Cum aflu câți divizori are un număr?

Lecția pe scurt · clasa a V-a · Numere naturale, puteri, divizibilitate

Cauți perechi de numere al căror produs dă numărul dat și le notezi pe rând. Pentru 36 ies $1 \cdot 36$ , $2 \cdot 18$ , $3 \cdot 12$ , $4 \cdot 9$ și $6 \cdot 6$ , deci divizorii sunt 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 și 36, adică 9 la număr. Fiecare pereche aduce doi divizori, în afară de cea în care factorii sunt egali. Te oprești când cele două numere ale perechii se întâlnesc la mijloc.

Recapitularea unește trei teme mari din clasa a V-a: ordinea operațiilor, puterile și divizibilitatea.

La calcule cu mai multe operații, respectăm ordinea: mai întâi parantezele — rotunde $()$ , apoi pătrate $[]$ , apoi acolade ${}$ — apoi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile, iar la final adunările și scăderile.

La puteri cu aceeași bază: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ (adun exponenții), $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ (scad exponenții), $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ (înmulțesc exponenții). De asemenea $a^{0} = 1$ și $a^{1} = a$ .

La divizibilitate: un număr se divide cu 2 dacă ultima cifră este pară, cu 5 dacă se termină în 0 sau 5, iar cu 3 sau cu 9 dacă suma cifrelor se divide cu 3, respectiv cu 9. Un număr prim are exact doi divizori: 1 și el însuși.

Exemplu: calculăm $2^{3} \cdot 2^{2} : 2^{4}$ . La înmulțire adun exponenții: $2^{3 + 2} = 2^{5}$ ; apoi la împărțire scad: $2^{5 - 4} = 2^{1} = 2$ .

De reținut

divizibil = împărțire cu restul 0
$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ , $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ , $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$
criteriile cu 2 și 5 se uită la ultima cifră, cele cu 3 și 9 la suma cifrelor
$a^{0} = 1$ și $a^{1} = a$

Greșeala tipică

Se caută divizibilitatea cu 2 uitându-se la suma cifrelor, ca la criteriul lui 3. Pentru 2 și pentru 5 hotărăște doar ultima cifră a numărului.

Exerciții din această mini-lecție

Calculează respectând ordinea operațiilor: $80 - [3 + 4 \cdot (10 - 2 \cdot 3)]$
- a) 61
- b) 57
- c) 80
- d) 19
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) 61

În paranteza rotundă: $2 \cdot 3 = 6$ , apoi $10 - 6 = 4$ . În paranteza pătrată: $4 \cdot 4 = 16$ , apoi $3 + 16 = 19$ . La final: $80 - 19 = 61$ . Am respectat ordinea: paranteza rotundă, apoi pătrată, iar în interiorul lor înmulțirea înaintea scăderii.
Care dintre numerele următoare este divizibil atât cu 2, cât și cu 3?
- a) 42
- b) 35
- c) 81
- d) 100
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) 42

Pentru divizibilitate cu 2, ultima cifră trebuie să fie pară; rămân 42 și 100. Pentru divizibilitate cu 3, suma cifrelor trebuie să se dividă cu 3: la 42, $4 + 2 = 6$ (divizibil cu 3 ✔); la 100, $1 + 0 + 0 = 1$ (nu se divide cu 3 ✘). Deci doar 42 se divide și cu 2, și cu 3.
Calculează respectând ordinea operațiilor: $100 - {2 + 3 \cdot (12 - 2 \cdot 4)}$
- a) 76
- b) 86
- c) 96
- d) 14
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) 86

În paranteza rotundă: $2 \cdot 4 = 8$ , apoi $12 - 8 = 4$ . În acoladă: $3 \cdot 4 = 12$ , apoi $2 + 12 = 14$ . La final: $100 - 14 = 86$ . Varianta d) 14 este doar valoarea acoladei — uită scăderea din 100.

Întrebări conexe

Ce înseamnă că un număr se divide cu altul?

Înseamnă că împărțirea dintre ele se face exact, fără rest. Astfel 45 se divide cu 9, fiindcă $45 : 9 = 5$ , dar nu se divide cu 4, fiindcă rămâne rest 1. Se mai spune că 9 este divizor al lui 45, iar 45 este multiplu al lui 9.

Cum aflu cel mai mic număr divizibil deodată cu 4 și cu 6?

Cauți multiplii lui 6 și te oprești la primul care se împarte exact și la 4: după 6 vine 12, iar 12 este răspunsul. Numărul acesta se numește cel mai mic multiplu comun și apare des la aducerea fracțiilor la același numitor.

Cum recunosc un număr divizibil cu 6?

Trebuie să treacă în același timp criteriul lui 2 și pe cel al lui 3: ultima cifră să fie pară, iar suma cifrelor să se împartă la 3. Numărul 42 le respectă pe amândouă, fiindcă se termină în 2, iar $4 + 2 = 6$ . Un singur criteriu îndeplinit nu ajunge.

Ce sunt divizorii improprii ai unui număr?

Sunt cei pe care îi are orice număr, adică 1 și el însuși. Ceilalți se numesc divizori proprii. Numerele prime au doar divizori improprii, iar tocmai de aceea au exact doi divizori, în timp ce un număr compus are și divizori proprii.

Cum aflu suma divizorilor unui număr?

Îi scrii pe toți și îi aduni. Divizorii lui 12 sunt 1, 2, 3, 4, 6 și 12, iar suma lor este 28. Fiindcă suma întrece dublul numărului, 12 se numește număr abundent; când suma celorlalți divizori dă chiar numărul, el se cheamă număr perfect, cum e 6.

De ce 0 se divide cu orice număr natural nenul?

Pentru că împărțirea lui 0 la orice număr diferit de zero dă rezultatul 0, fără rest. Așadar 0 are o infinitate de divizori, motiv pentru care nu este socotit nici prim, nici compus. Invers nu merge: la 0 nu se împarte nimic.

Oamenii mai întreabă și: câți divizori are un număr · cum aflu divizorii unui număr · divizorii lui 36 · numărul divizorilor