6]{x+4}+\sqrt[7]{x-1}$ are sens.

Rezolvare. Radicalul de ordinul șapte are sens pentru orice $x$, fiindcă ordinul e impar. Radicalul de ordinul șase cere $x+4\ge 0$, adică $x\ge -4$. Expresia are sens exact pentru $x\in [-4,+\infty )$. De exemplu, $E(-4)=0+\sqrt[7]{-5}=-\sqrt[7]{5}$, un număr negativ, deși expresia conține un radical de ordin par.

Exemplul 3 — Modul sau nu?

Arată că $\sqrt[4]{{\left(1-\sqrt{3}\right)}^4}+\sqrt[5]{{\left(1-\sqrt{3}\right)}^5}=0$.

Rezolvare. Numărul $1-\sqrt{3}$ este negativ, fiindcă $\sqrt{3}>1$. La ordinul patru, $\sqrt[4]{a^4}=|a|$, deci primul termen este $\left|1-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}-1$. La ordinul cinci, $\sqrt[5]{a^5}=a$, deci al doilea termen este $1-\sqrt{3}$. Suma este $\sqrt{3}-1+1-\sqrt{3}=0$.

Dacă ai fi scris ambii termeni egali cu $1-\sqrt{3}$, ai fi obținut $2-2\sqrt{3}$. Greșeala se vede imediat: primul termen este un radical de ordin par, deci nu poate fi negativ, iar $1-\sqrt{3}$ este negativ.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „$\sqrt[4]{(-5{)}^4}=-5$, pentru că radicalul și puterea se reduc.” Unde greșește?

Rezolvare. Reducerea „radical cu putere” e adevărată numai la ordin impar sau pentru numere nenegative. Aici ordinul e par, iar rezultatul trebuie să fie nenegativ: $(-5{)}^4=625$, iar $\sqrt[4]{625}=5$. Corect, $\sqrt[4]{(-5{)}^4}=|-5|=5$. Proba ar fi prins greșeala: elevul afirmă că radicalul de ordin par al unui număr este negativ, ceea ce contrazice definiția.

Exemplul 5 — Factorul de creștere al unei culturi

Numărul de celule dintr-o cultură crește în cinci ore de la $1000$ la $243000$, cu același factor $q$ în fiecare oră. Într-un alt experiment, concentrația unei substanțe scade în patru zile la $\frac{1}{16}$ din valoarea inițială, cu același factor pe zi. Află cei doi factori.

Rezolvare. După cinci ore, numărul de celule s-a înmulțit cu $q^5$, deci $q^5=\frac{243000}{1000}=243$ și $q=\sqrt[5]{243}=3$: numărul de celule se triplează în fiecare oră. Pentru substanță, $r^4=\frac{1}{16}$, iar factorul este pozitiv, fiindcă o concentrație nu poate deveni negativă, deci $r=\sqrt[4]{\frac{1}{16}}=\frac{1}{2}$: concentrația se înjumătățește zilnic.

Observă rolul contextului. Ecuația $r^4=\frac{1}{16}$ are în $\mathbb{R}$ două soluții, $\frac{1}{2}$ și $-\frac{1}{2}$, iar radicalul o alege pe cea nenegativă; aici alegerea coincide cu sensul fizic.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Arată că numărul $a=\sqrt[5]{-243}+\sqrt[4]{81}-\sqrt[3]{-8}$ este natural.

Rezolvare. $\sqrt[5]{-243}=-3$, $\sqrt[4]{81}=3$ și $\sqrt[3]{-8}=-2$. Atunci $a=-3+3-(-2)=2$, care este număr natural.

Cerința are forma unei cerințe scurte de calcul de la Subiectul I: un număr scris cu radicali, despre care se arată că e natural. În probele oficiale M2 transcrise pe site, cerințele de calcul cu radicali de la Subiectul I folosesc ordinele 2 și 3; un radical de ordin $n$ apare la Subiectul al III-lea din sesiunea specială 2018, unde se cere să arăți că $\sqrt[n]{e}\le \frac{n}{n-1}$. Programa de examen din 2014 numește radicalul de ordin $n$, deci calculul de mai sus e în programă.

Să exersăm

Ridică fiecare rezultat la puterea egală cu ordinul și compară cu numărul de sub radical. La ordinele pare, verifică și semnul.

1. Calculează: a) $\sqrt[4]{256}$; b) $\sqrt[5]{-1}$; c) $\sqrt[6]{729}$; d) $\sqrt[7]{-128}$.

2. Stabilește care dintre expresii au sens în $\mathbb{R}$ și calculează-le pe acelea: $\sqrt[4]{-16}$, $\sqrt[5]{-16}$, $\sqrt[6]{0}$, $\sqrt[8]{-1}$, $\sqrt[9]{-512}$.

3. Determină domeniul maxim de definiție al funcțiilor $f(x)=\sqrt[4]{x-5}$ și $g(x)=\sqrt[5]{x-5}$.

4. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arată că $\sqrt[5]{-3125}+\sqrt[4]{1296}=1$.

5. Calculează $\sqrt[4]{(-7{)}^4}$ și $\sqrt[5]{(-7{)}^5}$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Pentru orice număr real $a$, $\sqrt[6]{a^6}=a$.

7. Scoate factorii de sub radical: $\sqrt[5]{-486}$ și $\sqrt[4]{162}$.

8. Introdu factorii sub radical: $-3\sqrt[5]{2}$ și $-3\sqrt[4]{2}$.

9. Calculează $\sqrt[7]{-4}\cdot \sqrt[7]{-32}$.

10. Compară numerele $\sqrt[5]{-30}$ și $\sqrt[5]{-31}$, fără calculator.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arată că $\sqrt[4]{{\left(3-\sqrt{10}\right)}^4}-\sqrt[5]{{\left(3-\sqrt{10}\right)}^5}=2\sqrt{10}-6$.

12. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuațiile $\sqrt[5]{x}=-3$ și $\sqrt[4]{x}=-3$.

13. (Problemă aplicată.) Numărul de bacterii dintr-o probă crește de $7776$ ori în cinci ore, cu același factor în fiecare oră. Află factorul orar.

14. (Găsește greșeala.) Un elev afirmă că $\sqrt[5]{-20}$ nu există, „pentru că sub radical e un număr negativ”. Explică greșeala și scrie numărul cu minusul în față.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[4]{x}$. Arată că $f(16)+f(81)=5$.

16. Simplifică, pentru $x$ real: $\sqrt[5]{x^{10}}$ și $\sqrt[4]{x^{12}}$.

17. Calculează $\sqrt[5]{-32}+\sqrt[3]{27}+\sqrt[4]{16}$.

18. (Provocare.) Arată că $\sqrt[5]{2+\sqrt{5}}\cdot \sqrt[5]{2-\sqrt{5}}=-1$ și explică de ce același calcul nu se poate face cu radicali de ordinul patru.

Răspunsuri și explicații

1. a) $4$, pentru că $4^4=256$. b) $-1$. c) $3$, pentru că $3^6=729$. d) $-2$, pentru că $(-2{)}^7=-128$.

2. $\sqrt[4]{-16}$ și $\sqrt[8]{-1}$ nu au sens: ordin par, număr negativ. $\sqrt[5]{-16}=-\sqrt[5]{16}$ are sens, fără valoare întreagă. $\sqrt[6]{0}=0$. $\sqrt[9]{-512}=-2$, pentru că $2^9=512$.

3. $f$ cere $x-5\ge 0$, deci $D_f=[5,+\infty )$. Pentru $g$ ordinul e impar, deci $D_g=\mathbb{R}$.

4. $\sqrt[5]{-3125}=-5$, pentru că $5^5=3125$, iar $\sqrt[4]{1296}=6$, pentru că $6^4=1296$. Suma este $-5+6=1$.

5. $\sqrt[4]{(-7{)}^4}=|-7|=7$, iar $\sqrt[5]{(-7{)}^5}=-7$.

6. Fals. La ordin par, $\sqrt[6]{a^6}=|a|$. Contraexemplu: pentru $a=-1$, $\sqrt[6]{1}=1\ne -1$.

7. $486=3^5\cdot 2$, deci $\sqrt[5]{-486}=-3\sqrt[5]{2}$. $162=3^4\cdot 2$, deci $\sqrt[4]{162}=3\sqrt[4]{2}$.

8. La ordin impar, minusul intră: $-3\sqrt[5]{2}=\sqrt[5]{-243\cdot 2}=\sqrt[5]{-486}$. La ordin par rămâne afară: $-3\sqrt[4]{2}=-\sqrt[4]{81\cdot 2}=-\sqrt[4]{162}$.

9. Ordinul e impar, deci regula produsului merge și pentru numere negative: $\sqrt[7]{(-4)(-32)}=\sqrt[7]{128}=2$.

10. Funcția radical de ordinul cinci este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, iar $-30>-31$, deci $\sqrt[5]{-30}>\sqrt[5]{-31}$.

11. $3-\sqrt{10}<0$, pentru că $9<10$. Primul termen este $\left|3-\sqrt{10}\right|=\sqrt{10}-3$, al doilea este $3-\sqrt{10}$. Diferența: $\sqrt{10}-3-3+\sqrt{10}=2\sqrt{10}-6$.

12. $\sqrt[5]{x}=-3$ dă $x=(-3{)}^5=-243$; proba: $\sqrt[5]{-243}=-3$. A doua ecuație nu are soluții: un radical de ordin par este nenegativ, deci nu poate fi $-3$.

13. $q^5=7776=6^5$, deci $q=6$: numărul de bacterii se înmulțește cu $6$ în fiecare oră.

14. Condiția „număr nenegativ” se pune numai la ordin par. Ordinul cinci e impar, deci $\sqrt[5]{-20}$ există și este $-\sqrt[5]{20}$, un număr negativ, aproximativ $-1,82$; proba aproximativă: $1,82^5\approx 19,97$.

15. $f(16)=2$ și $f(81)=3$, deci suma este $5$.

16. $x^{10}={\left(x^2\right)}^5$, iar ordinul e impar, deci $\sqrt[5]{x^{10}}=x^2$. $x^{12}={\left(x^3\right)}^4$, iar ordinul e par, deci $\sqrt[4]{x^{12}}=\left|x^3\right|=|x{|}^3$.

17. $-2+3+2=3$.

18. Ordinul e impar, deci regula produsului merge și cu factori negativi: produsul este $\sqrt[5]{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=\sqrt[5]{4-5}=\sqrt[5]{-1}=-1$. Cu ordinul patru, factorul $\sqrt[4]{2-\sqrt{5}}$ nu există, pentru că $2-\sqrt{5}<0$, deoarece $4<5$.

De reținut

• La ordin par, $\sqrt[n]{a}$ există numai pentru $a\ge 0$ și este numărul nenegativ $b$ cu $b^n=a$; la ordin impar există pentru orice $a$ real și are semnul lui $a$.
• La ordin impar, $\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}$, deci $\sqrt[5]{-32}=-2$; la ordin par, un radical dintr-un număr negativ nu are sens.
• $\sqrt[n]{a^n}=a$ la ordin impar și $\sqrt[n]{a^n}=|a|$ la ordin par.
• Regula produsului și scoaterea factorilor merg la ordin impar și cu numere negative, minusul ieșind în față; la ordin par, toți factorii trebuie să fie nenegativi.
• Funcția $\sqrt[n]{x}$ are domeniul $[0,+\infty )$ la $n$ par și $\mathbb{R}$ la $n$ impar, este strict crescătoare și este inversa funcției putere; pentru $a>0$, $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$.

Greșeli frecvente

• Radical de ordin par dintr-un număr negativ. Se scrie $\sqrt[4]{-16}=-2$. Corect: expresia nu are sens în $\mathbb{R}$, iar proba arată $(-2{)}^4=16$.
• Minusul uitat la ordin impar. Se scrie $\sqrt[5]{-32}=2$ sau se declară expresia „imposibilă”. Corect: $\sqrt[5]{-32}=-2$, fiindcă $(-2{)}^5=-32$.
• Modulul uitat. Se scrie $\sqrt[4]{(-5{)}^4}=-5$ sau $\sqrt[6]{x^6}=x$ fără condiții. Corect: la ordin par rezultatul e $|a|$.
• Minusul introdus sub un radical de ordin par. Se scrie $-2\sqrt[4]{3}=\sqrt[4]{-48}$. Corect: minusul rămâne în față, $-\sqrt[4]{48}$.
• Exponent fracționar pe bază negativă. Se scrie $\sqrt[5]{-32}=(-32{)}^{\frac{1}{5}}$. Corect: pentru numere negative rămâi la scrierea cu radical și scoți întâi minusul.

Aplică acasă

1. Tabelul puterilor. Scrie puterile $2^n$ și $3^n$ pentru $n$ de la $2$ la $8$. Cu ele, inventează zece radicali de ordin între $4$ și $8$ care au rezultat întreg, jumătate dintre ei din numere negative, și cere unui coleg să-i calculeze.

2. Calculatorul de buzunar. Calculează pe telefon $(-32{)}^{0,2}$ și apoi radicalul de ordinul cinci din $-32$, dacă aplicația are această tastă. Notează ce răspunde fiecare și explică, cu secțiunea 8, de ce rezultatele pot fi diferite.

3. Factorul de creștere. Caută o știre despre o populație, o investiție sau o epidemie care a crescut de un anumit număr de ori în câțiva ani. Calculează factorul anual cu un radical de ordinul egal cu numărul de ani și verifică rezultatul ridicând la putere.

Pentru părinți și profesori

Lecția completează radicalii de ordin 2 și 3 din clasa a IX-a cu radicalul de ordin oarecare dintr-un număr real. Pragul real este distincția par/impar: un elev care, înainte de orice calcul, își spune „ordin par, deci număr nenegativ și rezultat nenegativ” sau „ordin impar, deci păstrez semnul” stăpânește capitolul. Proba prin ridicare la putere, făcută la fiecare rezultat, prinde aproape toate greșelile de semn.

De urmărit în caiet: condiția de existență scrisă numai la ordinele pare; modulul la $\sqrt[n]{a^n}$ cu $n$ par; minusul scos în față la ordin impar înainte de orice altă transformare. Întrebări bune de control: „Ce număr ridicat la puterea a cincea dă $-32$?”, „De ce nu există $\sqrt[4]{-16}$?”, „Când este $\sqrt[6]{x^6}$ egal cu $x$?”. Pentru comparație, radicalii apar la mate-info în lecția despre puterile cu exponent rațional, de la mate-info (M1), unde radicalul de ordin impar dintr-un număr negativ apare ca excepție de la scrierea cu exponent fracționar.

Locul lecției pe traseu nu e întâmplător: ea deschide unitatea de supliment, înaintea puterilor cu exponent rațional, pentru că definiția puterii $a^{\frac{m}{n}}$ se sprijină pe radicalul de ordin $n$. Elevul care a înțeles aici de ce un exponent fracționar cere bază pozitivă nu va fi surprins de condiția $a>0$ de la puterile cu exponent rațional, iar radicalii din numere negative vor rămâne pentru el ce sunt: radicali de ordin impar, nu puteri.

Programa și examenul. Programa școlară în vigoare la clasa a X-a în anul școlar 2026–2027 (OMEC 4598/2004, varianta de 4 ore, aplicată la științe ale naturii) conține „Radical dintr-un număr rațional, $n\ge 2$, proprietăți ale radicalilor” și funcția radical $f(x)=\sqrt[n]{x}$, cu domeniul $[0,+\infty )$ pentru $n$ par și $\mathbb{R}$ pentru $n$ impar. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) cere la materia clasei a X-a „Radical de ordin $n$ ($n\in \mathbb{N}$ și $n\ge 2$) dintr-un număr, proprietăți ale radicalilor”, împreună cu funcția radical; de aici marcajele „tip Bacalaureat M2”. Programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028, numește numai radicalii de ordin 2 și 3, la fel ca programa probei MAT_P2 din 2030. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OMEC 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Întrebări frecvente

Ce este radicalul de ordin n al unui număr?

Este numărul care, ridicat la puterea $n$, dă numărul de sub radical. La ordin par se cere ca numărul de sub radical să fie nenegativ și se alege rezultatul nenegativ, de exemplu $\sqrt[4]{81}=3$. La ordin impar, numărul de sub radical poate fi oricare, iar rezultatul are același semn, de exemplu $\sqrt[5]{-32}=-2$.

De ce există radicalul de ordinul cinci dintr-un număr negativ, dar cel de ordinul patru nu?

Pentru că o putere cu exponent impar păstrează semnul, în timp ce una cu exponent par dă mereu un rezultat nenegativ. Astfel $(-2{)}^5=-32$, deci $-32$ are radical de ordinul cinci. În schimb, niciun număr real ridicat la puterea a patra nu dă un rezultat negativ, deci $\sqrt[4]{-16}$ nu există în $\mathbb{R}$.

Când este $\sqrt[n]{a^n}$ egal cu $a$?

Întotdeauna când ordinul $n$ este impar și, la ordin par, numai când $a\ge 0$. La ordin par, rezultatul general este $|a|$, fiindcă un radical de ordin par nu poate fi negativ. De aceea $\sqrt[4]{(-3{)}^4}=3$, iar $\sqrt[6]{x^6}=|x|$. Modulul dispare doar dacă știi semnul lui $x$.

Pot scrie $\sqrt[5]{-32}$ ca $(-32{)}^{\frac{1}{5}}$?

Nu în convenția programei și a bacalaureatului: puterile cu exponent rațional neîntreg se definesc pentru baze pozitive (și, prin convenție, $0^r=0$ pentru $r>0$). Unele cărți admit $(-32{)}^{\frac{1}{5}}=-2$, cu fracția adusă la forma ireductibilă, dar atunci regulile de calcul cer condiții în plus. La lecții și la examen scrii $\sqrt[5]{-32}=-2$.

La ce subiect apare radicalul de ordin n la bacalaureatul M2?

Programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 numește radicalul de ordin $n$ și proprietățile radicalilor la materia clasei a X-a, iar calculele cu radicali au forma cerințelor scurte de la Subiectul I. În probele oficiale M2 transcrise pe site, calculele cu radicali de la Subiectul I folosesc ordinele 2 și 3; în sesiunea specială din 2018, la Subiectul al III-lea, apare $\sqrt[n]{e}$. La proba MAT_P2 din 2030, programa se oprește la ordinele 2 și 3.

Prin ce diferă lecția aceasta de radicalii de la mate-info (M1)?

La mate-info, radicalul de ordin $n$ apare mai ales prin puterile cu exponent rațional, pe numere pozitive, iar radicalii de ordin impar din numere negative apar ca excepție de la scrierea cu exponent fracționar. Lecția M2 pune paritatea ordinului în centru: definiția pe cazuri, semnul, modulul, regula produsului cu numere negative și domeniul funcției radical, cu factori de creștere din biologie.

Cum verific rapid un rezultat cu radicali?

Ridici rezultatul la puterea egală cu ordinul și compari cu numărul de sub radical. Dacă ordinul e par, mai verifici că rezultatul nu e negativ. De exemplu, pentru $\sqrt[6]{729}=3$, $3^6=729$ și $3\ge 0$. Pentru $\sqrt[7]{-128}=-2$, $(-2{)}^7=-128$, iar la ordin impar semnul minus e permis.