Lecția pe scurt · clasa a X-a · Radicalul unui număr rațional

Cum calculez radicalul dintr-o fracție?

Simplifici fracția, apoi iei separat radicalul numărătorului și pe al numitorului: $\frac{81}{196} = \frac{9}{14}$ , fiindcă $9^{2} = 81$ și $1 4^{2} = 196$ . Dacă numărul are virgulă, îl scrii ca fracție zecimală: $1, 69 = \frac{169}{100} = 1, 3$ . Când sus sau jos nu e un pătrat perfect, rezultatul e irațional și se lasă cu radical. Proba: ridici rezultatul la pătrat.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Un număr rațional se scrie ca fracție, iar radicalul unei fracții se calculează separat sus și jos: $\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ , cu $a \geq 0$ și $b > 0$ . La ordinul 3 regula merge pentru orice semn, cu numitorul nenul, iar minusul iese în fața radicalului.

O zecimală o transformi întâi în fracție zecimală. Pentru ordinul 2 alegi un număr par de zecimale, ca numitorul să fie $100$ sau $10000$ ; pentru ordinul 3, un număr de zecimale multiplu de trei, ca numitorul să fie $1000$ .

Rezultatul e un număr rațional numai când, după simplificarea fracției, numărătorul și numitorul sunt pătrate perfecte la ordinul 2, respectiv cuburi perfecte la ordinul 3. Altfel radicalul e irațional și îl lași în forma simplă, fără radical la numitor: amplifici cu radicalul de la numitor (la ordinul 3, cu $3 q^{2}$ ) sau, la o diferență, cu suma potrivită.

Verificarea e mereu aceeași: ridici rezultatul la pătrat sau la cub și trebuie să regăsești numărul inițial. În meserii regula apare când cunoști o arie sau un volum dat cu virgulă și cauți o lungime, sau când compari două piese asemenea.

De reținut

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ , pentru $a \geq 0$ , $b > 0$
zecimala se scrie ca fracție zecimală, cu numitorul pătrat sau cub perfect
după simplificare: rațional doar dacă numărătorul (fără semn, la ordinul 3) și numitorul sunt pătrate, respectiv cuburi perfecte

Greșeala tipică

Se ia radicalul doar din cifrele zecimalei, ca $0, 9 = 0, 3$ ; corect, scrii întâi $0, 9 = \frac{90}{100}$ și abia apoi cauți pătratele perfecte.

Exerciții din această mini-lecție

O dală pătrată de pardoseală are aria de 0,36 m². Ce latură are?
- a) $0, 06$ m
- b) $0, 6$ m
- c) $0, 18$ m
- d) $6$ m
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $0, 6$ m

$0, 36 = \frac{36}{100}$ , deci latura este $\frac{6}{10} = 0, 6$ m. Proba: $0, 6^{2} = 0, 36$ . Varianta $0, 06$ ar da aria $0, 0036$ m², iar $0, 18$ este jumătatea ariei, nu radicalul ei.
Cât este $3 - \frac{64}{125}$ ?
- a) $- \frac{4}{5}$
- b) $\frac{4}{5}$
- c) $- \frac{8}{25}$
- d) nu există în $R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- \frac{4}{5}$

$64 = 4^{3}$ și $125 = 5^{3}$ , iar la ordinul 3 minusul iese în față: $- \frac{4}{5}$ . Proba: $(- \frac{4}{5})^{3} = - \frac{64}{125}$ . Radicalul de ordin 3 există și pentru numere negative.
Care dintre numere este rațional?
- a) $0, 4$
- b) $0, 04$
- c) $3 0, 04$
- d) $\frac{2}{9}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $0, 04$

$0, 04 = \frac{4}{100}$ , cu ambele numere pătrate perfecte, deci $0, 04 = 0, 2$ . În schimb $0, 4 = \frac{2}{5}$ , $0, 04 = \frac{1}{25}$ la ordinul 3 (25 nu e cub perfect) și $\frac{2}{9}$ au un termen care nu e pătrat, respectiv cub perfect.

Întrebări conexe

Cum aflu latura unei dale dintr-o arie cu virgulă?

Transformi aria în fracție zecimală cu numitorul 100 sau 10 000 și iei rădăcina ambelor numere. O dală de 0,1764 m² are latura $\frac{1764}{10000} = \frac{42}{100} = 0, 42$ m, adică 42 cm. Verifici: $0, 4 2^{2} = 0, 1764$ .

De ce radicalul din 0,9 nu este 0,3?

Pentru că $0, 3^{2} = 0, 09$ , nu $0, 9$ . Numărul $0, 9$ are o singură zecimală; îl scrii $\frac{90}{100}$ , iar 90 nu e pătrat perfect, deci $0, 9 \approx 0, 9487$ este irațional. Rădăcina exactă cu o zecimală apare doar sub un număr cu două zecimale, ca $0, 09$ .

Cum calculez radicalul de ordin 3 dintr-o fracție negativă?

Scoți minusul în față și calculezi rădăcina de ordin 3 a numărătorului și a numitorului: $3 - \frac{1000}{343} = - \frac{10}{7}$ , fiindcă $1 0^{3} = 1000$ și $7^{3} = 343$ . Rădăcina cubică e definită pe toată axa numerelor reale, deci semnul minus nu creează nicio piedică.

Cum scap de radicalul de la numitor?

La ordinul 2 amplifici fracția cu radicalul de la numitor, sus și jos: $\frac{4}{10} = \frac{4 10}{10} = \frac{2 10}{5}$ . Dacă numitorul e o diferență, ca $11 - 3$ , amplifici cu suma $11 + 3$ , iar numitorul devine $11 - 9 = 2$ .

Cum compar un radical de ordin 2 cu unul de ordin 3?

Dacă ambele numere sunt pozitive, le ridici la puterea a șasea, care elimină ambii radicali. Pentru $6$ și $314$ obții $6^{3} = 216$ și $1 4^{2} = 196$ ; cum $216 > 196$ , rezultă $6 > 314$ . Valorile aproximative confirmă: 2,449 față de 2,410.

Oamenii mai întreabă și: radical dintr-un număr rațional · radical din fracție la tehnologic · radical dintr-un număr cu virgulă · radicalul unui cât de numere