Cum calculez media dintr-un tabel cu frecvențe?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Medie, frecvențe și probabilitate

Înmulțești fiecare valoare cu numărul ei de apariții, aduni produsele și împarți la totalul aparițiilor, nu la câte valori diferite ai. Pentru zece note cu suma $80$ obții media $8$ . Împărțirea la numărul valorilor distincte ar da un rezultat greșit, fiindcă notele care apar de mai multe ori cântăresc mai mult în calculul mediei.

Trei unelte rezumă un set de date citit din tabele sau grafice: media aritmetică, frecvența procentuală și probabilitatea. Media unei serii de date este $media = \frac{suma valorilor}{num a ˘ rul valorilor}$ ; când datele au frecvențe, înmulțești fiecare valoare cu frecvența ei, aduni produsele, apoi împarți la suma frecvențelor (numărul total de date), niciodată la numărul de valori distincte. Frecvența procentuală arată ce parte din total reprezintă o valoare: $\frac{frecven ț a absolut a ˘}{total} \cdot 100%$ ; frecvențele procentuale ale tuturor categoriilor adună mereu 100%. Probabilitatea unui eveniment cu rezultate egal probabile este $P = \frac{cazuri favorabile}{cazuri posibile}$ , un număr între 0 (imposibil) și 1 (sigur); pentru „nu se întâmplă" se folosește complementul $1 - P$ .

Exemplu: la 10 elevi, notele $7, 8, 8, 9, 7, 10, 8, 9, 7, 7$ au suma $80$ , deci media este $\frac{80}{10} = 8$ .

De reținut

media $= \frac{suma valorilor}{num a ˘ rul valorilor}$ ; cu frecvențe, împarți la suma frecvențelor
frecvența procentuală $= \frac{frecven ț a absolut a ˘}{total} \cdot 100%$
$P = \frac{cazuri favorabile}{cazuri posibile}$ , între $0$ și $1$

Greșeala tipică

Se împarte suma la numărul valorilor diferite din tabel, nu la numărul total de date; valorile care se repetă trebuie numărate de fiecare dată, altfel media iese mai mare decât în realitate.

Exerciții din această mini-lecție

Într-o cutie sunt 5 bile galbene, 7 bile portocalii și 8 bile mov, identice la atingere. Extragem o bilă la întâmplare. Care este probabilitatea ca bila extrasă să NU fie mov?
- a) $\frac{3}{5}$
- b) $\frac{2}{5}$
- c) $\frac{1}{2}$
- d) $\frac{4}{5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{3}{5}$

Total bile: $5 + 7 + 8 = 20$ . Cazuri favorabile (nu mov) = galbene + portocalii $= 5 + 7 = 12$ . $P (nu mov) = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$ . Varianta b) este greșită pentru că reprezintă $P (mov) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$ , adică evenimentul opus (nu complementul lui).
Într-un grup de 40 de elevi, 28 merg pe jos la școală, iar restul merg cu mașina. Care este frecvența procentuală a elevilor care merg pe jos?
- a) $70%$
- b) $30%$
- c) $80%$
- d) $28%$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $70%$

Frecvența procentuală se calculează raportând frecvența absolută la total și înmulțind cu 100%: $\frac{28}{40} \cdot 100% = 0, 7 \cdot 100% = 70%$ . Varianta b) este procentul elevilor care merg cu mașina (evenimentul opus), iar c) și d) provin din calcule greșite.
Într-o cutie sunt 6 bile roșii, 9 bile verzi și 5 bile albastre, identice la atingere. Extragem o bilă la întâmplare. Care este probabilitatea ca bila extrasă să NU fie roșie?
- a) $\frac{7}{10}$
- b) $\frac{3}{10}$
- c) $\frac{1}{2}$
- d) $\frac{9}{20}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{7}{10}$

Total bile: $6 + 9 + 5 = 20$ . Cazuri favorabile (nu roșie) = verzi + albastre $= 9 + 5 = 14$ . $P (nu ro ș ie) = \frac{14}{20} = \frac{7}{10}$ . Varianta b) este greșită pentru că reprezintă $P (ro ș ie) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ , adică probabilitatea de a extrage o bilă roșie, nu pe cea cerută. Verificare: $\frac{3}{10} + \frac{7}{10} = 1$ .

Întrebări conexe

La ce număr împart când datele au frecvențe diferite?

La suma frecvențelor, adică la numărul total de date. Dacă nota $7$ apare de patru ori și nota $8$ de trei ori, împărțitorul cuprinde toate cele șapte apariții. Verificarea rapidă este ca suma frecvențelor să dea exact câte date ai citit.

Cum trec de la frecvența absolută la cea procentuală?

Împarți numărul aparițiilor la total și înmulțești cu $100$ . Din patru apariții dintr-un total de zece obții $40%$ . Suma tuturor procentelor dintr-un tabel corect trebuie să dea $100$ , ceea ce este și controlul obișnuit al calculului.

Cum calculez o probabilitate pornind de la un tabel de date?

Numeri cazurile care duc la ce te interesează și le împarți la numărul total de date. Dacă din zece elevi patru au luat nota $7$ , șansa de a alege la întâmplare un astfel de elev este $\frac{4}{10}$ , adică $0, 4$ sau $40%$ .

Ce grafic aleg pentru date care se schimbă în timp?

Graficul cu linii, fiindcă arată creșterile și scăderile dintre momente succesive. Pentru comparații între categorii se potrivesc barele, iar pentru părți dintr-un întreg, diagrama circulară. Alegerea potrivită face citirea datelor mult mai clară.

Cum folosesc complementul ca să aflu ce nu se întâmplă?

Scazi din $1$ probabilitatea evenimentului urmărit. Dacă șansa de a extrage o bilă roșie este $\frac{3}{8}$ , atunci șansa de a extrage altceva este $\frac{5}{8}$ . Metoda scurtează calculul când cazurile nefavorabile sunt mai ușor de numărat.

Cum citesc un grafic dintr-un context de științe la examen?

Notezi întâi ce mărime este pe fiecare axă și în ce unitate, apoi urmărești ce se cere: o valoare, o diferență sau o tendință. Multe greșeli vin din citirea scării, nu din calcul, așa că gradațiile se verifică înaintea oricărei comparații.

Oamenii mai întreabă și: media cu frecvențe · media dintr-un tabel de date · organizarea datelor pentru examen · media, procente și probabilitate