Radicalul unui număr rațional: tehnologic

Furnizorul de pardoseli trece în fișa produsului aria unei dale, nu latura ei, iar aria este un număr cu virgulă. Latura este atunci radicalul unui număr rațional. În clasa a X-a, la filiera tehnologică, înveți să calculezi radicali de ordinul 2 și 3 din fracții și din zecimale și să recunoști când rezultatul iese exact. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), cerințele despre radicali care sunt numere naturale sau despre un radical scos de la numitor au venit în 3 probe oficiale.

Situația de pornire

Pe șantierul unei săli de sport, echipa de pardoseli a turnat șapa de beton și a pus stratul de izolație fonică. Urmează dalele pătrate de cauciuc, câte un tip pentru fiecare zonă a sălii. Fișa furnizorului dă, pentru fiecare tip, aria unei dale și grosimea. Șeful de echipă trasează pe pardoseală rândurile de dale de-a lungul peretelui lung, de 9 m, și vrea să știe dinainte câte dale intră pe un rând, ca să comande exact cât trebuie și să nu taie dale la capăt.

Întrebare: ce latură are fiecare tip de dală și câte dale intră, fără tăiere, pe un rând de 9 m?

De la situație la model

Latura unei dale pătrate este numărul pozitiv al cărui pătrat este aria dalei. Aici numărul de sub radical are virgulă, așa că îl scrii mai întâi ca fracție. Tabelul urmărește dala B pas cu pas, de la fișa furnizorului la rândul de pe pardoseală.

Un număr rațional este un număr care se poate scrie ca fracție $\frac{p}{q}$, cu $p$ și $q$ întregi și $q\ne 0$; zecimalele finite sunt numere raționale. Pentru $a\ge 0$ și $b>0$, radicalul unui cât este câtul radicalilor: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$. Controlul este ridicarea la pătrat: ${\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)}^2=\frac{a}{b}$. Regulile pentru puteri, pe care se sprijină controlul, sunt în reguli pentru puteri reale.

De ce scrii zecimala ca fracție?

Fiindcă numitorul unei fracții zecimale este $10$, $100$, $1000$ și așa mai departe, iar la un număr par de zecimale numitorul este un pătrat perfect: $100=10^2$, $10000=100^2$. Atunci radicalul are de două ori mai puține zecimale: $\sqrt{0,0144}=\frac{12}{100}=0,12$. La un număr impar de zecimale adaugi un zero: $0,9=\frac{90}{100}$, deci $\sqrt{0,9}=\frac{\sqrt{90}}{10}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$, adică aproximativ $0,9487$, nu $0,3$. Scoaterea factorului $3$ de sub radical e cea din lecția despre factorii de sub radical.

Când iese radicalul unei fracții un număr rațional?

Scrii fracția în forma ireductibilă, $\frac{p}{q}$ cu $p\ge 0$. Radicalul de ordin 2 este rațional exact când $p$ și $q$ sunt amândouă pătrate perfecte; altfel este irațional. Simplificarea vine întâi: $\frac{8}{18}$ pare fără pătrate, dar $\frac{8}{18}=\frac{4}{9}$, deci $\sqrt{\frac{8}{18}}=\frac{2}{3}$. La ordinul 3 testul cere cuburi perfecte.

Ce se schimbă la ordinul 3 și la numerele negative?

Radicalul de ordin 3 există și pentru numere negative, iar semnul iese în față: $\sqrt[3]{-\frac{27}{64}}=-\frac{3}{4}$, fiindcă ${\left(-\frac{3}{4}\right)}^3=-\frac{27}{64}$. Regula câtului merge fără condiții de semn, cu numitorul nenul. Zecimalele se tratează în grupe de trei: $\sqrt[3]{0,343}=\frac{7}{10}=0,7$, pentru că $0,343=\frac{343}{1000}$. Doi radicali pozitivi, unul de ordin 2 și unul de ordin 3, se compară ridicând ambele numere la puterea a șasea, care le scapă de radicali deodată. Regula cere numere pozitive: $\sqrt{2}>\sqrt[3]{-10}$, deși puterile lor a șasea sunt $8$ și $100$.

Metoda pas cu pas

1. Scrie numărul de sub radical ca fracție ireductibilă: o zecimală devine fracție zecimală, cu numitorul $10$, $100$ sau $1000$, apoi simplifici. La ordinul 2 vrei un număr par de zecimale, la ordinul 3 un multiplu de trei; completezi cu zerouri la nevoie, ca la $0,9=0,90$ sau $0,5=0,500$. Un număr mai mare decât 1, ca $2,25$, se scrie la fel: $\frac{225}{100}$, cu numitorul $100$. O fracție obișnuită, ca $\frac{12}{75}$, o simplifici direct, aici prin 3, și obții $\frac{4}{25}$.
2. Verifică numărătorul și numitorul: la ordinul 2 cauți pătrate perfecte, la ordinul 3 cuburi perfecte. Dacă amândouă sunt, radicalul este rațional și îl scrii ca fracție; altfel scoți factorii care se pot scoate, iar radicalul rămâne irațional. Pentru numere mari, ultima cifră ajută: un pătrat perfect nu se termină niciodată în 2, 3, 7 sau 8, deci 2025 merită încercat, iar 2027 nu.
3. Dacă la numitor a rămas un radical, îl elimini amplificând fracția: cu $\sqrt{q}$ la ordinul 2, cu $\sqrt[3]{q^2}$ la ordinul 3, iar la o diferență de forma $\sqrt{a}-b$ cu suma $\sqrt{a}+b$. Amplifici întotdeauna și numărătorul, și numitorul. La ordinul 3, de exemplu, $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ devine $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$, fiindcă $\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{8}=2$, iar numitorul ajunge un număr întreg.
4. Verifică rezultatul: îl ridici la pătrat sau la cub și regăsești numărul inițial; la o zecimală compari numărul de zecimale și ordinul de mărime, iar la situații scrii unitatea de măsură. Un control rapid de ordin de mărime: radicalul de ordin 2 al unui număr dintre 0 și 1 este mai mare decât numărul, deci $\sqrt{0,25}=0,5$ iese mai mare decât $0,25$, nu mai mic.

Fișa de buzunar

$$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a\ge 0,b>0)$$

$$\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}(a,b\in \mathbb{R},b\ne 0)$$

Regulile se aplică după ce numărul e scris ca fracție ireductibilă. Testul de raționalitate se face pe acea formă, nu pe fracția din enunț. Verificarea rapidă rămâne ridicarea la pătrat sau la cub.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Dalele din sala de sport

Domeniu: constructii.

Enunț. Reia dalele din situația de pornire, cu ariile de $0,25$ m², $0,5625$ m² și $0,2025$ m². Ce latură are fiecare tip și câte dale intră pe rândul de-a lungul peretelui de pardoseală de 9 m?

Rezolvare. Scrii ariile ca fracții zecimale: $0,25=\frac{25}{100}$, $0,5625=\frac{5625}{10000}$ și $0,2025=\frac{2025}{10000}$. Numărătorii sunt pătrate perfecte, $25=5^2$, $5625=75^2$ și $2025=45^2$, iar numitorii la fel. Laturile sunt deci $0,5$ m, $0,75$ m și $0,45$ m, adică 50 cm, 75 cm și 45 cm. Pe rândul de 9 m intră $9:0,5=18$ dale A, $9:0,75=12$ dale B și $9:0,45=20$ de dale C. Toate trei tipurile se potrivesc exact, fără nicio dală tăiată la capăt, așa că șeful de echipă comandă rânduri întregi și nu are resturi de cauciuc de aruncat.

Capcană. Cine ia radicalul doar din cifre, fără să țină seama de virgulă, scrie $\sqrt{0,2025}=4,5$ sau $0,045$. Pe rândul de 9 m ar intra atunci 2 dale de 4,5 m sau 200 de dale de 4,5 cm, nicio variantă realistă pentru o dală de sală de sport.

Verificare. Ridici la pătrat: $0,5^2=0,25$, $0,75^2=0,5625$ și $0,45^2=0,2025$. Pe alt drum, lungimea rândului: $18\cdot 0,5=12\cdot 0,75=20\cdot 0,45=9$ m.

Exemplul 2 — Modelul unei piese turnate

Domeniu: mecanica.

Enunț. Un atelier de turnătorie pregătește o piesă de oțel mai mare, asemenea cu una mai veche: toate cotele se înmulțesc cu același factor $k$. Piesa veche are volumul de 512 cm³, iar cea nouă trebuie să aibă 1000 cm³. a) Află factorul $k$. b) Ce cotă primește reperul care avea 36 mm pe piesa veche?

Rezolvare. a) La piese asemenea, lungimile se înmulțesc cu $k$, ariile cu $k^2$, iar volumul cu $k^3$, deci $k^3=\frac{1000}{512}$. Nici 1000, nici 512 nu cer calculator, dar fracția se simplifică întâi, ca numerele să rămână mici. Simplifici prin 8: $\frac{1000}{512}=\frac{125}{64}$. Numărătorul și numitorul sunt cuburi perfecte, $125=5^3$ și $64=4^3$, deci $k=\sqrt[3]{\frac{125}{64}}=\frac{5}{4}=1,25$. b) Cota nouă este $36\cdot 1,25=45$ mm.

Capcană. Cine ia radicalul de ordin 2 al raportului volumelor obține $\sqrt{\frac{125}{64}}=\frac{5\sqrt{5}}{8}\approx 1,40$ și o cotă de aproape 50,3 mm. Piesa ar ieși cu volumul de ${\left(\frac{5\sqrt{5}}{8}\right)}^3\approx 2,73$ ori cel vechi, nu de $1,95$ ori.

Verificare. Ridici la cub: ${\left(\frac{5}{4}\right)}^3=\frac{125}{64}$, iar $512\cdot \frac{125}{64}=8\cdot 125=1000$ cm³. Pe alt drum: o latură de 8 cm a unui cub de 512 cm³ devine $8\cdot 1,25=10$ cm, iar $10^3=1000$.

Exemplul 3 — Calupurile de brânză

Domeniu: alimentar.

Enunț. O fabrică de lactate toarnă brânza în forme cubice, pe trei sortimente. Fișa de producție dă volumul unei forme în decimetri cubi: 0,512 dm³, 1,331 dm³ și 0,216 dm³. a) Ce latură are fiecare formă, în centimetri? b) Un sortiment nou ar avea forme de 0,9 dm³. Are latura un număr exact de milimetri?

Rezolvare. a) Zecimalele au câte trei zecimale, deci le scrii cu numitorul $1000=10^3$: $\frac{512}{1000}$, $\frac{1331}{1000}$ și $\frac{216}{1000}$. Cum $512=8^3$, $1331=11^3$ și $216=6^3$, laturile sunt 0,8 dm, 1,1 dm și 0,6 dm, adică 8 cm, 11 cm și 6 cm. b) $0,9=\frac{900}{1000}$, iar 900 nu este cub perfect ($9^3=729<900<1000=10^3$). Latura $\sqrt[3]{0,9}=\frac{\sqrt[3]{900}}{10}$ este irațională, aproximativ 0,9655 dm, adică 96,55 mm: nu e un număr exact de milimetri.

Capcană. Cine citește 0,512 ca 512 scrie latura $\sqrt[3]{512}=8$ dm, adică 80 cm. Un calup de brânză cu muchia de 80 cm ar avea peste jumătate de metru cub.

Verificare. Ridici la cub în centimetri: $8^3=512$ cm³, adică 0,512 dm³; $11^3=1331$ cm³ și $6^3=216$ cm³. La punctul b), $0,9655^3\approx 0,900$, iar $0,96^3\approx 0,885$ și $0,97^3\approx 0,913$ încadrează volumul.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: un radical care este număr natural

Domeniu: comert.

Enunț. În probele oficiale 2013–2026, cerința 4 a Subiectului I a întrebat de două ori când un radical este număr natural. Iată o cerință de același fel, cu numere schimbate: „Un magazin pune într-o urnă bonurile cu numerele $1,2,\dots ,60$ ale primilor clienți. Determinați probabilitatea ca, extrăgând un bon cu numărul $n$, numărul $\sqrt{n}$ să fie natural.”

Rezolvare. Fiecare bon are aceeași șansă să fie extras, deci probabilitatea este raportul dintre cazurile favorabile și cele posibile. Sunt 60 de bonuri, deci 60 de cazuri posibile. Numărul $\sqrt{n}$ este natural exact când $n$ este pătrat perfect, adică $n=m^2$ cu $m$ natural. Cum $7^2=49\le 60<64=8^2$, valorile potrivite sunt $1^2,2^2,\dots ,7^2$, adică 7 cazuri favorabile. Probabilitatea este $p=\frac{7}{60}$.

Capcană. Cine numără și numerele ca 50, gândindu-se că $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ „iese frumos”, adaugă cazuri care nu sunt favorabile. Probabilitatea ar ieși mai mare decât cea reală.

Verificare. Pe alt drum, numeri pătratele: $\sqrt{60}\approx 7,75$, deci pătratele perfecte de la 1 la 60 sunt pătratele numerelor de la 1 la 7, adică 7. Probabilitatea, $\frac{7}{60}\approx 0,117$, e între 0 și 1.

Să exersăm

La fiecare exercițiu scrie întâi numărul de sub radical ca fracție ireductibilă, apoi aplică testul pătratelor sau al cuburilor perfecte. Încheie cu proba prin ridicare la putere.

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează: a) $\sqrt{\frac{49}{81}}$; b) $\sqrt{0,64}$; c) $\sqrt[3]{-\frac{8}{125}}$; d) $\sqrt[3]{0,027}$.

2. Scrie în forma cea mai simplă, fără radical la numitor: a) $\sqrt{\frac{18}{49}}$; b) $\sqrt{\frac{5}{12}}$; c) $\sqrt[3]{\frac{3}{8}}$; d) $\sqrt{0,5}$.

3. Stabilește care numere sunt raționale: a) $\sqrt{0,09}$; b) $\sqrt{0,9}$; c) $\sqrt[3]{0,008}$; d) $\sqrt{\frac{8}{50}}$; e) $\sqrt[3]{\frac{9}{16}}$.

4. Compară: a) $\sqrt{3}$ și $\sqrt[3]{5}$; b) $\sqrt{\frac{1}{2}}$ și $\sqrt[3]{\frac{1}{3}}$.

Nivelul 2 — situații

5. Un panou fotovoltaic de test, pătrat, are aria de 0,4225 m². Electricianul trage un cablu de împământare pe tot conturul panoului. a) Ce latură are panoul? b) Ce lungime de cablu îi trebuie?

6. Un recipient cubic de laborator are volumul de 3,375 L. Laborantul vrea să lipească o etichetă pe o față a recipientului. a) Ce latură are recipientul, în centimetri? b) Ce arie are o față?

7. Un rezervor cubic de colectare a apei de ploaie are volumul de 2,744 m³. a) Ce latură are rezervorul? b) Câtă apă conține când nivelul apei ajunge la 0,9 m?

8. Un atelier de tâmplărie face o cutie cubică de stejar mai mică decât modelul expus, cu volumul egal cu $\frac{64}{125}$ din volumul modelului. Modelul are muchia de 25 cm. Ce muchie are cutia nouă?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Arătați că $\frac{6}{\sqrt{7}-1}-\sqrt{7}=1$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Arătați că $\sqrt{\frac{25}{16}}+\sqrt[3]{-\frac{125}{64}}=0$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Arătați că $\sqrt[3]{0,125}+\sqrt{0,49}=1,2$.

12. (Sinteză.) Un depozit de marfă stivuiește cutii cubice de două mărimi, cu volumele de 0,729 m³ și 0,343 m³. a) Ce muchii au cutiile? b) De câte ori este mai mică muchia cutiei mici decât a celei mari? c) Furnizorul propune și o cutie cubică de 0,5 m³. Arătați că muchia ei nu este un număr rațional și aproximați-o la centimetru.

Răspunsuri și verificări

1. a) $\frac{7}{9}$; b) $0,8$; c) $-\frac{2}{5}$; d) $0,3$. Verificare: ${\left(\frac{7}{9}\right)}^2=\frac{49}{81}$, $0,8^2=0,64$, ${\left(-\frac{2}{5}\right)}^3=-\frac{8}{125}$ și $0,3^3=0,027$.

2. a) $\frac{\sqrt{18}}{7}=\frac{3\sqrt{2}}{7}$; b) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{15}}{6}$; c) $\frac{\sqrt[3]{3}}{2}$; d) $\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Verificare: ${\left(\frac{\sqrt{15}}{6}\right)}^2=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$ și ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{2}{4}=0,5$.

3. a) rațional, $0,3$; b) irațional, fiindcă $0,9=\frac{9}{10}$ și 10 nu e pătrat perfect; c) rațional, $0,2$; d) rațional, $\frac{8}{50}=\frac{4}{25}$, deci $\frac{2}{5}$; e) irațional, 9 și 16 nu sunt cuburi perfecte. Verificare: $0,3^2=0,09$, $0,2^3=0,008$, ${\left(\frac{2}{5}\right)}^2=\frac{4}{25}$.

4. a) La puterea a șasea: ${\left(\sqrt{3}\right)}^6=27$ și ${\left(\sqrt[3]{5}\right)}^6=25$, deci $\sqrt{3}>\sqrt[3]{5}$. b) ${\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^6=\frac{1}{8}$ și ${\left(\sqrt[3]{\frac{1}{3}}\right)}^6=\frac{1}{9}$, deci $\sqrt{\frac{1}{2}}>\sqrt[3]{\frac{1}{3}}$. Verificare: $1,732>1,710$ și $0,707>0,693$.

5. a) $0,4225=\frac{4225}{10000}$ și $4225=65^2$, deci latura este 0,65 m. b) Conturul are $4\cdot 0,65=2,6$ m de cablu. Verificare: $0,65^2=0,4225$ m².

6. a) $3,375$ L $=3375$ cm³ și $3375=15^3$, deci latura este 15 cm. b) O față are $15^2=225$ cm². Verificare: $15\cdot 15\cdot 15=3375$ cm³, adică 3,375 L.

7. a) $2,744=\frac{2744}{1000}$ și $2744=14^3$, deci latura este 1,4 m. b) Apa ocupă $1,4\cdot 1,4\cdot 0,9=1,764$ m³. Verificare: $1,4^3=2,744$ m³, iar 1,764 m³ e mai puțin decât rezervorul plin.

8. Muchia se înmulțește cu $\sqrt[3]{\frac{64}{125}}=\frac{4}{5}$, deci cutia nouă are $25\cdot \frac{4}{5}=20$ cm. Verificare: $20^3=8000$ cm³, $25^3=15625$ cm³, iar $\frac{8000}{15625}=\frac{64}{125}$.

9. Amplifici fracția cu $\sqrt{7}+1$: $\frac{6(\sqrt{7}+1)}{7-1}=\sqrt{7}+1$. Apoi $\sqrt{7}+1-\sqrt{7}=1$. Verificare: cu $\sqrt{7}\approx 2,6458$, $\frac{6}{1,6458}\approx 3,6458$, iar $3,6458-2,6458=1,0000$.

10. $\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}$, fiindcă ${\left(\frac{5}{4}\right)}^2=\frac{25}{16}$. $\sqrt[3]{-\frac{125}{64}}=-\frac{5}{4}$, fiindcă ${\left(-\frac{5}{4}\right)}^3=-\frac{125}{64}$. Suma este $\frac{5}{4}-\frac{5}{4}=0$. Verificare: $1,25+(-1,25)=0$.

11. $0,125=\frac{125}{1000}$, deci $\sqrt[3]{0,125}=\frac{5}{10}=0,5$. $0,49=\frac{49}{100}$, deci $\sqrt{0,49}=0,7$. Suma este $0,5+0,7=1,2$. Verificare: $0,5^3=0,125$ și $0,7^2=0,49$.

12. a) $729=9^3$ și $343=7^3$, deci muchiile sunt 0,9 m și 0,7 m. b) Raportul este $\frac{0,9}{0,7}=\frac{9}{7}$, deci muchia mică este de $\frac{9}{7}\approx 1,29$ ori mai mică. c) $0,5=\frac{1}{2}$, iar 1 și 2 nu sunt amândouă cuburi perfecte, deci $\sqrt[3]{0,5}=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ este irațional; la centimetru, muchia are 0,79 m. Verificare: $0,79^3\approx 0,493$ și $0,80^3=0,512$, iar 0,5 m³ e între ele, mai aproape de primul.

Așa vine la Bac M3

În probele oficiale 2013–2026, cerințele care au cerut să decizi când un radical este număr natural sau să scoți un radical de la numitor au venit în 3 probe, toate la Subiectul I. Două dintre cerințele reale arată cele două forme:

• Iunie 2015, rezervă, Subiectul I, exercițiul 1: egalitatea $\frac{2}{\sqrt{3}-1}-\sqrt{3}=1$ cere ca radicalul să plece de la numitor prin amplificare cu suma $\sqrt{3}+1$, adică pasul 3 din Metodă; baremul probei acordă 3 puncte pentru $\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\sqrt{3}+1$ și 2 puncte pentru $\sqrt{3}+1-\sqrt{3}=1$.
• Modelul din 2019, Subiectul I, exercițiul 4: dintre numerele $\sqrt{1},\sqrt{2},\dots ,\sqrt{49}$ trebuie găsite cele naturale, adică testul pătratelor perfecte din pasul 2 din Metodă; baremul probei acordă 1 punct pentru cele 49 de cazuri posibile, 2 puncte pentru cele 7 cazuri favorabile și 2 puncte pentru $p=\frac{7}{49}=\frac{1}{7}$.

A treia cerință, de la modelul din 2023, cere ca $\sqrt{n}$ să fie natural și par; ea e lucrată în lecția despre probabilitatea clasică. Exercițiul 9 exersează forma din 2015, cu altă diferență la numitor, iar Exemplul 4 pe cea din 2019. Exercițiile 10 și 11 combină radicali din fracții și din zecimale în aceeași egalitate de arătat, forma cerinței 1 din Subiectul I, cu numere care se pot verifica pe ciornă prin ridicare la putere. Radicalul unei fracții apare mai des ca pas de calcul: la cerința 6, cosinusul se află din sinus sau invers. La sesiunea din iunie 2021 (varianta de rezervă), din $\cos x=\frac{1}{4}$ rezultă $\sin x=\sqrt{\frac{15}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$; la fel se lucrează la sesiunea specială din 2013, unde apare $\sqrt{\frac{144}{169}}$. Pentru celelalte teme ale clasei deschide traseul clasei, filiera tehnologică, iar ecuațiile cu radicali le găsești la ecuațiile cu radicali și verificarea soluțiilor.

Greșeli care costă puncte

• Iei radicalul din zecimală ca și cum virgula n-ar exista: scrii $\sqrt{0,9}=0,3$ → cum o prinzi: ridici la pătrat, $0,3^2=0,09$, nu $0,9$; o zecimală cu număr impar de zecimale o completezi cu un zero înainte.
• Declari irațional un radical înainte să simplifici fracția: spui că $\sqrt{\frac{8}{18}}$ nu iese exact → cum o prinzi: $\frac{8}{18}=\frac{4}{9}$, deci radicalul este $\frac{2}{3}$; testul se face pe forma ireductibilă.
• Pierzi semnul la ordinul 3: scrii $\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}$ → cum o prinzi: ridici la cub și obții $\frac{8}{27}$, cu semn schimbat față de numărul de sub radical.
• La raționalizare amplifici doar numitorul: din $\frac{6}{\sqrt{7}-1}$ scrii $\frac{6}{6}$ → cum o prinzi: valoarea aproximativă a fracției inițiale este 3,65, nu 1; amplifici și numărătorul.
• Folosești radicalul de ordin 2 pentru un raport de volume: la piesa turnată iei $\sqrt{\frac{125}{64}}$ → cum o prinzi: volumul se înmulțește cu cubul factorului, deci verifici $k^3$, nu $k^2$.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: radicalul unui număr rațional, de ordin 2 sau 3, cu proprietățile radicalilor, face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a X-a), deși programa nouă a clasei a X-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. Concret, Anexa 3 nu are acest rând: are doar funcția radical de ordin 2, la lecturi grafice. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 3 probe, la Subiectul I. În programa Bacalaureatului din 2030 tema reapare în unitatea XI.1 (calcul numeric și algebric aplicat) la profilul MAT_P3. Rândul „Radical dintr-un număr rațional (ordin 2 și 3)” e preluat întocmai în programa MAT_P3, a profilului tehnic.

Întrebări frecvente

Cum afli fără calculator latura dalei de 0,5625 m²? Scrii aria ca fracție zecimală, $\frac{5625}{10000}$, și cauți separat pătratele: $75^2=5625$ și $100^2=10000$. Latura este $\frac{75}{100}=0,75$ m. Dacă nu recunoști pătratul, îl încadrezi: $70^2=4900$ și $80^2=6400$, iar 5625 se termină în 25, deci rădăcina se termină în 5.

De ce intră dalele C exact de 20 de ori pe rândul de 9 m? Latura unei dale C este $\sqrt{0,2025}=0,45$ m, iar $9:0,45=20$. Aria s-a ales astfel încât latura să fie un număr exact de centimetri, care împarte lungimea peretelui. Cu o latură irațională, rândul s-ar fi terminat obligatoriu cu o dală tăiată.

Ce s-ar fi întâmplat dacă furnizorul dădea o dală de 0,5 m²? Latura ar fi fost $\sqrt{0,5}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ m, un număr irațional, aproximativ 70,7 cm. Pe peretele de 9 m ar fi intrat 12 dale întregi, cu 8,49 m acoperiți, iar ultimii 51 cm ar fi cerut o dală tăiată. Producătorii aleg de aceea arii ale căror radicali ies exact.

Cu cât crește latura unei dale dacă aria se dublează? Latura se înmulțește cu $\sqrt{2}\approx 1,41$, nu cu 2. Dala A, de 0,25 m², are latura de 50 cm; o dală de 0,5 m² ar avea aproximativ 70,7 cm. Aria crește cu pătratul laturii, deci latura crește mai încet decât aria.

Cum au venit radicalii din numere raționale la Bacalaureatul M3? În probele oficiale 2013–2026, la Subiectul I, au venit în trei cerințe, de două feluri: o egalitate cu un radical la numitor, scos prin amplificare cu conjugata, și două probabilități în care numeri valorile $n$ pentru care $\sqrt{n}$ e natural. Probabilitățile cer testul pătratului perfect, egalitatea cere amplificarea. Radicalul unei fracții apare, în plus, ca pas de calcul la cerința 6, când cosinusul se află din sinus sau invers.

Pot scrie radicalul de ordin 3 dintr-o fracție negativă? Da. Radicalul de ordin 3 există pentru orice număr real, iar semnul minus iese în fața radicalului: $\sqrt[3]{-\frac{27}{64}}=-\frac{3}{4}$. Radicalul de ordin 2 dintr-un număr negativ nu există în mulțimea numerelor reale, deci acolo verifici întâi semnul.